“双减”背景下以学生错题为本的数学教学探究——以一个数轴距离问题为例

舒美清

(长兴县龙山中学，浙江 长兴 313100)

数学问题的解决过程可以有效促进学生掌握知识和方法，同时反馈学生的知识疑难点和方法疑难处.波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》告诉我们：解题是一种实践性的技能，我们可以通过模仿和实践来学会任何一种实践性技能.在学习解题方法时，我们首先应观察和模仿别人解题时的做法，然后通过解题而学会解题.因此，要想提高学生的解题能力，必须给予其足够的机会去模仿和实践[1].

在“双减”背景下，如何做到既能提升学生的解题能力，又能减轻学生过重的作业负担，是教师们值得深入思考的问题.教师提供给学生完备的学习过程，引导学生进行知识归纳和方法梳理，设计符合学生认知特点的教学，这些都是提升学生学习能力和减轻课业负担的有效方法.因此，巧借错题揭示问题的本质，拓展学生解决问题的思路，才能构建有效课堂，从而提高学生的学习效率.

本文以一个数轴距离问题为例，从学生的错误点入手，帮助学生进一步理解数轴上两点之间的距离，巩固所学知识，并通过类型问题的归纳，帮助学生找到解决这类问题的有效方法，使其体验不同问题解法过程的共性特点.

1 呈现原题解答错误，分析错误原因

原题如图1，在数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和则点C对应的实数是________.

图1 题图Fig.1 Problem analysis diagram

关于该题，学生的解答错误比较多，主要体现在以下几个方面：

(1) 没有解题思路，无法对问题进行解答；

(3) 由于对符号的忽视，造成对距离与数的转化不到位.

学生出现这一系列问题，说明其对数轴上的距离问题不理解，不能抓住数轴上的距离特征.通过错误结果的呈现，让学生重新认识问题，这既符合学生的认知规律，又易发挥学生的主体参与意识.同时，引导学生分析错误的原因，并对错误结果进行再思考，从而提升再学习的效果.

2 理解数轴上的距离，归纳解题方法

数形结合是解决数学问题的一种重要手段和方法.数轴上点与实数一一对应的特征，很好地将数与形进行了完美的结合[2].数轴不仅能有效体现数与形的对应关系，还能直观表示两个实数点之间的距离.因此，解决数轴上的距离问题，首先要明确数轴上每一个数所表达的距离特点，其次要明确每一个距离所表示的数.利用数轴的特征，不仅能帮助学生形成距离的概念，还能培养学生利用数形结合解决问题的思维[3-4].

理解数轴上距离的概念，是对知识的回顾和思考.只有回归到学生的知识起点，激活学生对已有知识的再认知，才能发挥学生的主体意识，让学生在探究活动中体现主动性，从而将学生的零散知识进行有效整合，使其达到知识全面化、方法统一化、思维系统化.

问题1(知识点)：如图2中的①、②、③，根据图中A、B两点表示的数，说出这两点之间的距离.

图2 题图Fig.2 Problem analysis diagram

在教学中，教师可通过利用数轴上点的具体数值，引导学生利用点A和点B的数值求出A、B之间的距离，并体会数轴上两点之间距离的求解方法.问题的设计既关注了数的特征和相应点位置的变化，也注重了数与点位置变化的层次性.

在学生求解完毕后，教师可引导学生归纳求解方法，并将问题一般化，以达到方法的及时类比和迁移，从而使学生的学习迈向新台阶.

问题2(知识点)：如图3中的④、⑤、⑥，根据图中A、B两点表示的数，说出这两点之间的距离.

图3 题图Fig.3 Problem analysis diagram

将知识点的具体性问题，通过类比的方法给出一组字母类型的题组，从而转化为一般性问题.让学生经历由特殊性到一般性、由已知量到未知量的思维探究过程，并在探究过程中获得解决问题方法的共性点，体验解法的相通之处.在实际教学中，通过学生的探究和交流，得出数轴上任意两点之间的距离为数轴上两点所表示数的差的绝对值，即|AB|=|b-a|=|a-b|.

问题3(解决原题)：如图4，在数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和则点C对应的实数是________.

图4 题图Fig.4 Problem analysis diagram

分析由题目条件又因为|AB|=|AC|，所以由此所以点C表示的实数是

学生借助数轴上两点之间距离的计算方法AB=|b-a|=|a-b|，很容易求出A、B两点之间的距离，从而得出A、C两点之间的距离.在教学中，教师可进一步帮助学生形成 “如何将距离转化到数”的思路，引导学生思考：①已知AC的距离，将点A怎样移动才能得到点C？②向右移动可以利用什么运算？③得到怎样的算式，点C表示的数是多少？学生在教师的引导下，借助数轴上的距离特点和加法运算，求出点C表示的数，并归纳方法：找距离、寻关系、列算式、得答案.由此，学生就有了明确的解题思路和方法，且在后续的学习中也能感悟不同问题的共性解法.

3 解决数轴上的距离问题，拓展解题方法

在前一环节，教师对学生求解数轴上两点之间距离的方法进行了提炼，并帮助学生巩固方法，提升其解决问题的能力.事实上，学生对知识的理解程度如何？方法的运用能力如何？正确率多高？都必须通过学生解决问题才能有效地反馈.学生及时进行模仿和操作，能有效地帮助其形成这一类问题的正确解法.

笔者设计以下3个问题，通过这一组题，一方面是为检测学生的学习效果，及时了解学生对方法的理解程度；另一方面是为及时帮助学生掌握方法，并为后续方法的巩固和思维的形成作铺垫.

问题1如图5，在数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、C两点对应的实数分别是1和则点B对应的实数是________.

图5 题图Fig.5 Problem analysis diagram

分析由题目条件又因为|AB|=|AC|，所以由此所以点B表示的实数是

问题2如图6，在数轴上，点A与点B表示的数分别是10和-2，在点A、B间插入点C和点D，使这4个点每相邻的两个点之间的距离相等，则点C、D对应的实数分别是________.

图6 题图Fig.6 Problem analysis diagram

分析由题目条件|AB|=|10-(-2)|=12，又因为|AD|=|DC|=|CB|，所以|AD|=4，|DC|=4，|CB|=4，所以点C、D表示的实数是2和6.

问题3如图7，在数轴上，点A与点B表示的数分别是6和在点A、B间插入点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，则点C对应的实数是________.

图7 题图Fig.7 Problem analysis diagram

分析由题目条件又因为|AC|=2|BC|，|AC|+|BC|=|AB|,所以由此所以点C表示的实数是

问题类型的类比化，有助于帮助学生更好地思考问题、解决问题、巩固方法，从而达到对问题解法的通性通法.

针对问题1，教师可要求学生在解决原题的基础上直接求解.针对问题2和问题3，教师在课堂上并不是让学生直接求解，而是要学生将其与问题1进行类比，引导学生找到这两个问题与问题1的不同之处和相同之处.问题1是距离的2等分，问题2是距离的3等分，如何将2等分问题转化为3等分问题，其实质是将点向右(或向左)进行2次等距离的移动，这样可使学生利用已掌握的方法求出结果.将问题3与问题2进行类比，引导学生理解距离的2倍关系，让学生根据已有的学习经验将AC等分，从而转化为类似问题2的问题，进一步感受解法的共性美.

4 拓展数轴上的距离，方法类比迁移

数学问题的解决在于能将问题进行有效拓展，使学生通过模仿解题形成良性的思维拓展.学生通过类比解决问题，还需具有“跳一跳”再解决问题的思路.在教学中，教师应拓展学生思维的广度和深度，让学生在思维拓展中有效地解决问题，并感悟得一法通一类，从而体现解法在类型问题解决上的优势.

问题1如图8，点A在数轴上表示的数是一个边长为1的正方形的顶点与点A重合，开始沿着数轴向左无滑动的滚动一周到达点B，则点B表示的数是________.

图8 题图Fig.8 Problem analysis diagram

分析由题目条件正方形向左无滑动滚动一周，即点A向左平移正方形周长的距离，所以|AB|=4，由此所以点B表示的实数是

问题2如图9，在半径为2的圆上，点A与表示数5的点重合，从点A开始沿着数轴向左无滑动地滚动一周，滚动一周后到达点B，则点B表示的数是________(用含π的代数式表示).

图9 题图Fig.9 Problem analysis diagram

分析本题类似上一题，相当于向左平移的距离是圆的周长.所以点B表示的实数是5-4π.

问题的提升，需考虑到学生思维的立足点和问题的关联度.针对问题1和问题2，学生应先寻找移动的距离，然后根据距离列出相应的算式，最终求出正确结果.这两个问题虽然难度不大，但仍需要一个思维的形成和转变的过程.

问题3如图10，在半径为2的圆上，点A与表示数3的点重合，从点A开始沿着数轴向左无滑动滚动一周，滚动一周后与数轴上点B的距离为2，则点B表示的数是________(用含π的代数式表示).

图10 题图Fig.10 Problem analysis diagram

分析由题目条件,向左滚动1周相当于向左平移的距离是圆的周长，而点A运动后的终点可能在点B的左侧或右侧,因而对点A的情况要分类求解.若点A的终点在点B的右侧，则点B表示的数是1-4π；若点A的终点在点B的左侧，则点B表示的数是5-4π.

问题3与问题1和问题2类似，但由于点B的不确定性，因此需要进行分类讨论.考虑运动后点A的最终位置在点B的左侧还是右侧，进而根据距离关系的共性解法求得点B表示的数.

以上这组题涉及：直线型和曲线型运动产生的距离；图形滚动的路程与移动距离的关系；图形的周长与两点间距离的关系.在教学中，教师可引导学生将此题与前一组问题进行类比，让学生发现在距离上表述的不同之处，感悟解法的共性之处.

5 结 语

本文从学生的错题入手，在知识梳理中体现学生探究结论的思维过程，在问题解决中体现解法共性的探究.教师在设计小专题课时，对知识点的再梳理和再探究尤为重要.教师应重视学生在知识理解上的困难和在问题解决上的方法不足，重视学生的障碍点，做到由浅入深、由易到难，重视方法的类比和迁移，既要做到对方法的巩固和运用，又要让学生感悟题变而法不变.通过问题的层层递进和解法的灵活运用，体现同一解法在不同问题中的运用，精准有效地培养学生的解题能力，强化学生的思维能力.