分数间隔快速RLS判决反馈均衡器

张峰瑞，江 鹏，韩 震

（武汉大学 卫星导航定位技术研究中心，湖北 武汉 430072）

0 引 言

在水声通信中，由于信道的复杂性，由多径效应引起的码间串扰（Inter Symbol Interference）会严重影响接收信号的质量。由发射端与接收端相对运动而引起的多普勒效应也会导致信号的变形，而且由于声速较低，水声通信中多普勒效应也比无线通信中严重许多。与此同时，由于水体的随机变化，信道也有着时变特性，这更增加了对多径效应和多普勒效应的处理难度，这也要求接收端的系统能不断追踪信道的变化。此外，通信的时效性对水声通信系统的实时性也提出了更高要求。均衡器是水声通信中处理这些问题的重要工具，被广泛应用于各个水声通信系统中。

最简单的均衡器结构为线性均衡器结构，它仅由一个横向滤波器组成，因此它只能实现线性的变换，在复杂的信道中效果不佳。判决反馈（Decision Feedback）结构使用过去的判决码元作为反馈，能实现非线性的变换，因此拥有更好的收敛特性，在水声通信均衡器中常被使用。传统的均衡器按照码元周期输出结果，称为码元间隔均衡器（Symbol Spaced Equalizer，SSE），它对系统定时误差较为敏感。水声信道的时变性会导致定时误差不可避免的变大，从而使得SSE的均衡效果变差。分数间隔均衡器（Fractionally Spaced Equalizer，FSE）使用大于奈奎斯特频率的采样频率对接收信号进行抽样。这种结构对定时误差不敏感，只需要粗同步，就可以取得最佳的性能。此外，由于SSE使用符号速率对接收信号进行抽取，因此其他的信号会被抛弃，这些信号往往包含与信道有关的信息。FSE提高了采样频率，可以利用到这些信号中包含的信息，提升均衡器对信道的分辨率，从而得到更好的均衡效果。

由于水声信道的时变特性，均衡器需要自适应地调整自己的参数从而维持其性能，常用的自适应算法有LMS（Least Mean Square）算 法 和RLS（Recursive Least Square）算法。LMS算法实现简单，但其收敛速度和稳态误差性能都不如RLS算法。而RLS算法虽然有很好的性能，但其计算复杂度高，需要很高的硬件开销，在实时性要求较高的场合中应用受限。针对这种情况，各种快速RLS算法被提出，其中，Cioffi和Kailath提出的Fast Transversal Filter（FTF）算法实现了较低的计算复杂度。随后，Slock和Kailath在此基础上提出了Stable FTF（SFTF）算法，通过在FTF算法中引入反馈机制，提高算法的数值稳定性，该算法被广泛应用于自适应系统中。

针对水声信道的特点，本文使用SFTF算法以降低RLS算法的复杂度，并将其推广为Generalized SFTF算法，使其适用于分数间隔判决反馈均衡器（FS-DFE）的结构，由此设计了分数间隔快速RLS判决反馈均衡器（FRLS-FS-DFE）。经过湖上实验测试，证明了该均衡器性能的优越性。

1 系统模型

一个水声通信系统的水听器在时刻接收到的信号()可以表示如下：

式中：()为发射的码元序列；()为信道冲激响应；()为等效信道噪声。

FS-DFE使用高于2倍奈奎斯特频率的采样率对码元进行采样，码元间隔与采样间隔的比值称为它的阶数：

FS-DFE由个前馈滤波器和1个反馈滤波器组成，前馈滤波器拥有相同的长度，反馈滤波器的长度为，滤波器的系数根据每次迭代的误差经过自适应准则进行更新，结构如图1所示。

图1 分数间隔判决反馈均衡器结构图

其利用输入信号x()和判决序列()根据特定准则对原始发射码元进行估计，估计值为()：

2 分数间隔快速RLS判决反馈均衡器

首先对量符号的表示进行介绍，小写粗体表示向量，小写表示标量，大写粗体表示矩阵，上标T表示矩阵的转置，上标H表示矩阵的共轭转置，上标*表示标量的共轭。

时刻的采样信号和判决序列如下式所示，它们的长度由前馈和反馈滤波器长度决定。

为方便表达，将时刻的输入序列和判决序列写为一个向量，滤波器系数写为一个向量：

因此，均衡器时刻的输出可表示为：

此时，滤波器总抽头数为：

均衡器的误差为()，由下式计算：

2.1 RLS算法

RLS算法根据最小二乘准则对滤波器系数进行更新，代价函数如下：

式中：为遗忘因子，是小于1的常数，它用于减小过去的数据造成的影响，以使得均衡器能跟踪时变的信道，为自相关矩阵初始值，是大于0的常数，根据信号的信噪比选择，当信噪比较低时，应该取更大的值；是对角阵，定义如下：

式中向量λ的定义如下：

RLS算法的滤波器系数迭代公式由算法1给出。

可以看出，在进行矩阵和向量相乘时需要()的计算复杂度，RLS算法的计算复杂度总共约为( 2)，它随着滤波器的长度按平方增长。在水声通信中，由于时延扩展能达到数十至上百码元，因此均衡器长度要与其相当。另外，分数间隔结构也会增加均衡器长度，最后的均衡器长度会很长，此时RLS算法的计算开销十分巨大，很可能超出硬件的计算能力。

2.2 GSFTF算法

SFTF算法利用了输入序列的移不变特性来减少计算的复杂度，即每输入个新数据，之前的数据依次后移，后个数据被舍去。在更新过程中，该算法引入了一个前向预测滤波器、一个后向预测滤波器和一个增益滤波器，通过它们之间的参数交换来实现均衡器的系数更新。但是对于判决反馈结构，它的前馈和反馈滤波器长度有可能不同，此时，信号无法满足移不变特性，因此需要对算法进行修改。通过引入置换矩阵，可以近似地实现移不变特性，从而使SFTF算法适用于分数间隔判决反馈结构。

定义均衡器输入通道数=+1，()相比(-1)增加了个新数据和舍去了个旧数据，分别表示为两个×1向量()和()，如下所示：

定义=+，×1维扩展输入向量如下：

也可表示为：

定义×维置换矩阵、，它们满足下述方程：

可以看出，GSFTF算法只有向量与向量间的乘法，其计算复杂度约为( ( 7+2)+4+5+1)。相比RLS算法，它随着长度按线性增长，大大减小均衡器长度增加时的计算开销，因此，它能支持更长的均衡器，更适合在水声通信中使用。

3 实验结果

对提出的FRLS-FS-DFE进行湖上实验。传输信号的调制方式为QPSK，使用10 kHz的载波频率，分别在500 m和1 500 m距离段上对提出的均衡器进行了测试，数据长度为2 500，训练序列长度设置为800。分别比较了FRLS-FS-DFE、RLS-FS-DFE、FRLS-SS-DFE和RLS-SS-DFE四种均衡器的性能。均衡器前馈和反馈抽头数统一设置为==40，遗忘因子统一设置为=0.998，自相关矩阵初始值统一设置为=10。

各均衡器的MSE曲线由图2给出，从图中可以发现：

图2 不同均衡器的MSE比较

1）FSE结构在收敛速度和稳态MSE性能上都比SSE结构表现得更好，这是因为FSE结构对同步精度的需求更低，可以在信道变化的时候更快地调整滤波器系数；

2）FRLS算法和RLS算法的收敛曲线几乎相同，这证明FRLS算法可以得到与RLS算法接近的性能。

接下来比较了四种均衡器的无编码误码率，如表1所示。从表中能发现，随着距离的提升，通信误码率会增大。比较分数间隔结构与符号间隔结构，在500 m时，前者的误码率相较后者减少了2个数量级，在1 500 m时，误码率减少了1个数量级。这意味着分数间隔结构相比符号间隔结构，能有效地减少误码率。另一方面，FRLS算法的误码率也与RLS算法的相当，表明它们的通信效果也是接近的，FRLS算法能有效地替代RLS算法。

表1 不同均衡器的无编码误码率比较 %

最后，对FRLS-FS-DFE和RLS-FS-DFE的计算量进行比较。根据前文的分析，可以得到前者的计算复杂度约为( 3 000)，而后者约为( 30 000)，前者相比后者减少了90%的计算量。可见，设计的均衡器在计算量上也有了显著的减少。

4 结 语

针对水声信道的复杂特性，根据实际需要，如较低的计算量、较低的稳态误差、较快的收敛速度以及对时变信道较好的跟随特性，本文设计了一种分数间隔快速RLS判决反馈均衡器。引入置换矩阵对快速RLS算法中的SFTF进行修改，使其符合分数间隔判决反馈结构。它很好地综合了分数间隔结构和快速RLS算法的优点，拥有优秀的收敛性能和较低的计算开销。根据实验数据测试可知，提出的均衡器达到了预期性能要求。