基于轮廓误差补偿的机械臂自适应非奇异终端滑模控制

朱大昌，杜宝林，盘意华，崔翱东

(广州大学机械与电气工程学院，广东广州 510006)

0 前言

随着现代工业技术的快速发展，工业机器人作为一种高新数字化生产装备，其制造系统运动精度的要求也越来越高。然而，由于机械臂长期运行、关节零部件磨损老化等缘故，导致机械臂在工作中容易发生各种无法预知的扰动现象，并将直接影响机械臂的加工精度及可靠性。为解决系统不确定性因素对机械臂运行性能的影响，研究人员致力于设计一种高鲁棒性控制器以对不确定性因素进行补偿，如模糊控制、滑模控制、自适应控制和神经网络控制等。其中，滑模控制本质上是一类特殊的非线性控制，控制系统的结构不固定，而是在动态过程中根据系统当前的状态进行变化，从而迫使系统按照预定滑动模态的状态轨迹运动，且滑动模态可以进行设计并与对象参数及扰动无关，被广泛应用于非确定机械臂精确轨迹跟踪控制技术领域。AMER等针对机器人模型参数不确定性、负载干扰等对轨迹跟踪精度的影响，提出了一种模糊滑模控制方法。其中，在滑模控制中，状态跟踪误差快速收敛性是重要的性能指标之一。然而，基于线性滑模面设计的传统滑模控制只能保证系统状态渐进收敛到平衡点，而不是有限时间收敛。非奇异终端滑模控制通过在滑模面引入非线性项，可明显加快状态跟踪误差的收敛速度。SU和ZHENG针对不确定性机械臂全局有限时间跟踪问题，提出一种完全消除奇异性的积分滑模面及其终端滑模控制方法，并证明了滑模面及其跟踪误差的全局收敛性。

滑模控制为非线性系统提供了一种有效而稳定的控制策略，但在设计过程中依赖于系统不确定性的先验知识，这种假设过于保守，在实际中很难预先估计系统随机故障参数和扰动等不确定性的界值。为解决这一问题，通常过高估计切换增益以削弱不确定性估计对控制系统的影响，但会引起高频抖振现象。BOUKATTAYA等针对实际应用中可能出现的系统不确定性上界未知问题，提出了一种新的自适应非奇异快速终端滑模控制。徐传忠和王永初采用径向基神经网络自适应方法在线估计不确定因素的上界，并根据滑模控制和反演方法设计反演滑模控制器，解决建模误差和不确定干扰的多关节机械臂轨迹跟踪问题。

目前对机械臂轨迹跟踪控制的焦点在于如何提高各关节控制器对于系统不确定性因素的抗干扰能力及跟踪性能，而对于机械臂系统不确定性直接影响末端执行器轮廓跟踪精度等方面的研究则相对有限。在实际加工过程中,令人关注的往往是机械臂末端执行器的加工精度，但是由于机械臂多关节耦合，即使每个关节都配备了高性能的跟踪控制器，也不足以确保零件整体的轮廓加工精度。针对正交结构数控机床的高精度轮廓控制，FANG和CHEN提出了交叉耦合控制方法，利用轮廓误差对各轴进行补偿进而提高机床各轴的协调性，以提高加工工件的轮廓精度。OUYANG等针对多自由度串联机器人的轮廓控制进行研究，提出了一种基于末端执行器轮廓误差和关节跟踪误差的交叉耦合PD控制律，从而保证了机器人末端执行器的轮廓跟踪精度。此外，由于轮廓运动控制本质上是与轨迹相关的，而拟加工非光滑路径拐点处位置、速度和加速度突变等现象可能会导致机构共振问题。为进一步提高轮廓运动性能，有必要将交叉耦合技术与笛卡尔空间轨迹规划技术相结合，从而引入必要的协调机制，设计交叉耦合轮廓补偿与参考位置预补偿相互协调的统一框架，进而从更大范围内研究与实现机械臂高速高精度运动。

本文作者设计一种新的非奇异终端滑模函数，并采用该函数设计非奇异终端滑模控制器；采用自适应技术对机械臂运行过程中的系统集总不确定性进行补偿；利用有限时间稳定理论证明所设计的控制器具有有限时间稳定的效果。将交叉耦合控制技术与抛物线过渡轨迹规划技术相结合，设计交叉耦合轮廓补偿与参考位置预补偿相互协调的统一框架，通过提高各关节的协调性，削弱系统不确定性对机械臂末端执行器轮廓跟踪精度的影响，从而实现末端执行器对预设加工路径的精确跟踪控制。

1 机械臂动力学模型

1.1 机械臂动力学建模

采用牛顿-欧拉递推方法，自由度机器人动力学方程为

(1)

由于建模误差等不确定因素，式(1)可以写为

(2)

(3)

机械臂动力学模型具有如下特性：

特性1，惯性矩阵()为对称正定矩阵且有界：

(4)

(5)

式中:为任意非奇异矩阵。

特性3,重力力矩()有界：

(6)

式中:为正定常数。

1.2 机械臂随机故障扰动模型

考虑机械臂系统存在恒偏差故障，由式(2)可得其故障模型为

(7)

(-)=diag[(-),(-),…,(-)]

(8)

式中:表示故障函数对第个状态方程的影响。

故障函数模型如下：

(9)

式中:>0表示未知故障的进化律。

2 控制器设计

2.1 非奇异终端滑模控制

机械臂关节空间轨迹跟踪误差定义为

=-

(10)

式中:∈×1为预设参考输入轨迹。

设计一种新的非奇异终端滑模函数为

(11)

式中:、∈×,分别为正定对角系数矩阵;>0;和为奇数，且满足1<<2;sgn(·)为符号函数。

则式(11)对时间求导得：

(12)

机械臂滑模控制律构造过程如下：

根据式(11)中给定的非奇异终端滑模函数，选择正定的Lyapunov函数形式如下：

(13)

式(13)对时间求导，并将式(12)代入可得：

(14)

将式(7)代入式(14)，可得：

(15)

式(15)经简化整理，可写成如下形式：

(16)

因此，等效控制可选择为

(17)

令系统集总不确定性为

=-

(18)

则函数的上界值估计为

(19)

非奇异终端滑模控制律设计为

(20)

简化式(20)可得：

=-(||+sgn()||)

(21)

2.2 自适应非奇异终端滑模控制器

如式(21)所示的非奇异终端滑模控制器的设计依赖于集总不确定性的上界值，即将假设为范数有界。但在实际工程中很难预先估计故障参数和扰动等不确定性的界值。为解决这一问题，采用自适应算法对系统的集总不确定性进行在线估计。

(22)

则选择正定的Lyapunov函数为

(23)

式中：为正整数。

则式(23)对时间求导得：

(24)

设计自适应律为

(25)

因此，自适应非奇异终端滑模控制器设计为

(26)

则自适应非奇异终端滑模控制系统结构如图1所示。

图1 自适应非奇异终端滑模控制系统结构框图

2.3 有限时间稳定性分析

引理1：有限时间稳定性的扩展Lyapunov函数可描述为

(27)

式中：>0；>0;0<<1，()满足任何在处的不等式。

则对应的稳定时间可以表示为

(28)

证明：选择Lyapunov函数为

(29)

则式(29)对时间的导数为

(30)

将式(12)代入式(30)整理得：

(31)

将控制律(26)代入式(31)可得：

(32)

(33)

(34)

式中:≅1。

由于：

(35)

则：

(36)

整理式(36)可得：

(37)

根据引理1，所设计的自适应非奇异终端滑模控制器为有限时间稳定。

当=0，稳定时间表达如下：

(38)

3 基于交叉耦合的轮廓误差补偿机制

传统机械臂轨迹跟踪控制系统主要基于机械臂动力学模型，设计前馈补偿和反馈控制策略以对机械臂各关节的跟踪性能进行优化，通过各运动关节控制器作用使得机械臂各关节的跟踪误差各自渐进收敛到零域附近，进而间接提升机械臂末端执行器的加工精度。由于机械臂末端执行器跟踪的是时变点而不是空间轮廓，可能导致末端执行器离开预设加工轮廓线，以赶上采样时刻轨迹指定的参考位置，导致“径向收缩”现象。

本文作者通过机械臂各关节轴的跟踪误差信息估计末端执行器实时轮廓误差，进而通过交叉耦合技术将轮廓误差分配到各关节控制器中，通过各运动轴的附加补偿作用产生整体补偿效果沿轮廓误差方向的补偿机制，以提高机械臂末端执行器的轮廓跟踪精度。

3.1 轮廓误差建模

由于轨迹轮廓可通过轨迹规划插补拟合成直线轮廓或圆形轮廓，不失一般性，此节以直线轮廓为例，建立如图2所示的轮廓误差模型。

图2 平面直线轮廓误差建模

图2中:点为机械臂末端执行器的实际位置;为设计的参考点;为轮廓误差;、分别为末端执行器跟踪误差的轴与轴误差分量;为参考轨迹与轴的夹角。

轮廓误差定义为当前位置与期望轮廓曲线之间的最短距离，则平面直线轮廓误差可表达为

=+

(39)

式中:=-sin、=cos为交叉耦合算子。

3.2 基于交叉耦合轮廓补偿自适应滑模控制

采用交叉耦合方法设计轮廓运动控制器如下：

(40)

式中：、分别为轮廓运动控制器的比例增益和微分增益。

基于交叉耦合的自适应非奇异终端滑模控制器可设计为

(41)

式中:∈×1，为补偿整流增益，用于校正轮廓误差补偿的各轴分量。

其控制系统框图如图3所示。

图3 基于交叉耦合的自适应滑模控制系统框图

4 数值仿真

为验证所设计算法的控制性能，将所提出的控制器应用于二自由度刚性机械臂轮廓跟踪控制中，仿真模型结构简图如图4所示。

图4 二自由度机械臂

建立该机械臂动力学模型为

(42)

=0

=(+)cos+cos(+)

=cos(+)

设置==1 kg；==0.2 m；==0.1 m;=0.64 kg·m,=0.16 kg·m；=9.8 m/s。

建立机械臂工作空间与关节空间的误差关系如下：

=()

(43)

式中:为工作空间的误差向量;为关节空间误差向量;()为二自由度机械臂雅可比矩阵，定义为

(44)

则轮廓误差可表达为

=[,]=[,]()

(45)

该机械臂轮廓误差补偿整流增益设计为

[,]=[,]()

(46)

考虑系统内部建模误差及外界随机干扰对其运动控制性能的影响，关节摩擦和干扰项分别建模为

(47)

(48)

4.1 未经规划的路径跟踪仿真分析

设置仿真时长为3 s，令系统仿真步长为0.00 1 s，取系统初始状态为=[-0.2,1.2]，轴、轴方向轨迹分别设计为

为验证所设计的基于交叉耦合控制的自适应非奇异终端滑模控制器(CCCANTSMC)的有效性，将所提方法与PID控制器、非奇异终端滑模控制器(NTSMC)、自适应非奇异终端滑模控制器(ANTSMC)进行对比。PID参数设置为=diag[2 500,2 500],=diag[150,150],=diag[650,650]。对于非奇异终端滑模控制器，其控制参数设置为:=3,=diag[0.5,0.5]，=diag[0.2,0.2],=diag[15,15],=diag[150,250],=5;自适应律参数设置为=0.1。轮廓运动控制器的比例增益和微分增益设置为=80,=30,=12。

图5、图6所示分别为关节1、2的轨迹跟踪响应和末端执行器轮廓跟踪响应。表1所示为各控制器仿真性能比较。

表1 各控制器仿真性能比较结果

图5 关节1、2的轨迹跟踪响应(规划前)

图6 末端执行器轮廓跟踪响应(规划前)

为便于比较，取平均跟踪误差为性能指标：

(49)

由图5、图6和表1可知：所设计的控制器在初始阶段能快速对轮廓误差进行优化，并且各关节的跟踪性能也得到改善；但是在相邻直线段的连接拐点处,由于速度、加速度的突变导致各控制器的控制性能都有一定程度的削弱。

4.2 抛物线过渡轨迹规划路径跟踪仿真分析

为分析工作空间非光滑路径拐点处位置、速度突变对机械臂运行性能的影响，令各控制器的参数与上一小节保持一致，在相邻直线段间采用抛物线过渡规划技术光滑过渡，则直线段各插补点位置设置为

(50)

式中:、为直线起始位置;Δ、Δ分别为轴和轴的位置增量;为归一化因子。

选用PID控制器进行性能对比，PID参数设置为=diag[3 500,3 500],=diag[150,150],=diag[650,650]。对于自适应非奇异终端滑模控制器，其控制参数设置为:=3,=diag[0.5,0.5]，=diag[0.2,0.2],=diag[10,10],=diag[80,180],=5;自适应律参数设置为=0.1。轮廓运动控制器的比例增益和微分增益设置为：=80、=30、=12。

图7、图8分别展示了关节1、2的轨迹跟踪响应和末端执行器轮廓跟踪响应。表2所示为规划后各控制器仿真性能比较。可知：经抛物线过渡的路径规划，在直线段的连接拐点处各控制器的控制性能都有一定程度的提升。所设计的控制器在两关节动态性能存在差异的情况下，末端执行器具有更好的轮廓跟踪性能；与非耦合控制方法相比，所设计控制系统的末端执行器轮廓跟踪误差更小，各关节稳态误差均在10rad以内，并对外界干扰具有良好的鲁棒性。

图7 关节1、2的轨迹跟踪响应(规划后)

图8 末端执行器轮廓跟踪响应(规划后)

表2 经抛物线过渡轨迹规划后各控制器仿真性能比较结果

5 实验验证

实验设备如图9所示，机器人实验样机设计为一个平面二自由度机械臂，两转动关节采用交流伺服电机驱动，通过某公司的GTS-400-PV-PCI四轴运动控制卡，配合编码器等数据采集模块和模拟输出模块与实验样机形成闭环控制系统。

图9 二自由度机械臂实验平台

为验证所设计的控制器CCCANTSMC的工程实用性，将所提方法与PID控制器、自适应非奇异终端滑模控制器ANTSMC进行对比。

设置实验时间为3 s，采样点个数为30 001；设置PID控制器参数为：=diag[0.009,0.001 2]，=diag[3.5,0.8]，=diag[0.015,0.01]。对于自适应非奇异终端滑模控制器ANTSMC，其控制参数设置为=3，=5，=diag[0.5,0.5]，=diag[40.5,42.2]，=diag[12.05,12.05]，=diag[0.5,5.5]；自适应律参数设置为=0.2。轮廓运动控制器的比例增益和微分增益设置为：=0.05、=0.001,=0.002。图10、图11所示分别为机械臂关节1、2的轨迹跟踪响应和末端执行器轮廓跟踪响应。表3所示为各控制器实验性能比较。

图10 规划前关节1、2的轨迹跟踪响应(实验条件下)

图11 规划前末端执行器轮廓跟踪响应(实验条件下)

表3 规划前各控制器实验性能比较结果(实验条件下)

由图10、图11和表3可知：所设计的控制器相对于PID控制器具有更加优越的轮廓控制性能。在相邻直线段的连接拐点处，由于位置、速度及加速度突变，各控制器在第1 s和第2 s会产生一定程度的性能退化，但所设计的控制器对这类突变的适应能力比PID控制器好，其中经交叉耦合补偿的控制系统的轮廓跟踪误差较小。

为分析工作空间非光滑路径拐点处位置、速度突变对机械臂运行性能的影响，令各控制器的控制参数保持不变。图12、图13分别展示了经抛物线过渡轨迹规划的机械臂关节1、2的轨迹跟踪响应和末端执行器轮廓跟踪响应。表4所示为规划后各控制器实验性能比较。

图12 规划后关节1、2的轨迹跟踪响应(实验条件下)

图13 规划后末端执行器轮廓跟踪响应(实验条件下)

表4 经抛物线过渡轨迹规划后各控制器实验性能比较结果(实验条件下)

由图12、图13和表4可知：所设计的控制器(CCCANTSMC)较PID控制器具有更加优越的控制性能。经抛物线过渡的路径规划，在相邻直线段的连接拐点处各控制器的控制性能都会有一定程度的提升；从图12、图13可以看出:所设计的控制器在两关节动态性能存在差异的情况下，末端执行器具有更好的轮廓跟踪性能。与非耦合控制方法相比，所设计的控制律末端执行器轮廓跟踪误差更小，对外界干扰具有良好的鲁棒性。

由于该实验样机两关节均采用带传动装置传递转矩，在启动时刻需要皮带张紧过程，从而在初始阶段对系统的跟踪性能会产生一定程度的影响。

6 结论

本文作者针对工业机器人模型误差、外部随机扰动等不确定性因素对末端执行器轮廓跟踪精度的影响，提出一种基于交叉耦合的自适应非奇异终端滑模控制方法。利用有限时间稳定理论证明了所设计的控制器具有有限时间收敛的效果；增强了各关节控制器的抗干扰能力，有效抑制了滑模控制的高频抖振现象。将交叉耦合控制技术与抛物线过渡轨迹规划技术相结合，设计交叉耦合轮廓补偿与参考位置预补偿相互协调的统一框架。通过提高各关节的协调性，削弱系统外部干扰、执行器故障等不确定性对机器人末端执行器轮廓跟踪精度的影响，从而实现末端执行器对预设加工路径的精确跟踪控制，能够获得比传统轨迹控制方法更高的轮廓控制精度。