基于EKF和模态坐标转换的结构损伤识别方法

戴 霖

（江西省水利科学院，江西 南昌 330029）

0 引言

扩展卡尔曼滤波（extended kalman filter，EKF）是在线性最小方差估计的基础上，提出的一种实时递推型的最优估计滤波算法，近年来被逐步应用于工程结构的参数识别研究[1-5]当中。为解决传统EKF算法中其状态向量维度过大导致该算法运行效率变慢、识别精度下降等问题，本文提出了一种改进的EKF算法，引入模态坐标变换，利用模态坐标转换对传统EKF的状态向量进行处理，构建以模态坐标初始值和结构损伤参数的状态向量。由于结构振动响应通常由前几阶的低阶频率成分组成，因此，对复杂结构可以有效缩减状态向量的维数，以保证算法的稳定性及准确性。

本文运用该算法对一多自由度系统的结构参数进行识别，并采用MATLAB软件编制了程序。数值算例的结果表明，该算法可以对结构的损伤参数进行识别，且识别效果较好。

1 基本理论

多自由度系统自由振动运动方程：

式中：M，C，K分别为结构质量、刚度矩阵；p为各节点位移向量。

在上式中引入模态坐标变换p=Φq。式中：q为模态坐标，Φ为正规化模态矩阵，满足ΦTMΦ=I、ΦTKΦ=Λ[Λ=diag（ω21…ω2n），ωn为结构第n阶无阻尼固有频率]。可将上式模态坐标进行转化，其运动方程为：

式中：Γ=ΦTCΦ，定义阻尼比ξn=Cn/（2ωnMn），则当0＜ξn＜1，即在小阻尼情况下，该方程模态坐标可表示为：

根据状态方程和量测方程，直接套用扩展卡尔曼滤波算法，经化简后其递推公式为：状态预测方程：

式中：Hj为非线性函数h（θ，x，t）的雅克比矩阵；

当结构质量不变，上式计算中所需的∂ωn/∂αi、∂φn/∂αi（即固有频率和模态关于损伤参数的灵敏度）可用基准有限元模型计算[6]。

由上述多自由度体系的公式推导中可以看出，将模态转换理论应用在扩展卡尔曼滤波中，利用模态坐标转换对传统EKF的状态向量进行处理，构建以模态坐标初始值和结构损伤参数的状态向量后，对于复杂结构，可以选取相应的模态阶数进行计算，达到缩减状态向量维数的效果，从而保证本文改进算法的稳定性。

2 数值算例分析

为利用上述方法来验证改进的EKF算法在结构参数识别上的实用性，本文以一个三自由度弹簧质点结构模型为例（见图1）进行验证。

图1 弹簧质点结构模型

本文数值仿真算例中的各单位采用无量纲化进行处理[7]。三自由度弹簧质点结构模型参数为：弹簧质点质量m1、m2、m3均为5；弹簧原始刚度k01、k02、k03均为200；弹簧原始阻尼比ζ1、ζ2、ζ3均为0.03；根据式（4）、式（5），假定弹簧质点结构模型损伤后各弹簧刚度损伤因子α1、α2、α3分别为0.9、0.8、0.7；各弹簧阻尼比损伤因子β1、β2、β3分别为1.1、1.15、1.2。

本文通过MATLAB软件进行计算，在初始条件下，提取自由振动下各个弹簧质点的位移响应信号作为观测值，并同时加入高斯白噪声模拟观测噪声的影响，对结构响应数据中无噪声、5%噪声和15%噪声3种情况分别给出识别结果。

（1）无噪声下识别结果见图2、图3。

图2 刚度损伤参数收敛曲线（无噪声）

图3 阻尼比损伤参数收敛曲线（无噪声）

（2）5%噪声下识别结果见图4、图5。

图4 刚度损伤参数收敛曲线（5%噪声）

图5 阻尼比损伤参数收敛曲线（5%噪声）

（3）15%噪声下识别结果见图6、图7。

图6 刚度损伤参数收敛曲线（15%噪声）

图7 阻尼比损伤参数收敛曲线（15%噪声）

由图2至图7结构各损伤因子的收敛曲线可以看出，在不同级别噪声情况下，各个损伤参数的识别结果均可以快速识别，均能够在短时间内收敛且稳定趋近于真实值。由表1、表2中结构各损伤因子的识别结果可以看出，本文改进算法可以对结构损伤后的刚度及阻尼参数进行识别，且识别效果较好、精度较高。随着噪声逐级增加，虽然损伤因子的相对误差也会相应变大，但是各个参数识别结果的精度均较高。表1中，刚度损伤因子识别结果最大相对误差为1.71%。表2中，阻尼比损伤因子识别结果最大相对误差为3.33%。可见，本文算法具有良好的识别效果。

表1 刚度损伤因子识别结果

表2 阻尼比损伤因子识别结果

3 结论

本文在扩展卡尔曼滤波算法的基础上，结合模态坐标变换，提出了一种改进的扩展卡尔曼滤波算法，并将该算法对一多自由度弹簧质点系统进行了数值算例计算。结构参数识别结果表明，该算法可以对结构参数进行有效识别，精度较高，证明了该算法在结构参数识别领域当中的可行性。因此，对于复杂结构损伤参数识别的问题，可以在此基础上进一步验证。