“大学物理”课程与Mathematica软件相结合的教学研究

周小燕，梁青青，杨 惠，赵春艳

(兰州文理学院 传媒工程学院，甘肃 兰州 730010)

0 引言

大学物理是高等院校中多个专业开设的一门非常重要的基础理论课，对于电子类专业很多后续专业课程学习起着承前启后的作用，同时学习大学物理对于学生思维素质的培养有非常重要的作用.在大学物理的学习中不仅要掌握大量的概念、公式和定律，而且要把高等数学作为工具来解决大学物理中的问题，这就使部分同学在初学时感到困难重重，从而对物理的学习感到枯燥.同时大学物理是一门以实验为基础的课程，由于实验仪器老化或者学校实验室设备欠缺，导致一些实验结果不准确甚至无法实现，从而导致学生理解上的误区.如何能相对容易解决或者让学生能很快接受课堂的知识呢？这是很多教该课程的老师需要思考的问题.

Mathematica的出现为大学物理的学习提供了轻松的氛围，它是集文本编辑、数学计算、逻辑分析、图形、动画于一体的高度优化系统，是目前比较流行的数学软件之一[1].董键[2]主编的《Mathematica与大学物理计算》这部教材讨论了该软件在力学、光学、电磁学等方面的应用，柳宏德[3]用Mathematica获得了任意摆角下的单摆周期近似公式.杨能彪[4]应用Mathematica进行物理理论计算和物理现象可视化的研究，获得了一些有意义的结论.本文通过Mathematica数值计算电场强度[5-6]等来探索 Mathematica在大学物理中的应用.

1 用Mathematica软件对课堂典型案例分析

本文列举一些课堂中的典型案例，并利用Mathematica软件进行分析，学生可以直观地看到利用该软件的便利性，有助于提高课堂的效率，激发学生的兴趣.

1.1 电场强度及其电势的计算

1.1.1 连续点电荷分布引起的电场

在大学物理教程电磁学部分，求连续点电荷分布引起的电场分布是非常重要的知识点.对于大学一年级学生，运用高等数学知识求解总是不那么得心应手，但是借助数学软件可以直观地得出结论及画出相应的图形.对于连续电荷的带电体，可以认为其是由大量极小的电荷微元dq集合而成，其中任意微元都可视为点电荷，它在空间中某点P处产生的场强为：

(1)

例1：在长为l=15 cm的直导线上，设均匀的分布着线密度λ=5.00×10-9C·m-1的正电荷，求在导线的延长线上与导线一端相距d=5 cm的点Q的场强.

解：根据(1)式列出点电荷dq在点Q处产生的场强的表达式为：

(2)

其中dq=λdx.在Mathematica软件中，只需输入下列简单的代码，就可以很快的算出来在点Q处的场强的大小.

ε0=8.85*10^(-12);

l=0.15;

d=0.05;

dq=λ*dx;

λ=5.0*10^(-9);

dE=1/(4*π*ε0)*dq/(l-x+d)^2;

计算结果为674.385.当然还可以算出该导线延长线上任意点处的电场强度大小，只需要改变数值d的大小即可.

解：根据题意可得：点电荷Q1和Q2在P产生的场强分别为

而

所以

虽然学生能理论计算出电场强度的大小，但是电场到底是怎样分布的学生不得而知，借助数学软件就可以作出相应的电场分布，让学生清楚场强的分布状况.

在软件窗口中输入

a = Sqrt[3]; b = 1;

{q1, q2} = {-2.0*10^(-6), 1.0*10^(-6)};

[Psi][x_, y_] := q1/Sqrt[(x + a)^2 + y^2] + q2/Sqrt[y^2 + x^2];

f[x_, y_] := Evaluate[{-D[[Psi][x, y], x], -D[[Psi][x, y], y]}]

StreamPlot[f[x, y], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Clear["Global`*"]

便可得到电场强度分布情况如图1所示.

图1 电场的分布

这样，学生只要改变程序中相应的数据，就可以得出不同距离、不同带电量的点电荷电力线的分布，从而得出场强的分布，结合算出的理论值来理解，会加强学生对磁场概念的理解.

1.1.2 利用高斯定理计算电场强度

高斯定理在静电场中的应用非常重要，尤其是对于对称带电体产生的场强计算尤为重要，合理利用高斯定理能有效简化计算.

例题3：设球壳半径为R，所带电量为Q，根据高斯定理，可知球壳内外的电场为：

(3)

根据电势的计算得出：

(4)

(5)

同样可以做出当r>R的电位，如图2和图3所示.

虽然均匀带电球壳内外电场强度和电势的计算简单，但是，通过Mathematica软件可以得出电位和场强的等高线，让一个理论问题非常容易理解，从而激发学生学习物理的兴趣.

1.1.3 受迫振动

在大学物理的教学过程中，振动和波动是非常重要的章节，但是在教学过程中，振动这个章节会涉及二阶微分方程求解，由于高等数学和大学物理在教学知识点上的不同步，导致很多同学在学习振动这章时不会求解，从而对振动内容糊里糊涂，但是通过Mathematica软件辅助教学，就会让学生比较直观地理解所学内容.

图2 均匀带电球壳的电位

图3 均匀带电球壳的电场强度等高线

例题4：设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂着一个质量为m的物体，当物体处于静止状态时，这个位置就是物体的平衡状态，当物体受到外力作用向下拉一段距离时，求出物体的振动规律.

化简并移项，得到下面的表达式

(6)

上式就是在有阻尼的情况下物体自由振动的微分方程.

在建立方程的过程中，虽然学生对牛顿第二定律比较熟悉，但是求解这个方程要用到数学中的微分方程，这对学生的理解会产生一定的影响，而类似的物理模型有电路中的RLC振荡电路、单摆、复摆等非常重要的模型.但是，很多同学都不会求解或者不知道解的形式，如果采用Mathematica软件来辅助则可以达到非常好的效果，同学们可以看到具体图形.在软件窗口中输入：

m=1;c=28.28;k=200; [Delta] = c/(2*m);

Subscript[[Omega], 0] = Sqrt[k/m];

x1 = 1; time = 4;

p = NDSolve[{x''[t] + Subscript[[Omega], 0]^2*x[t] +

2*[Delta]*x'[t] == 0, x[0] == x1, x'[0] == 0}, x, {t, 0, time}];

x = x /. p[[1]];

Plot[{x[t]}, {t, 0, time}, AxesLabel -> {"t/s", "x/m"},

PlotRange -> All]

Clear["`Global`*"]

只需变化上述代码中的时间和c的数值，就可以画出临界阻尼、欠阻尼和过阻尼的图形，具体如图4所示.

图4 当c=0.8,c=28.28,c=35时分别对应欠阻尼，临界阻尼，过阻尼

这样，学生只要改变相应的参数，就可以从图形上看到结果，从而更好理解教学中的相关内容.

2 在教学中利用Mathematica软件的优点

2.1 Mathematica软件强大的作图功能，将抽象演变为具体

Mathematica软件是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、与其他应用程序的高级连接等功能，在相应领域内处于领先地位，也是使用最广泛的数学软件之一.虽然目前有很多软件如excel、spss等也可以做一些比较简单的图形，但是针对大学物理等比较高层次的专业领域的学科研究使用中，要将抽象的数学概念、公式等通过具体图像图形表现出来，就必须使用Mathematica软件，做出的图形更具体也更形象，实现了从抽象到具体的转变，更有利于开展科学研究.

2.2 Mathematica软件为解决具体问题提供实践条件

大学物理中有时一个问题可能要好几种解决的方法，这些方法中存在着各种联系和区别，每一种方法都有优缺点，那么到底用哪一种方法最简便呢？回答这些问题的最简单的方法是将这些方法都列出来，给学生一一讲解，但是，在教学过程中，这些计算都将耗费大量时间，如果借助Mathematica软件强大的计算能力及其超强的绘图能力就可以展示比较多的计算方法[7-8]，这样有助于拓宽学生的解题思路和知识视野，有助于学生更好地学习大学物理知识，为后续学习奠定基础.

2.3 Mathematica软件帮助学生建立第二课堂，有助于课后复习和归纳

随着计算机的普及以及人们生活条件的改善, 已有较多学生拥有个人电脑.这样，只需要在个人电脑上安装上Mathematica软件，就相当于拥有了个人多功能计算实验室和第二课堂[9].学生课后就可通过软件方便地实践课堂上所学知识，还可以对相似的问题进行总结和归纳，最大程度利用教学资源和软件资源，提高学习的主动性和创造性.

3 结语

本文用Mathematica软件对《大学物理》教学中几个重要的物理模型进行了深入研究，给出了均匀带电球壳全空间的电势和电场强度分布的等高线.编程作图的结果可以直观呈现给学生，加深学生对知识点的理解，提高课堂效率.Mathematica软件数值能力强大，并且可以模拟一些在实验室中难以完成的物理实验，对大学物理教学有重要的辅助作用.