基于广义混合元的加筋圆柱壳振动特性分析

童瑶 陈秀涛

基于广义混合元的加筋圆柱壳振动特性分析

童瑶1，*陈秀涛1，2

（1.上海飞机设计研究院，上海 201206； 2.中国民航大学航空工程学院，天津 300300）

采用有限元位移法分析加筋圆柱壳的自由振动特性问题是主流的方法，但大量试验和数值实例表明：位移元模型会导致模拟刚度偏硬，从而使得结构固有频率结果不够精确。针对这一现象提出了柱坐标系下的广义混合变分原理，并建立了相应的非协调广义混合元的无阻尼自由振动方程。通过合理地调节参数，使得非协调广义混合元的刚度矩阵比非协调位移元的刚度矩阵柔和。实例分析表明，在有限元网格模型一致的情况下，结构的固有频率结果更加准确。

非协调位移元， 非协调广义混合元， 加筋圆柱壳， 固有频率， 固有振型

0 引 言

加筋平板结构或加筋圆柱壳结构可在减轻结构重量的同时，提高结构的强度和稳定性。因此，这类结构被广泛应用于电机、飞机机身、潜艇舱体以及管道等领域中。

文献［1］和文献［2］对加筋板壳类结构振动分析的早期文献进行了归纳和总结，结论表明，由于加筋板壳结构几何形状的复杂性，数值分析方法是研究这类结构振动特性的主要方法，其中，位移有限元法最为流行。就加筋圆柱壳结构的振动分析研究比较有代表性的文献有：Al-Najafi等［3］采用轴对称单元方法研究了加筋圆柱薄壳的固有频率和振型（在某些情况下，该方法的结果比经典的Rayleigh-Ritz方法更可靠）；Mustafa等［4］提出利用八节点正交加筋超壳有限元，对加筋圆柱壳和正交加筋圆柱曲板的自由振动进行分析；Jiang等［5］基于超级位移有限元法的理论，提出了一种用于分析正交加筋圆柱壳结构自由振动问题的有限元数值方法。

相对于协调的位移元，非协调位移元增加了单元内部节点的位移，这使得非协调位移元模型增加了位移变量近似多项式的完备性。因此，采用非协调位移元模型可以得到精度更高的数值结果。然而，即使采用收敛性最好的非协调位移元模型，其模型刚度依然偏硬。因此，在有限元网格比较稀疏的情况下，位移元模型的固有频率结果总是大于真实解的。

通常情况下，就板壳结构问题而言，基于弹性力学的Hamilton正则方程半解析元模型的数值结果相对比较准确［6-8］。但由于该方法在形成整体结构的控制方程前，需先对结构进行子层划分，然后是对每一薄层的数值矩阵进行指数矩阵运算，同时又要对各薄层的控制方程进行乘积运算，时间消耗大。所以，就庞大的工程结构问题而言，弹性力学的Hamilton正则方程半解析法的时间成本高。采用Hamilton正则方程半解析元模型建立加筋结构动力学控制方程的步骤也比较繁琐［6-8］。

弹性力学中的混合有限元法［9-11］有很多优点。例如，位移变量和应力变量通常只需要0连续的多项式表达。另外，因为混合变分原理中的位移和应力两类变量采用了相同的插值多项式，使得位移和应力数值结果的精度相近。最近，文献［12］结合最小势能原理和H-R变分原理建立了分析静力学问题的非协调广义混合元。文献［13］在文献［12］的基础上进一步扩展了非协调广义混合元的应用。

基于文献［12］和文献［13］的思想方法，并依据轴对称非协调六面体单元的理论［14］，建立了非协调广义混合元的动力学模型，用于加筋圆柱壳结构的振动特性分析。

1 非协调位移元的自由振动特征方程

图1　圆柱壳及直角坐标系

非协调位移单元的自由振动特征方程可通过最小势能原理和Hamilton变分原理得到。

根据最小势能原理，结构的势能为

结构处于自由振动状态下的动能为

考虑动力学问题的Hamilton变分原理：

将式（5）代入式（4），可得到非协调位移单元的自由振动特征方程：

式中，

对式（6）进行求和，可得到非协调位移元下的整体有限元模型的自由振动特征方程：

2 非协调广义混合元的自由振动特征方程

根据广义混合变分原理［9-13］，可设结构的混合能为

根据非协调元理论［14］和文献［12-13］中的推导过程，由式（9）可得到轴对称六面体非协调广义混合单元的自由振动方程为

由式（10）可导出

将式（11）代入式（12）中有

对式（13）求和，可得到非协调广义混合元的整体有限元模型的振动特征方程：

式（14）表明：非协调广义混合元的自由振动特征方程中只含有位移变量。因此，式（14）只需考虑位移边界条件的引入。

3 实例分析

3.1　圆柱壳的振动特性分析

以下通过改变网格密度来讨论=6，8，10，12，=1振型时，非协调广义混合元数值结果的收敛性。

周向与径向网格数量保持不变，分别为50个和1个单元，轴向网格数量从10个递增至40个单元（每次增加为5个单元），频率变化曲线参见图2。

图2　圆柱壳频率收敛图

从图2中可以明显看出，随着网格密度的增加，非协调位移元和非协调广义混合元的结果均逐渐趋于稳定。当有限元网格模型相同时，虽然两种方法的结果都逼近精确解，但显然非协调广义混合元的结果更加精确。

表1给出网格密度为50×40×1时的固有频率结果。

表1　 圆柱壳的固有频率

圆柱壳结构的两种有限元方法的固有振型如图3所示。

图3　圆柱壳的固有振型图

3.2　环向加筋圆柱壳的振动特性分析

图4　环向加强筋圆柱壳尺寸图

图5　加筋圆柱壳结构的网格划分图

表2　 各向同性加筋圆柱壳的固有频率（S-S）

由表2可以看出，在有限元网格模型相同的情况下，非协调广义混合元的结果明显低于非协调位移元模型，更接近文献解。

加筋圆柱壳结构的两种有限元方法的固有振型如图6所示。

图6　加筋圆柱壳的固有振型（S-S）

从图6不难看出，两种有限元法的固有振型是一致的。这进一步证明了本文方法的正确性。

4 结 论

本文提出了非协调广义混合元下的自由振动特征方程，并应用实例证明了该方法的正确性和数值结果的可靠性。

（1） 非协调广义混合元的自由振动特征方程的最大特点是，在消去应力变量的同时，可通过参数的最优得到比较真实的刚度矩阵和合理振动特征方程；

（2） 实例证明，非协调广义混合元模型的结果明显优于非协调位移元。从理论上讲，非协调位移元模型的刚度偏硬，因而结构的固有频率结果偏高，而非协调广义混合元模型的刚度更加接近真实情况，所以固有频率结果更接近真实解。

本文的工作为圆柱壳和加筋圆柱壳结构的振动特性分析研究提供了一种可选的可靠方法。

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Chen Xudong，Ye Kangsheng.Analysis of free vibration of moderately thick circular cylindrical shells using the dynamic stiffness method［J］.Engineering Mechanics，2016，33（9）：40-48.（in Chinese）

Vibration Analysis of Stiffened Cylindrical Shells Based on Generalized Mixed Element Method

TONGYao1，*CHENXiutao1，2

（1.Shanghai Aircraft Design & Research Institute， Shanghai 201206， China；2. College of Aeronautical Engineering， Civil Aviation University of China，Tianjin 300300， China）

Finite element displacement methods are the mainstream methods to analyze the free vibration characteristics of stiffened cylindrical shells， but a large number of experiments and numerical examples show that the displacement element model will lead to the rigidity of the simulation， which makes the natural frequency of the structure inaccurate. In view of this phenomenon， the generalized mixed variational principle in cylindrical coordinate system is proposed，and the corresponding undamped free vibration equation of nonconforming generalized mixed element is established. By adjusting the parameters reasonably， the stiffness matrix of the nonconforming generalized mixed element is softer than that of the nonconforming displacement element.The example analysis shows that the natural frequency of structure is more accurate when the finite element mesh model is consistent.

nonconforming displacement element， nonconforming generalized mixed element， stiffened cylindrical shell， natural frequency， natural mode

2021-03-08

国家自然科学基金青年科学基金（11502286）

联系作者：童 瑶，女，高级工程师，主要研究方向为飞机结构设计。E-mail： tongyao@comac.cc