碳酸盐岩溶孔溶洞型储层双侧向测井响应数值模拟

潘卫国 ， 吴丰 ， 孟凡

(1.中海石油深圳分公司， 南海东部石油研究院， 深圳 518054； 2.西南石油大学 地球科学与技术学院， 成都 610500)

碳酸盐岩溶孔溶洞型储层作为非常规油气藏的一种，分布广泛且储量规模通常较大，产能较高，受到了广泛的关注与研究[1-3]。但由于碳酸盐岩地层储集空间非均质性强，其储层测井识别、有效性评价及流体性质判别等非常困难[4-6]。其主要原因在于碳酸盐岩储层储集空间非均质性强，导致测井响应特征复杂[7]。双侧向电阻率作为碳酸盐岩储层评价的重要测井曲线，其测井响应特征与储集空间特征之间的对应关系还不甚清晰，急需开展相应的研究。

有关碳酸盐岩储层的双侧向测井响应特征研究，前人针对裂缝型碳酸盐岩储层已开展了大量的研究[5,8-10]，并取得了大量的成果及良好的应用效果。相对而言，针对溶孔溶洞型碳酸盐岩储层所开展的研究难度要更大一些[11-15]。范宜仁等[10-12]采用物理模拟和数值模拟的方式，研究了溶洞储层的双侧向测井响应特征。王晓畅等[13]探讨了溶洞充填物的电阻率计算方法。谢关宝等[14-15]对近井眼溶洞的双侧向测井响应特征、环境校正和敏感因素做了分析。整体而言，这些研究主要从基岩电阻率、溶洞尺寸、溶洞充填物性质等方面进行了双侧向电阻率响应分析，但缺乏不同形态、不同尺寸溶孔溶洞对双侧向电阻率的影响研究，且对数值模拟中模型构建、网格剖分及参数设置等细节的描述较少。

现基于COMSOL软件实现溶孔溶洞型储层的双侧向电阻率数值模拟，从电极系系数的确定出发，研究不同形态、不同尺寸溶孔溶洞对碳酸盐岩储层双侧向电阻率测井的影响，以期为碳酸盐岩溶孔溶洞型储层测井识别与流体性质判别提供理论依据。

1 双侧向电阻率模拟基本理论

1.1 电场模拟基本理论

双侧向测井仪器测量过程中的电场理论可归结为对给定边界条件下的麦克斯韦方程问题求解，反映了空间中某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系，其完整微分方程可表示为公式(1)。

(1)

式(1)中：H为磁场强度，A/m；E为电场强度，V/m；B为磁感应强度，T；D为电位移矢量，C/m2；J为电流密度，A/m2；t为单位时间，s；ρ0为电荷密度，C/m3。

实际双侧向测量过程中，主电极和屏蔽电极发射低频交流电，双侧向电场模拟可归为有散(源)无旋稳定电流场的计算问题。因此，忽略时变和磁场的影响，麦克斯韦方程[式(1)]可进一步简化为式(2)。

(2)

假设双侧向所测量地层为均匀各向同性介质，则在稳定电流场中，电位移矢量D可表示为介电常数与电场强度的乘积，电流密度J可表示为电导率与电场强度的乘积，基于电流守恒，电场E可表示为电位u的梯度，得到式(3)和式(4)。电场模拟的主要目的之一即为求取式(4)中电位u的空间分布。

(3)

(4)

式中：ε为介电常数，C2/(N·M2)；σ为电导率，S/m；u为电位，V。

1.2 双侧向测井仪器原理

双侧向测井属于聚焦式电法测井，基本结构包括一个主电极(A0)、两对屏蔽电极(A1-A1′、A2-A2′)和两对监督电极(M1-M1′、M2-M2′)(图1)。仪器测量过程中，需保证屏蔽电极和监督电极与主电极的电流极性相同，且成对电极之间的电位相同，迫使主电极发出的主电流I0聚焦后流入地层深处。通过测量主电极发出主电流I0和监督电极M1、M2到无穷远处的电位差U。其视电阻率公式可表示为

(5)

式(5)中：Ra为视电阻率，Ω·m；K为电极系系数，无量纲；U为监督电极电位差，V；I0为主电极电流，A。

双侧向测井仪器按主电极的供电方式可分为四类：恒流式、恒压式、自由式、恒功率式。恒流式仪器适用于高阻地层的测量，恒压式仪器适用于对低阻地层的测量。自由式仪器的电流和电压是浮动的，同时测量电流和电压的值，可以得到较宽的测量动态范围。恒功率式测量过程中保持电压U和电流I的乘积(UI)不变，可以避免自由式中测量电压和电流被限幅的情况，可获得更大的测量动态范围。但在双侧向数值模拟中，可不用考虑电压和电流被限幅的情况。因此，采用恒流式原理，其优点是参数恒定，更便于双侧向数值模拟研究。

2 双侧向电阻率测井有限元模拟

2.1 仪器与地层模型构建

本研究采用二维轴对称模型，主要包含标准双侧向测井仪器、井眼和地层三个元素(图1)。实际模拟时，地层可根据所要模拟的储层特征进行调整。本研究通过COMSOL多物理场仿真软件构建模型，添加材料属性，设置物理场边界条件，进行网格剖分，利用有限元法进行求解。

2.2 监督电极电位平衡

本研究采用全局常微分方程的弱求解形式来实现两对监督电极(M1-M′1、M2-M′2)电位相等的条件[式(6)]。在COMSOL软件中，通过添加数学接口下的全局常微分和微分代数方程，在函数栏输入式(7)以确保式(6)成立。通过求解式(7)即可得到的监督电极电压u。预先设定主电极电流I0=1 A，计算得到屏蔽电极电流I1，则深侧向模式时屏蔽电极A2的电流为I2=aI1，a为深侧向屏蔽电极间电流比值。

uM1=uM′1=uM2=uM′2

(6)

式(6)中：uM1、uM′1、uM2、uM′2分别为监督电极M1、M′1、M2、M′2处的电位，V。

f(u,ut,utt,t)=aveop1(u)-aveop2(u)+

aveop3(u)-aveop4(u)

=0

(7)

式(7)中:aveop1(u)、aveop2(u)、aveop3(u)、aveop4(u)分别为监督电极M1、M′1、M2、M′2处通过边界探针(bud)与非局部耦合算子平均值(aveop)获得的电位，V;ut、utt表示u在时间t上的一阶、二阶偏微分。

2.3 网格剖分与仪器移动测量

网格剖分的目的是将连续问题离散化，保证计算结果的准确性。在双侧向电阻率模拟过程中，网格尺寸应与电场梯度保持一致。以溶孔型储层地层模型模拟为例，采用二维轴对称方式建模。

针对不同的对象，采用不同的网格剖分设置：①针对尺度较大的地层，整体网格剖分采用“较细化预定义”，设置最大单元尺寸为3.7 m，最小单元尺寸为0.012 5 m，最大单元增长率为1.25，曲率因子为0.25；②针对双侧向仪器，网格剖分需进一步细化，采用“极细化预定义”，设置最大单元尺寸为0.01 m，以保证每个监督电位(M1、M′1、M2和M′2)的纵向边界至少可分剖分为两个单元(图2)。

实际双侧向测量过程中，仪器沿井轴向上移动。本研究通过如下方式模拟仪器在地层中的移动测量过程：①由于仪器的结构和网格剖分较为复杂，为了方便将其位置固定；②将目的地层(储层)和围岩地层视为相对独立的对象，对目的地层施加一个纵向上的移动量H；③设置一个边界探针bud用于检测M1-M′1、M2-M′2两对监督电极的电位，设置一个全局变量探针var用于监测屏蔽电极A1的电流I1和测量电阻率R1等参数； ④模拟不同移动量H条件下的双侧向电阻率，从而得到连续的双侧向电阻率曲线。

2.4 模型参数设置

双侧向电阻率数值模拟的通用假设条件为：①储层基质各向同性；②储层基质均匀，除侵入带以外不考虑流体渗流等因素；③测井仪器外壁电绝缘良好回流电极(浅侧向)和无限远地层为唯一零势能。通用模拟参数及结果输出示例如表1、表2所示。

图2 双侧向测井仪器及地层网格剖分Fig.2 Dual lateral logging tool and mesh of the formation

表1 全局模拟参数设置Table 1 Global parameters settings

表2 探针输出结果Table 2 Results of probe calculation

3 模拟结果分析

3.1 电极系系数

双侧向电极系系数是双侧向模拟的基础，通过改变模型边长L(10 m→100 m→500 m)，研究电极系系数与模型边长L之间的关系。以寻找相对合适的模型边界以及对应的电极系系数。由式(5)可得电极系系数计算为[式(8)]。

(8)

模拟结果显示：① 在屏蔽电极电流线的强约束下，深测向主电极电流线聚焦效果较好，垂直射入地层深处[图3(a)]；② 在屏蔽电极电流线的弱约束下，浅测向主电极电流线聚焦效果一般，在进入地层一段深度后，在地层中逐渐发散开来[图3(b)]；③电极系系数随模型边长增大而减小，模型边长大于等于100 m后，深浅侧向电极系系数趋于稳定；④L=100 m时，深侧向电极系系数Kd=0.693 m，浅侧向电极系数Ks=1.222 m[图3(c)]。

3.2 溶孔型储层

溶孔型储层也称为溶蚀孔洞型储层，溶孔的尺寸通常在5～100 mm之间，一般会存在侵入带，侵入带深度与储层孔隙度、孔隙尺寸等因素有关。假设溶孔型储层电阻率Rt=500Ω·m；并设置深度为0.7 m的侵入带，其电阻率R2=100Ω·m，模型参数设置如表3所示。溶孔型储层的模型示意、网格剖分及模拟结果如图4、图5所示。结果表明：① 溶孔型储层段深浅双侧向电阻率在围岩电阻率的基础上大幅度下降，由2 000Ω·m下降至650Ω·m以下；② 溶孔型储层段深浅双侧向呈现明显负差异；③随着溶孔型储层厚度逐渐增大，双侧向电阻率出现相对平直线段，且深浅双侧向电阻率逐渐靠近(接近溶孔型储层真实电阻率500Ω·m)。

3.3 圆球状溶洞型储层

假设三维空间中溶洞为圆球状(半径为r)，则二维轴对称模型中溶洞显示为半圆形，溶洞电阻率等于钻井液电阻率0.1Ω·m，模型参数设置见表4。改变圆球状溶洞的半径，得到不同的双侧向电阻率响应，其模型示意、网格剖分及模拟结果如图6、图7所示。结果表明：① 圆球状溶洞处深浅双侧向呈现中间凹两边凸的形态，随溶洞半径增大，该形态特征减弱，中间出现相对平直段；② 圆球状溶洞处深浅双侧向电阻率在围岩电阻率的基础上大幅度下降，由2 000Ω·m下降至600Ω·m以下；③ 随圆球状溶洞半径逐渐增大，深侧向电阻率缓慢下降，但浅侧向电阻率急剧下降，由600Ω·m下降至0.2Ω·m附近，主要反映了溶洞内侵入钻井液的电阻率特征；④ 圆球状溶洞处深浅双侧向呈现明显正差异，且随圆球状溶洞半径逐渐增大，深浅双侧向电阻率的正差异越来越大。

图3 电极系系数K与模型边长L关系及模拟流线图Fig.3 The relationship between K & L and Simulate streamlines diagram

表3 溶孔型储层模拟参数Table 3 The parameters of dissolved pore reservoir

图4 不同厚度(h)溶孔型储层模型结构、网格划分、双侧向模拟结果示意Fig.4 Model structure, mesh division, and simalation results of double lateral logging of the dissolved pore reservoirs with different thicknesses(h)

图5 不同厚度(h)溶孔型储层双侧向模拟结果Fig.5 Simalation results of double lateral logging of the dissolved pore reservoirs with different thicknesses(h)

表4 圆球状溶洞型储层模拟参数Table 4 The parameters of spherical cave reservoir

3.4 椭圆球状溶洞型储层

假设三维空间中溶洞为椭圆球状(半径为ra)，则二维轴对称模型中溶洞显示为半椭圆形，溶洞电阻率等于钻井液电阻率0.1Ω·m，模型参数设置见表5。改变椭圆球状溶洞的径向半径，得到不同的双侧向电阻率响应，其模型示意、网格剖分及模拟结果如图8、图9所示。结果表明：① 椭圆球状溶洞处深浅双侧向呈现中间凹两边凸的形态，随溶洞径向半径增大，该形态特征略有减弱；② 椭圆球状溶洞处深浅双侧向电阻率在围岩电阻率的基础上大幅度下降，由2 000Ω·m下降至70～600Ω·m；③随椭圆球状溶洞径向半径逐渐增大，深侧向电阻率同步下降，由600Ω·m下降至70Ω·m附近；④ 椭圆球状溶洞处深浅双侧向差异特征整体较弱，溶洞顶底处呈微弱正差异，溶洞中心处呈微弱负差异或无差异特征。

图6 不同半径(r)圆球状溶洞型储层模型结构、网格划分、双侧向模拟结果示意Fig.6 Model structure, mesh division, and simulation results of double lateral logging of the spherical cave reservoir with different radius(r)

图7 不同半径(r)圆球状溶洞型储层双侧向模拟结果Fig.7 simulation results of double lateral logging of the spherical cave reservoir with different radius(r)

表5 椭圆球状溶洞型储层模拟参数Table 5 The parameters of elliptical spherical cave reservoir

4 结论

(1)本文采用的有限元方法可实现双侧向测井的连续测量模拟，使用全局常微分方程可满足监督电极间的电位平衡。

(2)电极系系数随模型边长增大而减小，模型边长大于等于100 m后，深浅侧向电极系系数趋于稳定；L=100 m时，深侧向电极系系数Kd=0.693 m，浅侧向电极系系数Ks=1.222 m。

(3)溶孔型储层段深浅双侧向电阻率在围岩电阻率的基础上大幅度下降，呈现明显负差异特征；随着溶孔型储层厚度逐渐增大，深浅双侧向电阻率逐渐向溶孔型储层真实电阻率500Ω·m靠近。

(4)圆球状溶洞处深浅双侧向呈现中间凹两边凸的形态，随溶洞半径增大，该形态特征减弱；随圆球状溶洞半径逐渐增大，深侧向电阻率缓慢下降，但浅侧向电阻率急剧下降，主要反映了溶洞内侵入钻井液的电阻率特征。

图8 不同半径(ra)椭圆球状溶洞型储层模型结构、网格划分、双侧向模拟结果示意Fig.8 Model structure, mesh division, and simulation results of double lateral logging of the elliptical spherical cave reservoir with different radial radius(ra)

图9 不同半径(ra)椭圆球状溶洞型储层双侧向模拟结果Fig.9 Simulation results of double lateral logging of the elliptical spherical cave reservoir with different radial radius(ra)

(5)椭圆球状溶洞处深浅双侧向呈现中间凹两边凸的形态，随溶洞半径增大，该形态特征略有减弱；深浅双侧向电阻率在围岩电阻率的基础上大幅度下降；随椭圆球状溶洞径向半径逐渐增大，深侧向电阻率同步下降，差异特征整体较弱。