工程实践牵引的机械振动教学案例设计

2022-10-02张大义莫远哲范雨

装备制造技术 2022年6期

张大义，莫远哲，范雨

（北京航空航天大学能源与动力工程学院，北京 100191）

0 引言

“机械振动基础”是北京航空航天大学飞行器动力工程专业本科生的专业课，也是国内各高校机械类专业的一门必修专业课，该课程的首要教学目的是培养学生运用振动基本理论解决工程中的实际问题。因此，在教学过程中要格外注重将理论讲授内容与实际工程问题相结合，培养学生发现问题、解决问题的能力[1]。

目前国内多个高校在“机械振动基础”教学环节中暴露出如下问题：（1）理论学习与工程实践脱节，学生在学习振动理论后，仍然难以解决实际问题[2]，毕业生的工程素质常被企业行业质疑。（2）理论推导过程枯燥，学生学习兴趣低，学习效率低下。上述问题的解决途径包括：增加工程案例分析、增加实验环节、引入计算机辅助软件、问题式导向教学、启发式教学、讨论式教学等，其中最为有效且便捷的方式是增加工程案例教学的教学方法。案例教学法是一种以案例为基础的教学方法，该方法最早于20世纪20年代被美国哈佛大学商学院所采用，案例教学通常围绕实际问题展开[3]，充分激发学生的学习积极性。毛崎波[4]、舒海生[5]、郭朋彦[6]等在“机械振动基础”课程教授中均探索引入了实际工程案例，取得了良好的教学效果。但上述案例并不适用于飞行器动力工程专业的学生，有待进一步从科研工作中挖掘更多实例。

1 教学理念与教学方法

“机械振动基础”课程教学过程中的关键问题是如何提高学生的学习兴趣和主动性；同时提高学生对知识的运用能力，实现理论与实践的无缝结合。对此，课件准备与教学过程的关键有3个方面。

（1）建立具有学术前沿性和工程指导性的课程体系与教学内容，在教学过程中坚持“加强基础、扩充领域、注重工程应用”的原则，优化教学内容，适应面向机械大类通识性人才和航空领域专业型人才培养的需要。

（2）建立兼顾理论与实践的机械振动基础课程教学模式。重点理论采用溯源式讲解，结合国内航空航天中的技术成果展示，增强学生的技术自信。

（3）秉持讲授式教学与探究式教学有机结合的授课理念，培育学生工匠精神的同时，激发学生的创新意识。注重通过大量工程案例的引入，实现知识传授、思维方法、工程实践能力三者并重的培养；设计来源于科研的具有一定挑战性的课后习题，激发学生的创新意识。

为了完成上述教学任务，需要科研反哺教学，从实际科研中提取合适的案例应用于教学过程。从航空发动机实际工程研制过程遇到的振动问题出发，针对工程中最为关注的模态频率，给出与“机械振动基础”各知识点紧密相关的具体案例，建立从工程对象到力学模型，再到数学方程求解，最后使用分析结果指导工程设计的工程思维模式，为机械振动课程授课教师的课件准备提供案例和教学思路。

2 转子叶片的一阶弯曲振动模态频率

2.1 工程对象及力学模型

航空发动机中低压涡轮叶片常采用带冠形式，以提高密封效果、增大刚度和干摩擦阻尼。叶片在工作中承受高负荷的交变气动载荷作用，可能诱发共振带来的疲劳问题，因此需要对带冠叶片的弯曲模态频率进行分析和设计。单个叶片在高速旋转时，叶片根部可以近似认为与涡轮盘固接，进一步简化得到其力学模型，如图1所示，图中m为叶冠的质量，l为叶片高度，y0为叶冠处的初始挠度。该力学模型主要误差来源为：其一是将非等截面的叶片简化为等截面梁；其二是叶片根部并未是完全固定的支承条件。

图1 带冠涡轮叶片力学模型

2.2 数学模型及求解

运用瑞利法建立该系统的数学方程，不考虑阻尼因素影响的前提下，该系统振动时有：

由材料力学知，在梁端静载荷P的作用下，悬臂梁自由端的挠度为：截面x处的挠度为：

假定梁自由振动时的振动形式与悬臂梁在自由端加一集中静载荷的静挠度曲线相同，则沿叶高方向各截面x的振幅为：

设ρ为叶片单位叶高的质量，则微段dx的动能为：

由此可得全梁的动能为：

令y0为梁自由端振幅，则质量m的自由振动可以表示为：ym=y0sinωnt。

则质量m的速度为

故整个系统动能的最大值为：

整个系统的势能最大值为：

由Tmax=Umax可得：

对于不带冠的压气机叶片，频率方程为：

2.3 工程拓展

由频率表达式可知，叶片一阶弯曲模态频率的影响因素及影响趋势有：（1）模态频率随叶片长度l的增大而减小；随叶冠质量m的增大而减小。（2）模态频率与叶片材料有关，随势能E的增大而增大。（3）模态频率与叶片截面形状参数有关，随截面惯性矩J的增大而增大。在工程实际中，可借鉴上述规律调整叶片模态频率，使其避开激振频率，防止共振发生。

2.4 教学过程设计

该案例可作为机械振动课程“瑞利法”的应用案例。

（1）教师简述航空发动机中叶片的重要性和振动导致叶片断裂的灾难性后果；激发学生热爱本专业、立足于本专业的责任感。

（2）教师提问学生如何建立其力学模型，并引导学生思考该力学模型的误差来源；

（3）教师讲解数学方程建立方法和求解过程，并将涡轮叶片的实际参数代入解析解，与学生一起讨论相对误差的来源，启发学生自我反思，提高学生发现问题的能力。

（4）教师进行工程拓展的讲解，明确采用该方法和计算结果如何直接指导工程设计，让学生感受到学有所用，提高学习兴趣。

3 低压转子系统的扭振模态频率

3.1 工程对象及力学模型

大涵道比涡扇发动机的低压转子系统包括风扇、增压级和低压涡轮部件，如图2所示。在气动负荷不稳定、碰摩等情况下，转子系统可能发生扭振，导致转轴疲劳破坏，因此需要对航空发动机低压转子部件的扭振模态频率进行分析与设计。

将低压转子系统简化如图2所示的力学模型，两端I1、I2分别代表风扇增压级和低压涡轮的转动惯量，系统的扭转刚度为kθ。

图2 低压转子系统及其简化力学模型

3.2 数学模型及求解

设θ1与θ2分别表示圆盘I1与I2的角位移，正方向如图2所示，则可列该两自由度系统的运动微分方程为：

其特征值方程为：

特征行列式方程为：

求得方程根为：

对应的振幅比为：

3.3 工程拓展

（1）由上述简化模型的求解结果可知，ω出现一个零根，相应的振幅比为1，这表明两圆盘以相同的转角进行转动，轴段相对无变形，整个系统作为一个刚体进行定轴转动。即相当于等效刚度为零的单自由度系统。（2）当扭振的频率为ω2时，此时I1和I2恒沿相反方向运动，轴上存在一节面始终保持不动。

3.4 教学过程设计

该案例可作为机械振动课程“两自由度系统自由振动”的应用案例。首先，教师简述航空发动机中转子系统的重要性和转子扭振的不利影响，并引导学生通过定义两个扭转自由度，建立分析该问题的力学模型，提高学生以问题为导向的知识运用能力，激发学生学习兴趣。其次，教师讲解数学方程建立方法和求解过程，利用动画直观的表现两阶振型特征。最后，教师进行工程拓展的讲解，讲述准确预测转子扭振模态频率的意义及调整频率的方法，分享自己参与某转子扭振分析的亲身经历和解决工程实际问题的喜悦心情，让学生感受到学以致用的同时，激发学生对北航和本专业的热爱。

4 高压转子系统的横向振动模态频率

4.1 工程对象及力学模型

航空发动机高压转子部件主要由高压压气机和高压涡轮组成，在不平衡激励作用下可能发生横向振动。高压转子一般采用弹性支承设计，可以将其简化为图3所示的两自由度系统，其中两端轴承的刚度分别为k1与k2，系统的质心为C点，前后支点距离质心的距离分别为l1与l2。

图3 高压转子及其简化力学模型

4.2 数学模型及求解

设在某时刻，质心C相对于静平衡位置向下位移x，同时转子有仰角θ。可得系统运动微分方程的矩阵形式为：

设x=Xsin（ωt+ϕ），θ=Θsin（ωt+ϕ）且，将其代入系统运动微分方程，可得：

其特征方程为：

求解得其固有频率为：

其振幅比为：

4.3 工程拓展

某高压转子的具体参数列表见表1。

表1 某高压转子主要参数表

将表1参数代入固有频率公式可求得：

其振型为：r1=-1.00＜0，r2=0.42＞0

表明在第一阶固有振动时x与θ为反方向，工程中称为俯仰振型；在第二阶固有振动时x与θ为同方向，工程中称为平动振型。

4.4 教学过程设计

该案例可作为机械振动课程“两自由度系统强迫振动”的应用案例。首先，教师讲述转子横向振动是制约我国航空发动机研制的一个关键性问题，以及学院老先生们在发动机转子减振设计方面的卓越贡献，激发学生对北航和本专业的热爱。其次，教师讲述该力学模型和数学模型的推导过程，并让学生自己尝试使用两个线自由度的方式求解该问题，培养学生运用多种方法综合分析问题的能力。最后，教师进行工程拓展的讲解，讨论支承刚度对转子横向振动频率的影响，并讲述在实际工程问题中支承刚度选取范围的限制，培养学生认识到矛盾在实际工程问题中是无处不在的，需要有平衡设计的工程思维。