地下圆形空洞地质雷达成像机理

韩佳明， 刘明明 ， 牛宇凯， 郭亚南 ， 金超

(西安科技大学大学建筑与土木工程学院， 西安 710054)

随着中国基础建设的不断发展，老城区不断进行翻新改造，城市地下空洞不论是数量还是位置上都发生了翻天覆地的变化[1]。城市地下空洞导致道路坍塌事故频发，严重影响工程建设和城市的交通安全[2]。基于以上原因，在城市进行工程施工时，尤其是在地下空洞多而复杂的市区，提前进行空洞的探测和识别是非常必要的[3]。地质雷达作为一种对地下管线、空洞进行探测的重要方法，在探测过程中会常常出现扫描图像解析不明确的问题，因此对地质雷达扫描图像进行细化分析就显得尤为重要。

地质雷达(ground penetrating radar，GPR)，是一种基于电磁波方法的地球物理探测技术，在地下传播过程中，通过对电磁波回波的研究和分析，就可以获得地下目标体的几何形态与空间位置[4-5]。国内外学者对雷达扫描图像进行了大量研究，张劲松等[6]通过对不同管线进行雷达探测，对比分析各种管线雷达图像水平跨度变化特征；冯德山等[7]基于可分离小波理论，实现小波系数空间与雷达电磁场之间的转换，分析双曲线弧长等变形情况；廉飞宇等[8]在研究地下管径尺寸问题时，采用支持矢量机GPR图像中的双曲线，通过拟合后实现管径参数的获取；张旭等[9]采用经过边缘检测后通过目标识别算法提取双曲线特征，提高了双曲线的完整；张鹏等[10]基于双曲线模型，对三点定圆管径计算方法的可靠性进行检验，发现管径计算的准确度与GPR图像成像效果有关；迟凤霞等[11]采用有限元法研究边界条件对探地雷达检测效果的影响，结果表明波长与病害尺寸相近或更小时，检测效果更为显著；Sagnard等[12]、Ahmadi等[13]基于模板匹配技术和LS双曲线拟合的半自动算法来检测，定位管线双曲线算法，该算法具有良好的检测效果；Li等[14]在双曲线模型中加入相对角度信息，有效地估算管线的半径和埋深。

综上所述，国内外学者分析地质雷达扫描图像主要是基于双曲线模型进行研究，对扫描曲线并没有进行细化分析，而实际探测过程中，扫描曲线并不完全由双曲线组成，故迫切需要将扫描曲线进行阶段划分。现通过分析地质雷达天线紧贴地面水平移动过程中电磁波回波接收情况，将扫描图像细分为三个阶段，建立各阶段水平距离与回波延时之间的关系，综合分析了不同半径的圆形空洞在不同埋深条件下电磁波的传播规律与图像的成像机理，最后，结合探测实例验证了成像机理的准确性与实用性。

1 地下圆形空洞成像全过程

1.1 圆形空洞成像原理

地质雷达的发射天线向地下不断发射固定中心频率的电磁波信号，电磁信号遇到介电性质存在差异的界面发生反射，带有电磁信息的反射波被接收天线接收，这样的一次发射和接收过程为一道信号。然后地质雷达系统移至相邻的下一位置发射和接收形成下一道信号。通过主机将接收到的信号放大，数字化后利用成像软件就可以将无数条发射波信号转化形成圆形空洞的探测曲线[15-16]。

在实际探测中，地质雷达发射的信号在二维平面中形成一个扇形面，在三维空间中形成一个圆锥体。如图1所示，当地质雷达在位置1时，由于雷达天线扫描区域是一个扇形面，扇显示；当地质雷达移动至位置2时，对圆形空洞的探测就属于垂直探测，对B的探测形成的圆形空洞反射特征曲线就会在剖面图的B位置显示；同理，当地质雷达移动至位置3时，对B点探测形成的圆形空洞反射特征曲线就会在剖面图的C位置显示[17-18]。

图1 地质雷达圆形空洞成像原理Fig.1 Imaging principle of circular cavity of geological radar

1.2 圆形空洞成像曲线阶段划分

当雷达紧贴地面形面与圆形空洞相交于B点，从而可以探测到B点的圆形空洞，而在时域记录中，对B点探测形成的圆形空洞反射特征曲线就会在剖面图的A位置探测时，假设天线收发同置，电磁波在地下均匀介质中传播，传播路径较为简单，经过圆形空洞反射回到接收天线。

如图2所示，圆形空洞中心在雷达探测线上的投影点为x0，t0为x0处对应的圆形空洞回波延时，其他雷达探测水平位置为xi，对应的圆形空洞回波延时为ti，圆形空洞半径为r，发射天线电磁波的波束角为2θ，假设介质是均匀的，因此波速v是常数。

图2 地质雷达圆形空洞扫描曲线阶段划分Fig.2 Phase division of circular cavity scanning curve of geological radar

根据图2可知，圆形空洞地质雷达扫描图像是以圆形空洞圆心竖直方向为对称轴的轴对称图形，将地质雷达紧贴地面扫描圆形空洞形成的关于水平距离与回波延时之间关系的曲线划分为以下三个阶段。

(1)第一阶段从地质雷达发射信号在二维平面中形成的最大扇形面与圆形空洞刚接触时的A点到最大扇形面半径与圆形空洞的圆心在同一条直线的B点。

(2)第二阶段从地质雷达发射信号在二维平面中形成的最大扇形面半径与圆形空洞的圆心在同一条直线的B点到对称轴右侧最大扇形面半径与圆形空洞的圆心在同一条直线的C点。

(3)第三阶段从对称轴右侧最大扇形面半径与圆形空洞的圆心在同一条直线的C点到对称轴右侧最大扇形面与圆形空洞刚接触时的D点。

1.3 圆形空洞成像曲线方程

1.3.1 圆形空洞成像第一阶段曲线方程

圆形空洞扫描曲线的第一阶段如图3所示。

图3 地质雷达圆形空洞第一阶段曲线形成原理图Fig.3 The first stage curve formation principle diagram of circular cavity of geological radar

对于圆形空洞中的直角三角形根据勾股定理，有

(x-zisinθ)2+[zicosθ-(r+z0)]2=r2

(1)

式(1)中：x为雷达运行至与圆形空洞圆心垂直位置时的水平距离；zi为雷达运行过程中，扫描线与圆形空洞接触时的距离；z0为雷达和圆形空洞圆心垂直时，扫描线与圆形空洞接触的距离。

把z0=vt0/2，zi=vti/2代入式(1)可得第一阶段曲线方程，即

[x-(vt/2)sinθ]2+[(vt/2)cosθ-(r+vt0/2)]2=r2

(2)

由式(2)可知，第一阶段是以水平距离x为自变量，回波延时t为因变量的一般曲线方程。

1.3.2 圆形空洞成像第二阶段曲线方程

圆形空洞扫描曲线的第二阶段如图4所示。

根据三角形勾股定理，有

(zi+r)2-x2=(z0+r)2

(3)

图4 地质雷达圆形空洞第二阶段曲线形成原理图Fig.4 The second stage curve formation principle diagram of circular cavity in geological radar

把z0=vt0/2，zi=vti/2代入式(3)可得第二阶段曲线方程，得

(4)

由式(4)可知，第二阶段是以水平距离x为自变量，回波延时t为因变量的对称中心坐标为(0,-2r/v)的双曲线方程。其中双曲线实半轴长a=t0+2r/v，虚半轴长b=(vt0/2)+r。

1.3.3 圆形空洞成像第三阶段曲线方程

圆形空洞扫描曲线的第三阶段如图5所示。由于扫描曲线是以圆形空洞圆心竖直方向为对称轴的轴对称图像，第三阶段与第一阶段的曲线对称分布，所以第三阶段曲线方程同为式(2)曲线方程。

图5 地质雷达圆形空洞第三阶段曲线形成原理图Fig.5 The third stage curve formation principle diagram of circular cavity in geological radar

1.4 圆形空洞

由于地质雷达扫描曲线为轴对称图像，所以只需分析圆形空洞扫描曲线的第一阶段与第二阶段对称轴左侧即可。

第一阶段由于雷达扫描图是以雷达天线水平移动距离为横轴，且向右为正，以电磁波回波延时为纵轴，且向下为正。对式(2)中x进行求导，可得

(5)

(6)

根据式(5)可知t′x<0，根据式(6)可知t″x>0，所以第一阶段雷达扫描图像在雷达扫描图所处坐标系中为单调递减的凹函数。

第二阶段对式(4)中x进行求导，可得

(7)

(8)

同理在雷达扫描图所处坐标系中，在对称轴左侧根据式(7)可知t′x<0，根据式(8)可知t″x>0，所以第二阶段雷达扫描图像对称轴左侧为单调递减的凹函数。

综上所述，当目标体为圆形空洞且雷达紧贴地面工作时，地质雷达在以水平位置与回波延时建立的坐标系中，圆形空洞雷达扫描图像呈现对称性的特征，将雷达扫描图像细分为三个阶段。其中第一阶段为单调递减的连续凹函数，第二阶段对称轴左侧为单调递减的连续凹曲线，第二阶段对称轴右侧为单调递增的连续凹函数，第三阶段为单调递增的连续凹曲线。而且由于雷达天线在扫描过程中，对称轴左侧电磁波在圆形空洞上的接触区域逐渐增加至不变，雷达扫描图的曲线厚度会呈现出不断增大至稳定的趋势。同理，对称轴右侧电磁波在圆形空洞上的接触区域由不变至逐渐减少，雷达扫描图的曲线厚度会呈现稳定至不断减小的趋势。

2 圆形空洞埋深与半径对雷达扫描曲线的影响分析

2.1 圆形空洞雷达扫描曲线影响参数分析

地质雷达扫描天线发射信号形成的扇形面与圆形空洞刚接触时，如图6所示。

根据直角三角形ΔABC，则有

x=(r/sinθ+r+z0)tanθ

(9)

式(9)中：x为雷达扫描曲线对称轴左侧水平最大距离。把z0=vt0/2代入式(9)可得扫描曲线的水平距离最大范围为

xmax=2(r/sinθ+r+vt0/2)tanθ

(10)

曲线第二阶段水平距离如图7所示。

根据直角三角形ΔAOB，有

x=(v0t/2+r)tanθ

(11)

图6 扫描曲线最大水平距离示意图Fig.6 Diagram of maximum horizontal distance of scanning curve

图7 扫描曲线第二阶段水平距离示意图Fig.7 Horizontal distance diagram for the second phase of scanning curve

式(11)中：x为雷达扫描曲线第二阶段对称轴左侧水平距离。根据式(10)和式(11)可知，雷达扫描曲线三个阶段的水平距离分别为

(12)

由式(12)可知，雷达扫描曲线第一、三阶段水平距离与圆形空洞的半径有关，第二阶段水平距离与圆形空洞的半径和垂直探测时回波延时t0有关。

2.2 圆形空洞埋深对成像的影响分析

圆形空洞的深度位置信息具有重要的意义，圆形空洞随着深度的增加或者减小，地质雷达探测成像特征必然发生一些形态上的变化，通过对成像形态的具体变化进一步分析，以研究地质雷达针对不同深度的圆形空洞雷达图像的差异。

随着地下圆形空洞埋深的增大，代表雷达电磁波传到圆形空洞表面的时间增多，根据式(4)可知，双曲线顶点坐标为(0，t0)，双曲线顶点曲率为k=a/b2=4/[v(vt0+2r)]，其中a为双曲线实半轴长，b为虚半轴长，随着圆形空洞埋深的增大，顶点坐标中t0不断变大，说明曲线的顶点位置不断变深，顶点曲率公式中分子不变，分母增大，顶点曲率数值不断减小，说明曲线顶点的尖锐程度不断变小。根据式(6)和式(8)可知，随着圆形空洞埋深的增大，|t″x|公式中分子变小，分母变大，雷达扫描曲线的三个阶段|t″x|都不断减小，说明曲线的弯曲程度逐渐变小。根据式(10)可知，曲线的最大水平距离随埋深的增大而增大。根据式(12)可知，第一，第三阶段水平距离与埋深、时间无关，水平距离保持不变，第二阶段水平距离随埋深的增大而增大。

因此整体对比可以得出如下结论：随着圆形空洞埋深增大，曲线的曲率减小，曲线图像趋于缓和，水平方向距离逐渐增大，曲线的特征体现出了张开弧度增大的趋势。

2.3 圆形空洞半径对成像的影响分析

圆形空洞的半径大小同样具有重要的意义，圆形空洞随着半径的增加或者减小，地质雷达探测成像特征必然发生一些形态上的变化，通过对成像形态的具体变化进一步分析，以研究地质雷达针对不同半径的圆形空洞雷达图像的差异。

随着地下圆形空洞半径的增大，式(1)～式(12)中r变大。根据式(4)可知，随着圆形空洞半径的增大，顶点坐标中t0保持不变，说明曲线的顶点位置不变，顶点曲率公式中分子不变，分母增大，顶点曲率数值不断减小，说明曲线顶点的尖锐程度不断变小。根据式(6)和式(8)可知，随着圆形空洞埋深的增大，|t″x|公式中分子变小，分母变大，雷达扫描图的三个阶段|t″x|值都不断减小，说明曲线的弯曲程度逐渐变小。根据式(10)可知，曲线的最大水平距离随半径的增大而增大。根据式(12)可知，三个阶段的水平距离都随半径的增大而增大。

因此整体对比可以得出如下结论：随着圆形空洞半径增大，曲线的曲率减小，曲线图像趋于缓和，水平方向距离逐渐增大，曲线的特征体现出了张开弧度增大的趋势。

3 探测实例

地质雷达探测工程位于西安市区某工地区域，为避免地下空洞对周围环境和施工安全造成不良影响，根据任务要求及工程特点，本次地下空洞现场实际探测工作采用Geophysical Survey Systems, Inc.美国劳雷地质雷达，使用了其3207A型探测天线，天线的频率采400 MHz。

以下是测区范围内经过GSSI美国劳雷地质雷达在现场探测的不同圆形空洞的雷达扫描图，结合上文提到的扫描图像分析原理与方法，对不同圆形空洞进行对比分析。

图8～图10为测区中半径为400 mm圆形空洞的实测和理论扫描图像，对比可知实测与理论扫描曲线一致。由于3个圆形空洞处于相同的均匀黄土介质中，黄土的相对介电常数为6，波速v=c/εr，其中c为电磁波在真空中的传播速度，εr为介质的相对介电常数，说明波速v相同，而1号圆形空洞扫描曲线顶点处于2 ns处，2号圆形空洞扫描曲线顶点处于16 ns处，3号圆形空洞扫描曲线顶点处于32 ns处，所以3个圆形空洞的埋深逐渐增大。不同埋深圆形空洞扫描图像各影响因素统计如表1所示。

图8 1号圆形空洞地质雷达实测与理论扫描图Fig.8 Field measurement and theoretical scanning map of No. 1 circular cavity geological radar

图9 2号圆形空洞地质雷达实测与理论扫描图Fig.9 Field measurement and theoretical scanning map of No. 2 circular cavity geological radar

图10 3号圆形空洞地质雷达实测与理论扫描图Fig.10 Field measurement and theoretical scanning map of No. 3 circular cavity geological radar

表1 不同埋深圆形空洞影响因素统计表Table 1 Statistic of influencing factors of circular cavity with different depth

对比分析可知，相同半径的圆形空洞随着埋深增大，圆形空洞扫描曲线弯曲程度逐渐变小，曲线顶点的尖锐程度也逐渐变小，曲线图像趋于缓和，水平方向距离逐渐增大，曲线的特征体现出张开弧度增大的趋势，实际情况吻合理论及检测结果。

图9～图12分别为测区中半径400、600 mm和800 mm圆形空洞的实测和理论扫描图像，对比可知实测与理论扫描曲线一致。由于圆形空洞处于相同的黄土介质中，而且扫描曲线顶点都处于16 ns处，所以三个圆形空洞的埋深相同。不同半径圆形空洞扫描图像各影响因素统计表，如表2所示。

对比分析可知，相同埋深的圆形空洞随着半径增大，圆形空洞扫描曲线弯曲程度逐渐变小，曲线顶点的尖锐程度也逐渐变小，曲线图像趋于缓和，水平方向距离逐渐增大，曲线的特征体现出张开弧度增大的趋势，实际情况吻合理论及检测结果。

图11 4号圆形空洞地质雷达实测与理论扫描图Fig.11 Field measurement and theoretical scanning map of No. 4 circular cavity geological radar

图12 5号圆形空洞地质雷达实测与理论扫描图Fig.12 Field measurement and theoretical scanning map of No. 5 circular cavity geological radar

表2 不同半径圆形空洞影响因素统计表Table 2 Statistic of influencing factors of circular cavity with different radius

4 结论

基于地质雷达波的传播规律研究地下圆形空洞的成像机理。对不同埋深、不同半径圆形空洞的成像规律进行了分析与归纳。具体结论如下：

(1)雷达扫描图像在以水平移动方向与回波延时建立的坐标系中呈现对称性特征，将扫描图像划分为三个阶段，图像在对称轴左侧的第一阶段为单调递减的连续凹函数，第二阶段对称轴左侧为单调递减的连续凹曲线，曲线厚度呈现不断增大至稳定的趋势。同理可得，第二阶段对称轴右侧为单调递增的连续凹函数，第三阶段为单调递增的连续凹曲线，曲线厚度呈现稳定至不断减小的趋势。

(2)考虑圆形空洞深度逐渐变化的情形下，圆形空洞地质雷达扫描曲线的变化趋势。随着圆形空洞深度的增大，曲线曲率减小，曲线图像趋于缓和，曲线水平方向距离增大，曲线的特征体现出张开弧度增大的趋势。

(3)考虑圆形空洞半径逐渐变化的情形下，圆形空洞地质雷达扫描曲线的变化趋势。随着圆形空洞半径的增大，曲线曲率减小，曲线图像趋于缓和，曲线水平方向距离增大，曲线的特征体现出张开弧度增大的趋势。