基于稀疏处理的雷达复杂调制波形目标参数估计

丁守峰, 王 峰

(河海大学， 江苏 南京 211100)

0 引 言

随着电子侦察、干扰等技术的快速发展，调制样式单一的雷达发射信号易被敌方干扰机截获并识别，从而产生针对性干扰信号[1]。因此，低截获(Low Probability of Intercept，LPI)雷达波形[2-3]技术的研究非常重要。雷达复杂波形[4]设计是实现雷达低截获技术的重要手段之一，当前雷达低截获波形所采用的典型信号有线性调频信号、相位编码信号以及频率编码信号等。但是，此类调制样式单一的信号易被干扰机的信道化接收机侦察与捕获，并被干扰机复制与转发，在实际应用中的低截获能力不足。对于敌方侦察接收的截获概率而言，频率捷变波形是较脉内复杂调制更为有效的一种波形形式。

雷达捷变频波形由于相邻发射脉冲的载波频率不一致，导致敌方侦察接收机在截获到雷达信号后无法长时间转发形成干扰，因此，能对抗大部分欺骗式干扰或瞄准式干扰等。然而频率捷变雷达在拥有以上优势的同时也存在一些问题，由于雷达各发射脉冲载波频率的随机跳变造成回波信号的脉间相位不连续，常规MTD[5]相参积累方法无法对捷变频雷达回波信号进行目标的有效检测。为了克服这些困难，近年来稀疏采样信号处理技术得到迅速发展，文献[6-7]研究了稀疏采样信号准确重建的前提条件与重建方法，即压缩感知理论(Compressed Sensing, CS)。压缩感知理论指出：信号只要满足在某特定变换域稀疏的前提条件，就可以利用少量观测数据(远低于奈奎斯特采样率)以很高概率实现信号的无失真重构。文献[8]提出了一种基于压缩感知的步进频率雷达系统，通过利用目标在距离-速度空间中的稀疏性来实现相比于传统步进频波形更高的距离和速度分辨率。文献[9]将稀疏重构算法与捷变频波形相结合，并从理论上分析了捷变频波形字典矩阵的性质，给出了保证稀疏重构算法性能的雷达参数的充分条件。文献[10]提出将捷变频波形与脉冲重复频率(PRF)抖动相结合的雷达波形方案，并针对所提波形引起的相位变化非线性的问题，引入稀疏重构算法实现目标距离和多普勒的联合估计。通过上述文献可知，基于稀疏处理的捷变频波形距离、速度参数估计方法是有效的，该方法利用多脉冲能量合成宽带信号，能够获得捷变频雷达中目标的一维距离像，实现目标距离及速度的超分辨，使得雷达的测距和测速性能均得到提高。

本文结合复杂调制波形与频率捷变波形技术，提出了一种OFDM调制信号，该信号内部各子脉冲间采用频域稀疏编码，各子脉冲内采用相位编码，同时各发射脉冲内的频域稀疏编码可变，频域稀疏编码可变是通过随机选取各发射脉冲内的子脉冲实现。该OFDM调制信号随机性更强，敌方干扰机不能准确识别并产生针对性干扰信号，提高了雷达低截获及抗干扰性能。所提波形最大的优点在于，多个稀疏频点脉冲同时发射，分散了干扰机的准确转发干扰瞄准，与单纯捷变频信号相比，雷达被干扰概率将显著下降。同时雷达发射脉冲内子脉冲采用相位编码信号，具备较高的距离与速度分辨率，提出的OFDM调制信号能满足雷达低截获波形的要求。

该种波形允许雷达接收根据被干扰情况选择相应分集频点，实现信号检测，其难题在于采用何种算法实现多脉冲、多频点的目标回波距离与速度参数估计。针对捷变频雷达中对目标距离与速度参数估计中存在的问题，本文提出了一种构造对应于多脉冲与多频点波形目标距离与速度变化规律的过完备字典的方法，采用基于MFOCUSS算法的稀疏处理算法对目标的距离和速度参数实现准确估计。

1 雷达发射信号及回波信号模型

首先建立发射信号模型及雷达的回波信号模型。雷达发射信号OFDM调制信号单个脉冲内包含N个子脉冲，子脉冲间进行频域稀疏编码，fn=f0+nΔf,其中fn为第n个子脉冲的载频，n为[0,N-1]的随机整数，f0为子脉冲起始频率，Δf为子脉冲间跳频间隔；各子脉冲内采用M位伪随机相位编码，且各子脉冲内相位编码相同。本文子脉冲内采用M位伪随机二相编码信号，其中矩形包络的二相编码信号表达式为

(1)

式中：cm为伪随机序列，cm∈{-1，1}；M为伪随机序列的长度；τ为伪随机序列码元宽度，rect(*)为矩形子脉冲函数，可表示为

(2)

将产生的不同载频且内部编码相同的子脉冲随机选取并线性叠加后作为雷达发射信号，设相位编码为c0,c1,…,cM-1，为固定值，各子脉冲宽度为τs，随机系数ε为0或1，则发射信号的数学表达式为

exp(j2πfnt)

(3)

为了进一步提高雷达低截获能力及抗干扰性能，采用频率捷变的形式发射脉冲。设雷达在一个相参处理间隔内共发射K个脉冲，脉冲发射重复周期为Tr，图1所示为基于OFDM调制信号的雷达多脉冲发射信号示意图。

图1 基于OFDM调制信号的雷达多脉冲发射信号

(4)

假设雷达观测场景中存在L个目标，则雷达接收的目标回波信号为

(5)

其中，

τl,k=2(Rl+vltk)/c

式中：τl,k为雷达发射第k个脉冲信号到达第l个目标，经该目标反射后重新被雷达接收的时间；Rl为雷达与其中一个目标l间的距离；vl为目标朝向雷达的径向速度；c为光速。将雷达接收到的目标回波信号逐采样点进行下变频及脉冲压缩处理，脉压后原始信号变成冲激脉冲，则经处理后的雷达回波数据表示为

(6)

(7)

式中：n(tk)表示噪声。

2 距离-多普勒稀疏信号处理模型

雷达实际距离-多普勒观测场景中，回波信号中目标数目通常较少，此时可以认为目标是稀疏的，满足稀疏信号处理模型对参数稀疏性的要求，即可以通过稀疏重构算法来估计雷达回波信号中目标的距离与速度信息。下面构建距离-多普勒稀疏信号处理模型，同时给出稀疏重构算法。

2.1 字典矩阵模型

将目标距离和速度搜索范围按雷达距离高分辨率与速度高分辨率划分为A和B个网格，定义Rα为第α个网格的距离，其中，α∈{1,2,…,A}为距离区间离散化格点索引；定义vβ为第β个网格的速度，β∈{1,2,…,B}为速度区间离散化格点索引。

针对式(7)，将其三个指数项重新定义为如下三个新变量：

(8)

式中：θα,β代表高分辨距离-速度二维平面上对应于(α,β)的散射系数；φα(k)为距离项；φβ(k)为速度项。对比式(7)与式(8)可得，当Rα=Rl且vβ=vl时，φα(k)中包含了第l个目标的距离信息，φβ(k)中包含了第l个目标速度信息，第l个目标的回波信号可由θα,β、φα(k)、φβ(k)表示，因此对于距离为Rα、速度为vβ的目标，其第k个脉冲的回波信号可表示为

xα,β(tk)=θα,βφα(k)φβ(k)+n(tk)

(9)

由式(9)可以构造一个过完备字典Φ，Φ中的每个列向量即每个原子中包含了目标散射点可能的距离速度信息，Φ可表示为

(10)

式(10)所构建出的过完备字典Φ为K×AB维的归一化字典。由此可得到，基于OFDM调制信号的雷达回波信号的稀疏表示模型为

y=Φθ+n

(11)

式中：y为观测数据向量，由多脉冲回波数据构成；θ为目标散射稀疏，表示为θ=[θ1,1,θ1,2,…,θA,B]；n为噪声数据。对捷变频回波数据进行稀疏处理，估计目标距离、速度参数可以看作为从式(11)中对θ进行求解，当网格(α,β)上存在幅值响应时，θα,β≠0，若θα,β=0则表示在对应的(α,β)网格上不存在目标散射点。由于在粗分辨距离单元上的观测场景中目标散射点呈现稀疏性，因此向量θ中的非零元素较少。通过θ中非零元素对应于划分网格的位置，可估计出目标的参数信息。

2.2 稀疏重构算法

稀疏重构算法最直接的方法是以l0范数来定义θ的稀疏度，式(11)的优化求解过程可表示为

(12)

式中：‖·‖0表示l0范数，‖θ‖0表示向量中非零元素的个数。求解l0范数最小化在实际应用中是组合优化问题，是非凸的，其计算复杂度非常大，实施难度高，难以应用于实际，因此常采用lp范数逼近l0范数的方法来求解优化问题。本文所采用的MFOCUSS[11]算法就是利用最小化l2范数来逼近l0范数，以获得目标信号的稀疏解。基于MFOCUSS算法的稀疏求解过程可建模为求解逆问题，式(11)可改写为

θ=Φ+y

(13)

式中：符号“+”表示Moore-Penrose伪逆，Φ+=ΦH(ΦΦH)-1。引入权矩阵W对式(13)做进一步处理，式(13)可改写为

θ=WW-1Φ+y

(14)

权矩阵W为方阵，由伪逆公式可得，W+=W-1,将其代入式(14)可得：

θ=W(ΦW)+y=Wq

(15)

式中：q=(ΦW)+y，此时求解式(13)中θ的过程可转化为求解q的过程，即：

(16)

针对包含噪声情况下的MMV 模型，MFOCUSS 算法引入正则化因子λ使得算法更加稳健,定义拉格朗日函数L(θ,λ)为

L(θ,λ)=E(p)(θ)+λT(Φθ-y)

(17)

通过求解拉格朗日函数的最优解实现欠定方程的求解。以下为MFOCUSS算法迭代求解步骤:

输入：观测矩阵y，字典矩阵Φ，正则化参数λ。

步骤1：设定初始解θ(0)为全1向量，初始化迭代次数k=0，最大迭代次数及误差阈值；

步骤2：求权矩阵W(k+1)=diag((θ(k)))1-p/2，其中p∈[0,1]；

步骤3：求解Φ(k+1)=ΦW(k+1)，得到q(k+1)=(Φ(k+1))T(Φ(k+1)(Φ(k+1))T+λI)-1y；

步骤4：得到θ(k+1)=W(k+1)q(k+1)；

步骤5：计算相对误差σk=||θ(k)-θ(k-1)||F/||θ(k)||F，其中符号||·||F表示对矩阵各个元素求平方和后再开方。满足误差终止条件时结束循环，否则k=k+1，重复以上步骤。

输出：重构后的信号θ。

3 仿真分析

通过计算机仿真验证基于OFDM调制信号与稀疏重构算法的雷达目标检测技术，实验主要包括两个方面：1)基于OFDM调制信号的捷变频雷达稀疏信号处理；2)基于MFOCUSS算法的缺失脉冲数据目标参数测量。

3.1 基于OFDM调制信号的捷变频雷达稀疏信号处理

首先将MFOCUSS算法应用于基于OFDM调制信号的捷变频雷达中，通过计算机仿真验证基于MFOCUSS算法的稀疏信号处理技术能够实现对目标距离及速度参数的准确估计。

设置仿真场景：发射脉冲数为K=20，初始载频f0=3 GHz，基带波形采用本文设计的OFDM信号，子脉冲信号宽度τs=12.8 μs，子脉冲信号带宽为5 MHz，雷达发射脉冲重复周期为1 000 μs，总跳频点数为20个，随机跳频间隔Δf=5 MHz，合成带宽为B=100 MHz，雷达观测场景中存在2个目标，每个目标都有一个高分辨散射点，目标及散射点的距离和速度参数设置见表1。

表1 目标及散射点参数

由仿真参数设置可知，雷达粗分辨距离单元的宽度为Ra=c/(2Bp)=30 m，捷变频波形合成带宽B=KΔf=100 MHz，由此可得高分辨距离单元的宽度ΔR=c/(2B)=1.5 m，同时可计算出速度分辨单元宽度为Δv=c/(2f0KTr)≈2.5 m/s，不模糊速度单元宽度为va=c/(2f0Tr)=50 m/s，在构造高分辨字典矩阵时，距离和速度单元在粗分辨距离和不模糊速度单元内按照ΔR、Δv宽度被均匀等分为20个单元。

采用传统的FFT多普勒处理方法对回波信号进行处理。该方法采用MTD信号处理技术，利用脉冲压缩后的回波信号，将其同一列及同一距离门的慢时间序列做相参处理，可得到该距离门的频谱，即可获得该采样点所引起的频移，构造距离-多普勒平面，图2所示为捷变频波形回波信号经MTD处理后的结果图。

图2 捷变频波形MTD图

从图2中可看出，捷变频回波信号在距离维上出现一个峰值，对应于采样点7 000，由此可得该目标的粗分辨距离信息，换算成距离为70 000 m，对应其中一个目标。然而设置的雷达观测场景中存在四个目标散射点，因设置的目标距离超出了雷达所能分辨的最小距离，所以传统的FFT多普勒处理方法无法实现对目标的分辨。因此，使用MFOCUSS算法对目标高分辨距离-速度场景进行重构。

首先，观测矩阵的获取方式是利用回波数据通过快拍获得协方差矩阵，由于协方差矩阵为非奇异的Hermitian矩阵，可对其进行特征值分解，构造观测矩阵，降低噪声影响。构造的协方差矩阵如图3所示。

图3 协方差矩阵

其次，划分距离速度二维测量平面。距离搜索格以70 000 m为中心，按高分辨距离单元宽度ΔR划分粗分辨距离单元宽度Ra，则距离搜索范围为69 988 m∶1.5 m∶70 013.5 m，共20个单元；速度搜索格以100 m/s为中心，按速度分辨单元宽度Δv划分不模糊速度单元宽度va，则速度搜索范围为75 m/s∶2.5 m/s∶122.5 m/s。将设置的目标及散射点参数与划分的距离-速度搜索平面进行对应：1)目标对应第5个距离格，第11个速度格；2)散射点对应第11个距离格，第11个速度格；3)目标对应第9个距离格，第15个速度格；4)散射点对应第17个距离格，第15个速度格。根据上述划分的网格以及2.1节中建立的字典矩阵模型，构造一个对应于目标距离和速度变化规律的字典，图4所示为目标回波信号相位图与字典矩阵相位图。

图4 相位分布图

由图4可知，字典矩阵的相位变化完全覆盖目标回波数据的相位信息。利用MFOCUSS算法估计目标距离及速度参数的过程中，迭代时的权值更新依据上一次迭代的稀疏系数解，迭代过程中对权值中小值进行淘汰，只保留权值较大的数据，图5和图6所示为MFOCUSS算法第一次和第七次迭代时的稀疏系数解和下一次迭代需要的权值。

图5 MFOCUSS算法第一次迭代

图6 MFOCUSS算法第七次迭代

将图5和图6进行对比可知，MFOCUSS算法在迭代过程中，逐步筛除与观测矩阵y不相关的列向量，缩小目标位置的搜索范围，对相关性强的列向量加大的权值，相关性弱的列向量加小的权值，使得MFOCUSS算法逐步收敛，最终停止迭代。图7所示为停止迭代时的权值。

图7 MFOCUSS算法停止迭代时的权值

根据MFOCUSS算法停止迭代时的权值矩阵，筛选出对应值在字典矩阵中的位置，这些位置即为目标距离速度估计值。图8所示为使用MFOCUSS算法对目标参数进行估计的二维距离-速度测量平面。

图8 基于MFOCUSS算法的二维距离-速度测量平面

由图8可得，二维距离-速度测量平面中存在4个点，图中4个点对应位置与设置的目标及散射点距离速度参数所对应的距离速度搜索格一致，说明基于 MFOCUSS算法的距离-多普勒联合稀疏信号处理方法，能够解决由于捷变频雷达各发射脉冲载波频率的随机跳变造成的回波信号脉间相位不连续，所导致的常规相参积累方法无法对捷变频雷达回波信号进行目标的有效检测问题，可以针对基于OFDM调制信号的捷变频雷达实现目标距离与速度参数的准确估计。

3.2 基于MFOCUSS算法的缺失脉冲数据目标参数测量

本文所提出的基于OFDM调制信号的雷达体制中，由于发射信号脉内子脉冲载频随机跳变，脉间采用捷变频形式发射脉冲致使敌方干扰机无法及时准确地提取雷达波形的脉间参数信息。接收机接收到的干扰信号载频与目前的脉冲载频不符，干扰信号在进行数字下变频处理时，将会产生增益损耗，从而使得干扰信号的匹配滤波出现一定程度的失配，雷达能够尽量工作在无脉冲或少量脉冲被干扰的环境中。

当雷达接收回波信号部分脉冲被干扰时，可以通过将受干扰的脉冲数据剔除，利用剩余的未受干扰的回波脉冲数据，结合MFOCUSS算法，实现对目标距离及速度参数的估计。

雷达仿真参数与3.1节中一致，设置雷达接收回波信号中第1、3、9、16号脉冲受瞄频噪声干扰，以模拟雷达回波信号中部分脉冲受干扰的情形。图9所示为回波信号受干扰后经脉冲压缩处理的三维图及二维图，图10所示为利用MFOCUSS算法对受干扰后未做处理的回波数据进行稀疏重构的二维距离速度测量平面。

图9 部分脉冲受到瞄频噪声干扰的脉冲压缩图

图10 部分脉冲受干扰的二维距离速度测量平面

结合图9和图10可以看出，瞄频噪声干扰提高了雷达接收信号的噪声电平，使得部分脉冲的目标回波信号淹没在噪声底座中，如果此时直接利用MFOCUSS算法进行稀疏恢复，则无法实现对目标距离速度参数估计。因此，对受到较强的瞄频噪声干扰的脉冲进行剔除处理，再利用MFOCUSS算法对干扰剔除后的回波信号进行稀疏处理。图11所示为剔除干扰脉冲后的回波信号经脉冲压缩处理后的三维图和距离维图，从图中可以看出，传统的目标检测方法无法实现对目标的准确测量。利用MFOCUSS算法对无干扰脉冲数据进行二维距离速度测量的结果平面如图12所示。

图11 瞄频噪声干扰脉冲剔除后的脉冲压缩图

图12 无干扰脉冲数据二维距离速度测量平面

由图12可见，二维距离-速度测量平面中存在4个点， 4个点对应位置与设置的目标及散射点距离速度参数所对应的距离速度搜索格一致。因此，当捷变频雷达回波信号中部分脉冲受到干扰时，可以通过将受干扰脉冲剔除的方法，对剩余无干扰脉冲数据利用稀疏处理方法进行重构，能够实现目标及散射点的高分辨距离、速度参数估计，提高了雷达的抗干扰性能及干扰环境下的目标检测性能。

4 结 语

为提高雷达的低截获和抗干扰性能，本文提出了一种OFDM调制信号，建立了基于该发射信号的回波模型及该回波信号稀疏表示模型。针对捷变频雷达目标参数检测中存在的问题，给出了一种基于MFOCUSS算法的稀疏处理方法。该方法根据信号的多脉冲与多频点特点构造过完备字典，结合回波数据协方差矩阵中分解出的信号子空间作为观测矩阵，利用MFOCUSS算法实现对目标距离速度的准确估计。针对频域稀疏分集相位编码波形回波信号部分脉冲受到干扰的情形，基于稀疏处理实现了缺失脉冲数据目标参数估计。该方法通过对未受干扰或干扰较弱的脉冲数据进行稀疏重构，实现了目标高分辨距离与速度参数的精确测量，提升了雷达在干扰环境下的目标参数估计性能。