HPM视角下的函数考源教学

◎李慧敏

(无锡卫生高等职业技术学校，江苏 无锡 214000)

2016年12月7日至8日，全国高校思想政治工作会议在北京举行习近平总书记强调，好的思想政治工作应该像盐，但不能光吃盐，最好的方式是将盐溶解到各种食物中自然而然吸收

数学史是研究数学内部知识、外部事物发展需要及其规律的科学它不仅是一部从数学内在的原因来研究数学发展的历史，也是一部从外在的社会原因来研究数学发展与其他社会因素间关系的历史

笔者认为在课堂中教师应根据教学内容特点，挖掘教学内容中的育人要素，将其有机融入课堂教学中，润物无声，切实打通学科教育与思政教育紧密融合“最后一公里”在函数概念教学中，函数概念发展史犹如精神上的“盐”，是学生深刻认识几个阶段函数概念的“调味品”适量放盐，才能让学生在咸淡适宜、味美可口的“课堂学习大餐”中汲取营养、受益终生

德国数学家克莱因曾将函数称为数学的“灵魂”，并认为函数概念应该成为中学数学的“基石”函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用函数的概念是全部数学概念中最重要的概念之一纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从解析式、变量说、对应说、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展函数概念的一次次提出、一次次推翻、一次次修正、一次次完善，是后人对前人思维的一次次突破函数概念的演进过程可利用下表总结：

学说解析式说变量依赖说变量对应说集合对应说代表人物莱布尼茨和欧拉欧拉狄利克雷布尔巴基学派

在实际教学中，经常有学生会问:“在初中已学过函数，现在又要重新学习函数，那么是初中函数定义不对吗？”为了回答好学生提出的问题，教师在教学过程中应该循着函数演变的进程，设计教学活动，让学生了解函数发展历程和函数概念演变的必要性，拓宽学生视野，使学生感悟数学的理性精神，提升学生的数学学科核心素养人们往往认为“历史文化”与数学教学呈现“弱相关”，因为数学课堂中数学运算、逻辑推理和数据分析等主要数学活动似乎与人的生产生活、道德品质没有直接的关联事实上，数学教育中的数学历史文化是深层次的，有其独特的内涵

笔者近期就再现数学历史、发展学生数学核心素养做了一些尝试，下面结合这节课谈谈个人的认识和体会

一、教学实录

(一)概念的引入

教师课前让学生利用网络资源，搜索整理函数概念的发展史，综合学生的整理结果，基于学生的课前准备，提出问题，重现函数概念演变的历史

设计意图：在新课引入中，教师充分挖掘与数学教学内容相关的育人元素，渗透课程思政教育，也可以充分挖掘数学知识本身蕴含的教育因素与文化价值，如：数学文化、励志榜样、历史人物、行业现状以及数学发展动态与变革等素材

(二)概念的发展

案例1 某男童，5岁，因患急性支气管炎，现按医嘱需用注射阿米卡星治疗(按体重计算药剂量)已知小儿用药量按体重计算公式如下：

每次剂量=体重(kg)×每次每千克体重需药量

注：阿米卡星小儿用药为每次2 mg/kg；

5岁儿童正常体重范围16 kg～20 kg

问题1 上述案例中，有几个变量?变量之间的关系是如何体现的？

历史材料 17世纪德国数学家莱布尼茨在手稿《反切线或函数方法》中用fuction一词来表示某个特殊的几何量，如一个图形中的线段，正式文中几个几何量之间的关系导致“函数”演变成代数式1718年，数学家约翰·伯努利将函数定义为：一个变量的函数是该变量和一些常数以任意方式组成的量因此函数的定义拓广到代数式1748年，欧拉在《无穷分析引论》中将函数定义为：函数是由一个变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式

在当时的历史条件下，数学家普遍认为函数就是解析式，但随着新问题出现，如18世纪中期，数学家一直在争论振动弦的问题：波动一根两端固定的弹性弦，使其具有某种初始状态，然后使其释放振动你能用表达式表示变量间的关系吗？

设计意图：结合专业特征，设计教学案例教师从学生最近发展区出发，引导学生回顾函数解析式说，启发学生思考：在现实生活中还有很多两个相互依赖的变量是无法用表达式建立联系的，该如何表示两个变量关系？

案例2 波动一根两端固定的弹性弦，使其具有某种初始状态，然后使其释放振动，弹性弦的振幅随时间的变化情况如下图所示

问题2 案例2中有变量吗？如果有，有几个变量？你能写出变量之间的关系式吗？

从这个例子中，我们发现，解析式并不能表示所有的函数关系，因此需要改进函数概念

历史材料 由于“解析式说”并不能解释所有的函数关系，欧拉在1755年《微分基础》的前言中更新了函数的定义：如果某些量依赖于另一些量，当后面这些量发生变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数至此，函数的“变量依赖说”取代了“解析式说”“解析式说”和“变量依赖说”两种函数定义统治了相当长的历史时期

设计意图：教师遵循函数概念发展演变过程，启发学生进一步思考，表述变量依赖关系的函数概念，培养学生勤于思考、严谨求实的学习品质

案例3 今年2月份全国新冠肺炎当日新增确诊人数统计表如下

日期2223242526我国新冠肺炎当日新增确诊人数10127610

问题3 上述表格中有变量吗？如果有，有几个变量？你能用变量依赖说解释吗？

历史材料 1837年，德国数学家狄利克雷认为：如果对的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数“狄利克雷函数”的提出意义在于：这一全新的函数，突破了以往人们对于函数的印象，它既不能用统一的解析式表示，也不能用变量依赖说解释狄利克雷定义的函数概念，第一次将函数定义域限定在一个区间上，打破了以往函数定义在整个实数集的局限这一定义就是人们常说的经典函数定义由此，函数的“变量对应说”取代了函数的“变量依赖说”

下面我们来回顾一下函数概念的三次演变

学说解析式说变量依赖说变量对应说代表人物莱布尼茨和欧拉欧拉狄利克雷

在上一章中，我们学习了集合，知道了用集合来表示对象既简洁又清晰

问题4 你能说说这三个函数自变量和因变量的取值集合吗？

(1)=2(16≤≤20)

(3)

日期2223242526我国新冠肺炎当日新增确诊人数10127610

问题5 我们用集合表示了两个变量的范围，现在可不可以在变量对应说的函数定义下，重新在集合的视角下来定义函数呢？

历史材料 20世纪康托尔创立了集合论，人们发现集合语言能简洁清晰地表示一些数学对象，并且集合语言被称为近现代数学的基本语言，广泛地应用于数学各个分支学科因此，集合概念的出现使得函数概念得到了进一步的发展数学家庞加莱曾说过，有了集合论，数学的完全严格性就已经达到，用集合语言重新定义函数概念，是函数概念逐渐精确化的最佳途径

设计意图：在现实生活中，变量不仅可以代表实数，还可以代表不能表示大小的其他事物，既然变量都不是数字了，那么我们应该找一个更加宽泛的概念来描述这种关系，于是函数“集合对应说”应运而生

在这一环节中，教师通过三个案例和五个层层递进的探究题，启发学生遵循数学家探究生活中变量关系的思路，理顺函数定义发展的脉络，让学生在获取新知的同时，能感悟数学家治学严谨的态度

(三)概念的生成和理解

问题6=1是不是函数？如果是，定义域和值域分别是什么？

设计意图：打破函数变量依赖说的惯性思维，教师引导学生从集合对应说角度，考察=1是否为函数，加深学生对函数集合对应说的理解

问题7 是否存在一个函数，使得非负实数对应1，负实数对应-1？如果可以找到，那么该函数定义域和值域分别是什么？

设计意图：教师通过举例构建函数，进一步加深学生对集合元素对应关系的认识

问题8 观察图像，是的函数吗？说明理由

设计意图：促进学生对定义中两个变量的任意性和唯一性的理解，为辨别函数提供方法指导

问题9 下列函数是同一个函数吗？

(3)=,∈{0,1}与=,∈{0,1}

设计意图：教师通过同一函数的辨别，突出函数定义域和对应法则在函数概念中的地位，凸显函数概念的本质

(四)课堂小结

教师引导学生回忆本节课的具体内容，从中梳理知识层面和精神层面的收获，启发学生思考函数概念演变历史带来的启示：数学的研究方向很多，函数是一个基础而深刻的概念，从逻辑上来说，内涵越小外延就越大如果一个概念定义越简单，它能包括的事物就越多从函数概念的演变历程可以看出，函数的定义需要众多数学家的研究，更需要几百年数学的发展作为基础

二、学习反馈

课后问卷调查结果显示：(1)在函数集合说概念理解上，课前有802%的学生认为=0不是函数，课中教师举了一个类似的例子:=1是不是函数?通过函数集合说的概念学习，学生都认为这是一个函数，且能用集合对应关系来描述函数，并能指出定义域和值域(2)90%的学生明白了为什么初中学习过函数，现在要重新认识函数，并且明白现在所学的集合对应说的函数定义并非函数概念的最终形式，随着问题层变化，可能还会出现新的函数概念，研究更加复杂的函数关系(3)在课后测验中，我们发现大部分学生想了解数学概念发展的历史，喜欢听数学家构建数学知识的故事，愿意遵循数学家的足迹认识和重构新知识同时大部分学生希望“在数学课中穿插数学家的故事和言行”因为他们认为对比以前课堂上背概念、背公式和刷题，现在这种学习方式更有趣、更生动，他们不仅能感受到数学家的治学严谨，还能感受数学家背后折射出的人性光芒，既拓宽了他们的知识面，又使他们感受到数学课程渗透的人文精神

三、教学反思

通过学习，学生追随数学家们的脚步，经历函数概念从“解析式说”到“变量依赖说”，再到“变量对应说”，最后到“集合对应说”的整个发展过程，获得了对函数概念的深刻理解，同时积累了数学探究的经验，感受到数学的演进性特征整节课中，学生遵循数学家探究现实生活中变量关系的路径，在问题情境探究中，共同揭示现实生活中各种变化过程背后的客观规律，不仅了解了数学概念的发展史，还在旧知的基础上构建了新知，建立更加稳固的函数概念知识网络图

通过“函数”一课的教学实践，笔者认为，在课堂上再现数学历史，发展核心素养，不能仅仅停留在“贴标签”层面，教师要结合具体的教学内容，从教学目标的确定、教学过程的实施到教学评价，都要有核心素养培育的意识，充分挖掘教学内容中核心素养培养的素材，找准切入点，关注生长点，慢慢渗透，长期培育，逐步提升学生的数学核心素养

(一)再现历史，重构知识

数学知识具有厚重的历史文化背景，数学的发展史就是数学知识的演变史本课采用的史料主要是通过历史文献得出结论：早期数学家在函数概念的理解上存在困惑，源于纷繁复杂的世界，历史是一面镜子，历史相似性的存在告诉我们，如果我们能走进另一个时代、另一种文化的数学家的心灵中，那么我们就能更从容地走进同一个时代、同一种文化的学生心灵中，一起循着数学家的足迹，重新构建知识

(二)改进方式，理解深刻

本文采用历史发生教学原理，结合护理专业特点，整合教学资源，呈现知识自然发生全过程荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为数学学习主要是进行“再创造”，教师只有让学生经历了知识的“再创造”过程，才能将知识以它最初被发现时的样子表现出来，才能将数学冰冷的美丽转变成火热的思考因此本节课通过再现历史、改进教学的方式，将知识发生过程进行浓缩，侧重于主题发生发展的关键步骤、概念发生及发展中的思考过程，让学生深刻理解知识的发展呈螺旋式上升在一定的历史背景下，人们将某个概念定义为一种形态，随着纷繁复杂的事物变化以及人们探寻解决问题的认知力的提升，某个概念的呈现也会发生变化数学教学不能割裂数学历史，了解历史，有助于我们更好地理解和教授数学概念这种呈现方式既符合函数概念发展的历史脉络，又符合函数概念发展的逻辑脉络课堂中学生回忆已有的函数知识时，大多数学生对函数的理解还是局限在一次函数、反比例函数和二次函数的层面，也就是函数概念发展的第一个阶段解析说因此，教师应从解析式定义出发过渡到另外三种定义，站在学生认知的起点，构建学生的认知脉络

(三)精神引领，素养培育

源于教材、高于教材的内容蕴含着数学思想方法、理性思维、情感态度、问题解决的能力等，需要教师从素养培养的视角进行适当的加工和挖掘学生通过数学学习，养成善于思考、以理服人的行为习惯，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，感悟严谨求实的科学精神和一丝不苟、精益求精的工匠精神本节课中数学学家研究概念的思维方式，刨根究底、严谨治学的科学精神等隐性的教育素材，是数学教育提升学生学科素养、实现立德树人目标的有力支撑