车险定价中风险保费类别的构造——基于广义线性模型与数据驱动的分箱方法

张连增 江璐嘉

一、引言

车险定价一直是非寿险精算定价中的一个研究热点，已有文献较多(Denuit 等，2007[1]；Klein 等，2014[2]；孟生旺等，2017[3])。保险公司经营的核心目标是盈利，科学的风险管理技术可以为保险公司的持续运营提供保障。精算定价人员构造风险保费类别(insurance tariff classes)，将风险状况相似的保户归入同一类别，收取相同的保费，使保费与类别的风险相匹配。风险状况由不同的变量(variables)组合来定义，根据变量的数值特性，可以分为分类型变量(如性别、地区)和连续型变量(如驾驶员年龄、车龄)。

Denuit和Lang(2004)[4]指出，变量的不同类型会影响风险保费类别的构造：分类型变量构建风险保费类别直接明了，每一定价类别都代表了分类变量的特定组合；连续型变量由于其数值连续性，在一定程度上可以被理解为具有很多不同水平的分类型变量。Ohlsson和Johansson(2010)[5]指出，如果考虑将连续变量中的每一个数值都定义为一个水平(level)，会导致同一个变量有很多水平，且每一个水平下的样本数量都不多，但这样并不利于定价模型的拟合。一种更好的方法是连续变量离散化，把连续型变量的某个区间合并为一个水平，从而转化为包括少数水平的分类变量。

将连续变量离散化的方法被称为分箱法(binning)，该术语是由Kuhn和Johnson (2013)[6]提出的。本文将介绍一种由数据驱动(data driven)的分箱方法，将连续型变量转化为包括几个水平的分类变量，由此构造风险保费类别。本文使用回归树(regression tree)作为分箱方法，因为回归树模型会产生直观的连续分割，符合我们对连续变量连续值分箱的要求。在回归树模型中，我们选择采用进化树模型(evolutionary tree)，因为进化算法可以达到全局最优的分箱效果。Grubinger 等(2014)[7]设计的R软件包evtree可以实现相关功能。

在车险定价中，通过大量历史索赔数据，可以估计出不同风险保费类别的保险成本，进而计算相应的纯保费(pure premium)。Frees 等(2014)[8]提出纯保费的计算从两个方面分别进行：索赔频数(claim frequency)和索赔强度(claim severity)。通常应用广义线性模型(GLMs)进行车险索赔频数和索赔强度的拟合与预测。在索赔频数和索赔强度相互独立的假设下，保单的纯保费可以用索赔频数的估计值乘以索赔强度的估计值得到。在纯保费的基础上，再考虑附加费用，就构成了保险产品的价格。

在GLMs中，当存在连续型变量时，GLMs不能捕捉连续型变量的非线性效应。此时，通常考虑应用更加灵活的广义可加模型(GAMs)(James等，2013[9])。广义可加模型本质上是一种特殊的广义线性模型，对连续型变量，对应的样条函数可表示为一些基本样条函数的线性组合。在GAMs中，可通过对连续型变量引入样条函数，使模型的拟合效果更加平滑，反映非线性效应。

在模型拟合中，一直存在着“拟合效果”(fitting effect)与“可解释性”(interpretability)之间的权衡。显而易见，广义线性模型的可解释性要优于广义可加模型，而广义可加模型的拟合效果更优。为在两者中找到一个平衡，在本文中，我们先运用GAMs构造一组索赔频数和索赔强度预测模型；然后运用进化树分箱方法，将连续型变量离散化为分类变量，最终运用GLMs构造另一组索赔频数和索赔强度预测模型；将GAMs和GLMs的预测结果进行比较，找到最优的定价预测模型。

本文后面的结构如下：第二节是数据描述和数据预处理；第三节是GLMs和GAMs的基本介绍；第四节是GAMs在车险定价中的应用；第五节是数据驱动分箱构建风险保费类别；第六节构建GLMs，并与GAMs进行模型整体性能的比较；第七节是总结。

二、数据描述和预处理

(一)数据描述和预处理

本文运用的数据集是法国汽车第三者责任险(简称“三责险”)理赔数据freMTPL2freq和freMTPL2sev(1)freMTPL2freq里面包含了很多特征(变量)，但不包含索赔金额ClaimAmount变量；freMTPL2sev里面只有保单信息IDpol和索赔金额ClaimAmount这两个变量。共有的变量IDpol将freMTPL2freq和freMTPL2sev两个数据集的保单信息连接起来。，这两个数据集都可以在R软件包CASdatasets里找到。freMTPL2freq里包含了678 013条法国三责险的索赔次数数据，freMTPL2sev里包含了26 639条法国汽车三责险的索赔强度数据。

为了拟合索赔强度模型，我们选取FF数据集中索赔强度大于0且小于20 000(2)FF数据集中包含一些损失特别大的极端数据，会对模型拟合产生影响。区间(0,20 000)包含了92.80%的索赔强度数据量，为此我们挑选这部分数据来进行模型拟合。的保单信息，组合成了一个新的数据集FF.sev，新的FF.sev数据(24 743行、16列)共有24 743个保单数据信息。

表1 FF数据集变量描述

(二)进一步的分析

根据以上描述我们知道，FF.sev是FF数据集的一个子集。下面我们描述FF数据集的基本数据特征，图1是FF数据集中的一些特征(变量)展示。

在FF数据集中，对索赔次数(ClaimNb)，有94.98%的保单没有提出索赔(即ClaimNb=0)，有4.75%的保单提出了一次索赔，剩下的0.27%的保单提出多次索赔。对风险暴露(Exposure)，24.18%的保单保障期间是1年，剩下的75.82%保单的风险暴露分布于0～1之间。在索赔金额(ClaimAmount)方面，有88.93%的索赔金额位于0～5 000区间中，剩下的11.07%索赔金额高于5 000。

图1展现了FF数据集中的两个分类型变量：汽油类型(VehGas)和汽车品牌(VehBrand)。在汽油类型方面，48.99%的汽车使用柴油(Diesel)，剩下的51.01%汽车使用其他类型。在汽车品牌方面，B12(24.49%)、B1(24.00%)和B2(23.58%)是占比最多的三种车型，剩下的27.93%是其他类型的汽车。

FF数据中的四个连续型变量：车龄(VehAge)、驾驶员年龄(DrivAge)、奖惩系统(BonusMalus)和对数人口密度(logDensity)也在图1中呈现。在车龄方面，72.60%的保单车龄集中于0～10年，剩下的27.40%保单车龄超过10年。在驾驶员年龄方面，15.41%的驾驶员年龄在18～30岁之间，76.99%的驾驶员年龄在30～65岁之间，7.60%的驾驶员年龄高于65岁。在法国，奖惩系统的基准是100，低于100是奖励(bonus)，高于100是惩罚(malus)。在FF数据中，有98.85%的保单是奖励状态，只有1.15%的保单是惩罚状态。在对数人口密度中，79.19%聚集于2.5～8区间之内，剩下的20.81%分布在其他区间。

图1 FF数据部分特征展示

三、车险定价与GLMs(GAMs)

(一)车险定价基本思路

在车险定价中，精算师根据已有的历史索赔数据，预测出潜在损失，由此计算出保单纯保费πi。保单纯保费可以由索赔频数和索赔强度分别计算得到，即πi=E(Fi)×E(Si)，其中E(Fi)是索赔频数预测的均值，E(Si)是索赔强度预测的均值。索赔频数是单位风险暴露(risk exposure)下保单的索赔次数；索赔强度是指在索赔发生条件下的平均单次索赔额度。

在本文中，我们假设索赔频数和索赔强度相互独立。使用数据集FF中所有保单的索赔次数历史，为Fi构建模型；使用数据集FF.sev中提出索赔的保单持有人的索赔历史，为Si构建模型。对每份保单的纯保费πi再加总求和，可以得到整体纯保费。

在本文中，我们考虑运用GAMs和GLMs来构建两组回归预测模型。

(二)GLMs和GAMs模型基本介绍

传统的线性回归模型形式如下：

(1)

其中Yi是响应变量，xij是自变量，p为自变量的个数。

一般的广义线性模型形式如下：

(2)

其中，μi=E(Yi)是响应变量的均值，g(·) 是连接函数(link function)，xij是自变量，p为自变量的个数。

GAM本质上是一种特殊的GLM，通过允许自变量存在非线性的平滑效应(smooth effect)，同时保持可加性来扩展线性模型。在GAM中，单个自变量的非线性平滑效应可用样条函数fj(xij)表示，它可表示为基本样条函数的线性组合，代替GLM中的βjxij；两个自变量之间也可能存在非线性交互效应，用样条函数fj(xij,zij)来表示自变量之间的非线性交互效应。GAM的形式为：

(3)

四、GAMs在车险定价中的应用

在本节，我们运用GAM对索赔频数和索赔强度分别构建回归预测模型，R里的软件包mgcv可以用来实现GLM和GAM。在最优模型选择方面，我们考虑使用AIC(Akaike Information Criterion)和BIC(Bayesian Information Criterion)两个指标。这两个指标都同时考虑了模型的拟合优度(goodness of fit)和复杂度(complexity)，它们的定义如下：

AIC=-2(log-likelihood)+2·r

BIC=-2(log-likelihood)+log(n)·r

(4)

其中，log-likelihood是模型的对数似然值(拟合优度的度量)，r是模型的参数个数(复杂度的度量)，n是数据集的样本个数。AIC和BIC的值越低表示模型越好。与AIC相比，BIC对模型复杂度的惩罚效果更大，为此在GAMs的模型拟合中，我们选用BIC作为最优模型选择指标。

(一)索赔频数模型

+β1VehGasRegular

+f2(DrivAge)+f3(BonusMalus)

+f4(logDensity)

(5)

上述模型中包含了两个分类变量：汽油类型(VehGas)和汽车类型(VehBrand)，以及四个连续型变量：车龄(VehAge)、驾驶员年龄(DrivAge)、奖惩系统(BonusMalus)和对数人口密度(logDensity)。

由此得到索赔频数的最终预测模型形式为：

+f1(VehAge)+f2(DrivAge)

+f3(BonusMalus)+f4(logDensity)

+f5(VehAge,BonusMalus)

(6)

索赔频数模型的具体拟合情况见表2。

表2 索赔频数模型(GAM)的参数估计

根据图2，在车龄(VehAge)方面：当汽车处于 [0,2]的年龄区间时，刚买新车的平滑效应最大，随着车龄增大，平滑效应在不断下降。当车龄位于 [2,5]区间时，随着车龄增大，平滑效应增加。当车龄处于 [5,20]区间时，平滑效应再次呈现下降趋势，并在20年时达到了最低谷，说明驾驶员车龄越大，驾驶技术越熟练，预估索赔频数降低。

在驾驶员年龄(DrivAge)方面：当驾驶员年龄处于 [18,30]区间时，随着年龄增大，平滑效应在不断下降，在30岁达到最低谷。当驾驶员年龄处于 [30,40]区间时，随着年龄增大，平滑效应不断增加，但整体数值小于0。在 [40,50]区间内，随着年龄增大，平滑效应在不断增加，并且大于0。[50,60]区间内平滑效应有一个小幅下降。60岁以后，再次呈现增加趋势。

奖惩系统(BonusMalus)的平滑效应随着奖惩水平的提高呈现增长趋势，这与我们的直觉相一致：BonusMalus越低表明驾驶员的索赔历史记录越好，越高表明索赔越多。

图2 索赔频数模型(GAM)的平滑效应展示

对数人口密度(logDensity)的平滑效应随着人口密度的增加呈现稳定的增长趋势，这也十分直观：人口密度越大，该地区发生交通事故的可能性也越大，索赔次数也就越多。

车龄-奖惩系统(VehAge-BonusMalus)的效应区域图中浅灰色表示负相关性，深灰色表示正相关性。高车龄-低奖惩系统、低车龄-低奖惩系统和低车龄-高奖惩系统组合的风险更低一些，而高车龄-高奖惩系统的风险更高。

(二)索赔强度模型

+g2(BonusMalus)

+g3(DrivAge,BonusMalus)

(7)

表3 索赔强度模型(GAM)的参数估计

图3 索赔强度GAM平滑效应展示

从驾驶员年龄(DrivAge)角度：在 [18,50]的年龄区间，随着驾驶员年龄增加，索赔强度平滑效应整体呈现增加趋势。年龄处于 [18,40]区间时，平滑效应小于0。[40,50]区间内，效应大于0。在 [50,60]区间，平滑效应有一个下降趋势。60岁以后，随着驾驶员年龄增加，平滑效应再次呈现上升趋势。

奖惩系统(BonusMalus)的平滑效应随着奖惩水平的提高呈现增长趋势，这与我们的直觉相一致：BonusMalus越低表明驾驶员的索赔历史记录越好，越高表明索赔越多。

由图3可知，在驾驶员年龄-奖惩系统(DrivAge-BonusMalus)方面：低驾驶员年龄-低奖惩系统和高驾驶员年龄-高奖惩系统组合的平滑效应要低于低驾驶员年龄-高奖惩系统和高驾驶员年龄-低奖惩系统组合的平滑效应，其中低驾驶员年龄-高奖惩系统组合的平滑效应最高。

五、数据驱动分箱方法构建风险保费类别

在模型拟合中，一直存在着“拟合效果——可解释性”之间的权衡。上一节GAMs的构建中包含一些针对连续型变量的平滑函数，可以捕捉到一些连续型变量的非线性效应，使得拟合效果更好，预测更加精确，但也让模型变得更加复杂和难以解释。相比于GAMs，GLMs只包含线性形式，直观简单，易于理解，但模型的拟合效果在一定程度上会有不足。在实务定价中，定价人员更加倾向于使用分类变量进行定价。在本节中，我们基于前面GAMs得到的回归预测模型，运用数据驱动的分箱方法，将连续型变量离散化，将其转化为包含少数水平的分类变量，从而构造风险保费类别。

(一)数据驱动分箱方法——进化树

1.回归树的基本介绍。

本文使用决策树进行分箱，将连续变量离散化。决策树模型是一种常用的分类与回归方法，分类树输出的结果是分类型变量，回归树输出的结果是连续型变量。本文使用回归树模型，一方面因为索赔频数和强度都是连续型变量，另一方面回归树模型对连续型变量会产生直观的连续分割，符合我们对连续变量连续值分箱的要求。

常用的回归二叉树(binary tree)方法，如CART(Classification And Regression Tree)算法等，都是以逐步向前搜索的方式建立模型的递归分割。这种方法由来已久，但CART算法的结果只是局部最优的，因为节点的选择(从而产生叶子)是在上一步的基础上，最大化下一步的结果。每个内部节点的分割规则是为了最大化其子节点的同质性，而不考虑回归树上更下一层的节点，由此只产生局部最优的树。另一种在树的参数空间上搜索的方法是使用全局最优方法，如进化算法，对应的回归树被称为进化树。

2.进化树。

进化算法的思路来自达尔文的自然进化思想：物竞天择，适者生存。进化算法是以种群(population)为基础，是个体(individual)的集合，在每一代进化过程中，个体之间彼此竞争，以评估函数(evaluation function)为指标，保留高质量的个体，淘汰低质量的个体，如此循环往复，种群的质量随着时间的推移而不断增加，得以进化。

在进化递归的每一次进程中，首先，整合上一次进化过程得到的所有个体，这些个体在该次进化过程中被称为父母个体(parent individuals)。随后，变异算子(variation operator)作用于种群中的父母个体，改变个体的结构，被改变后的个体被称为新的解决方案(solutions)，也被称为子代个体(offspring individuals)。最后，生存者选择过程依据评估函数指标来衡量这些个体的质量，保留优质个体，淘汰劣质个体，得以进化。在我们的模型中，在每一代，初始的父母个体要与经过变异算子作用后产生的子代个体同时竞争，优胜劣汰，保证每一代种群的个体总数不改变。在这个进化过程中，种群的整体质量不断优化，进化算法的具体思路如表4所示。

表4 进化算法

当进化算法与决策树模型相结合时，一棵树即是个体，多棵树组成的整体是种群。进化树中共有五种变异算子：四种突变算子(mutation operators，针对单一个体)和一种交叉算子(crossover operator，针对多个不同个体)。在进化过程中，变异算子随机作用于个体，修改树的结构，产生新的后代。根据Grubinger 等(2014)[7]的做法，五种变异算子如下：

(1)分叉(split)。

随机选择一个叶子节点T，并为其分配一个有效的、随机生成的分叉规则，分叉规则由相应的分割变量x(r)和分割数值s(r)来定义。由此，被选中的叶子节点成为内部节点r，并生成两个新的叶子节点T1和T2。

(2)修剪(prune)。

随机选择一个内部节点r，它有两个叶子节点作为子节点，剪去这两个叶子节点，将内部节点r修剪成叶子节点Tr。

(3)大分割规则突变(major split rule mutation)。

随机选择一个内部节点r并改变其分叉规则，其中以50%的概率，内部节点r的分割变量x(r)由原特征空间X={x1,x2,…,xn}中的其他特征变量替代；如分割变量保持不变，则其分割数值s(r)发生变化。

(4)小分割规则突变(minor split rule mutation)。

与大分割规则突变运算类似，但它并不改变分割变量x(r)，而只是将分割数值s(r)改变一个小的幅度。

(5)交叉(crossover)。

树在被变异算子作用后，需要对其质量进行衡量，我们使用的评估函数的表达式如下：

n·log(MSE)+4·α·(m+1)·log(n)

(8)

(二)由进化树构造风险保费类别

本节，我们将考虑使用前面介绍的进化树方法，对八个平滑效应进行分箱处理，得到包含少数水平的分类型变量，构造风险保费类别。

关于索赔频数和索赔强度的平滑效应分箱，我们需要分别进行估计。对于索赔频数来说，观测值的数量nfreq=678 013；对于索赔强度来说，观测值nsev=24 743。调试变量α是模型预测精度和复杂度之间的调和值，针对不同的模型，调试参数取值不同。在α选择方面，我们也是对索赔频数αfreq和索赔强度αsev模型分别计算。参考Henckaerts(2018)[11]的做法，我们对αfreq和αsev分别取不等距集合{1,1.5,2,…,9.5,10,20,30,…,90,100,150,200,…,1 200}中的值，再分别代入模型中，以BIC为指标，找到使得模型BIC最低的αfreq= 1 100,αsev=200。

图4 索赔频数模型平滑效应分箱

图5 索赔强度模型平滑效应分箱

六、保费结构分析

(一)从GAMs到GLMs

上一节我们运用了R软件包中的evtree对几个连续平滑效应进行了分箱处理，根据以上索赔频数和索赔强度的分箱结果，我们得到了连续变量分箱后的分类变量。应用这些分类变量构造GLMs，由此得到了两个模型的参数估计，见表5和表6(3)受篇幅限制,文中无法列出表5和表6的全部内容，仅列出部分参数估计，感兴趣的读者可联系作者索取。。

表5 索赔频数模型(GLM)的参数估计

表6 索赔强度模型(GLM)的参数估计

在最优模型选择方面，以同时衡量模型拟合效果和复杂度的AIC和BIC为指标。表7列举了GAMs和GLMs下的索赔频数和索赔强度模型对应的AIC和BIC的值，从表7可知：不管是索赔频数模型，还是索赔强度模型，对应的AIC和BIC很相近。

表7 GAMs和GLMs的AIC和BIC比较

(二)纯保费分析

为每一份保单i计算纯保费πi，纯保费πi的公式如下：

πi=E(Fi)×E(Si)

(9)

其中E(Fi)是保单i索赔频数的期望值，E(Si)是保单i索赔强度的期望值。

在保费预测时，我们再次对数据进行了处理，删去了那些损失特别大的极端数据，以免对模型预测产生极端影响。最终我们新生成了预测数据集FF.pred，里面包含了677 499个保单持有人的损失数据(原数据FF中包含了678 013个数据(4)为避免极端值对模型预测产生影响，我们从FF数据集中删去那些损失额大于10 000的数据，总共删去了514个数据量，新生成的FF.pred包含677 499个数据量，用于纯保费的估计。)。此时，对预测数据集FF.pred，根据以上模型，最终求得的GAM纯保费为33 942 460，GLM的纯保费为33 864 103，GLM预测的纯保费比GAM低了78 357，占比0.231%，这两个估计都略高于实际的总损失33 742 058。

就纯保费预测精度而言，GAMs和GLMs两者表现相当。就模型解释性而言，GLMs有直观的风险保费类别，更易于理解和解释；而GAMs有非线性的平滑效应，在解释方面较为复杂。

根据以上整体分析，分箱后的GLMs在拟合效果上近似于GAMs，解释性优于GAMs，以进化树分箱来构造车险风险保费类别的方法可以从多角度来优化GAMs。

七、总结

在车险定价中，广义线性模型(GLM)已经成为标准方法。对连续型自变量，很多情况下，直接应用广义线性模型，会忽略自变量的非线性效应。作为传统的广义线性模型的推广，通过引入变量的样条函数，广义可加模型(GAM)能很好地考虑到非线性效应。广义可加模型的预测精度更好，但不足之处是在实务应用中，模型的可解释性变差。在实务中传统的做法是：对连续型自变量，直接划分为分类变量，再应用广义线性模型。但这样做的不足之处在于，主观性较强，理论依据显得不足。

本文运用了数据驱动的分箱方法，对连续型变量进行分箱处理，目的是更好地建立车险定价中的风险保费类别。我们对索赔频数和索赔强度这两个响应变量，在分箱处理前后，分别建立了广义可加模型(GAM)和广义线性模型(GLM)，结合这两个模型的预测值，预测了纯保费，结果发现分箱后的GLM可以用来优化GAM。

本文的思路是先对法国三责险数据freMTPL2freq和freMTPL2sev进行处理，得到索赔频数和索赔强度模型拟合的数据集FF和FF.sev。再以GAM框架为起点，构建了一组索赔频数-索赔强度模型。随后，运用决策树中的进化树算法，对连续型变量进行分箱处理，将连续型变量转化为分类变量，再构造新的GLM，得到了一组新的索赔频数-索赔强度模型，由此构造了车险风险保费类别。

模型拟合一直存在着拟合精度和可解释性之间的权衡，不断优化模型的目的之一，是用更简单的模型达到更好的拟合精度，分箱后的广义线性模型比广义可加模型更简单、更直观、易解释。经过模型预测，我们得出由广义线性模型计算出的保费，与由广义可加模型得到的结论非常接近。由此，本文研究得到了一个更简单直接的模型，可作为实务中更复杂车险定价模型的较好替代。

本文的研究结果中，模型里的定价类别并没有加入地区(Area)等空间因素自变量，但是在Fahrmeir 等(2007)[12]、Tufvesson 等(2019)[13]中考虑了地理空间因素在车险风险保费类别构造中的影响。此外，模型最终拟合中没有加入汽车动力(VehPower)自变量，而在Wüthrich(2020)[14]车险定价模型中包含了这个自变量。

本文使用的进化树算法是一种近几年才出现的机器学习算法，作者查阅了国内相关文献，未发现将进化树算法应用于车险定价的论文，本文重点介绍了进化树算法的原理及其精算应用。

近年来，大数据和机器学习技术快速发展，本文的数据驱动进化树算法不仅可应用于车险定价领域，今后也必会应用于其他领域来处理预测建模问题。数据科学对保险业的冲击和促进是必然趋势，相信在不远的未来，会有越来越多的机器学习方法被应用于精算领域。