改进GM（1,1）模型在采空区地表沉降预测中的应用

冀 哲 薛永安

（太原理工大学矿业工程学院，山西 太原 030024）

0.引言

地下矿产采出后，开采区周围岩土体的原始应力平衡状态被破坏，岩土体上出现位移与变形[1]，对下伏采空区的建（构）筑物安全运维带来了潜在的威胁。目前，针对矿产资源开采引起的地表沉陷规律研究较多[2]，而利用布设于采空区上方的开采沉陷观测站实测数据进行变形趋势预测的研究较少，然而此类研究是指导矿山施工与运营的重要保障[3]。然而，矿山开采后的地表沉降变形机理复杂，传统的概率积分法虽然发挥了重要的作用，但亟需借助新的预测理论提升预测可靠性。采空区地表沉降趋势属于非线性范畴，而灰色系统模型是解决非线性问题的重要数学方法之一[4，5]，因其建模时所需数据样本较少、计算简单且预测精度较高等特点而被广泛研究与应用[5-7]。其中，基于GM（1，1）模型的预测应用较多[7,8]，各种改进应用成果丰富[9-11]，为开展GM（1，1）模型改进研究提供了理论与实践参考。本文从数据预处理和残差修正两方面入手，形成对GM（1，1）模型的综合改进研究，为采空区地表沉降预测模型构建进行探索。

1.改进灰色GM(1,1)模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色系统相比其他预测模型所需建模信息量小，属于小样本预测模型，但预测精度较高：范围越大精度越高，越靠近预测时间段预测精度越高。目前，依据不同目的所建立的灰色系统模型较多，GM（1，1）是其中较常使用的预测模型之一，针对一个变量建模进行灰色预测，模型原理及计算步骤详见文献[12]。

1.2 卡尔曼滤波

卡尔曼滤波主要用来剔除观测数据中的噪声误差，在变形监测数据处理领域应用广泛[8]。受观测方法约束，变形监测数据主要来自周期性监测结果，其应用场景为离散型系统，因此，卡尔曼滤波观测方程与状态方程选择离散化数学模型[8]具体如式（1）、式（2）所示：

式（1）、式（2）中，Xk、Lk、Vk为系统k时刻n×1阶状态向量、观测向量、噪声矩阵；

Fk/k－1、Gk、Wk－1为k-1时刻状态转移矩阵向量（r×1阶）、控制矩阵、控制变量；

Hk为观测矩阵，用以联系状态向量与观测向量。

一步预测方差矩阵Pk/k－1如式（4）所示：

式（4）中，Pk－1、Qk－1分别为的协方差矩阵。

式（5）中，J为滤波增益矩阵，其具体形式如式（6）所示：

将设定算法中前一时刻的状态预测值和现在时刻的观测值输入上述模型中，通过循环递推运算，实现当前状态最优估计，起到消除观测值中随机扰动项的目的，提高预测精度。

1.3 非线性多项式拟合残差修正

目前，对GM（1，1）模型的残差修正多采用GM（1，1）模型进行，这种修正方式显然未考虑残差符号各异性特征。针对非线性特征明显的残差序列，可以采用多项式拟合方式对残差值进行拟合修正，从而改善GM（1，1）模型的预测精度。原理如下：

设残差序列如式（7）所示：

多项式拟合函数如下[11]如式（8）所示：

2.预测模型与预测精度评价

2.1预测模型评价

GM（1,1）模型检验通常以C、P值判定，C、P值的计算方法见文献[12]，根据C、P值的计算结果判定GM（1,1）模型精度等级[12]如表1所示，总体评价时一般取C值与P值评价结果中最高等级为模型等级。

表1 GM（1,1）模型精度等级评价标准

2.2预测精度评价

一般常用以下五种指标进行预测模型的预测精度评价，具体计算方法如下[13]：

（1）预测误差平方和（SSE）

以预测误差值的平方和作为评价指标，计算式如式（11）所示：

（2）均方误差（MSE）

以预测误差值平方和取平方根的平均值作为评价指标，计算式如式（12）所示：

（3）平均绝对误差（MAE）

以预测误差值的绝对值的平均值作为评价指标，计算式如式（13）所示：

（4）平均绝对百分比误差（MAPE）

以预测值相对误差绝对值的平均值作为评价指标，计算式如式（14）所示：

（5）均方百分比误差（MSPE）

%%以预测值相对误差平方和取平方根的平均值作为评价指标，计算式如式（15）所示：

上述五个评价指标的取值范围均为［0，＋∞），当预测值与真实值完全吻合时等于0，预测模型为完美模型。误差越大，指标值越大，预测精度越低，预测模型也越差。

3.实例验证

3.1实验数据

本次研究收集到了陕西省北部某煤矿地表沉降趋于稳定后的15期实测累计沉降观测值为实验数据，对其中的A06号监测点前12期数据进行模型拟合，对后3期数据进行预测，并对比实测值对模型精度和预测精度进行分析。

3.2改进灰色GM（1,1）模型结果

记传统灰色GM（1，1）预测模型为GM（1，1），采用卡尔曼滤波进行观测值平滑后进行灰色GM（1，1）预测的模型为GM（1，1）0，采用非线性多项式拟合进行GM（1，1）预测结果残差修正的模型为GM（1，1）1，采用卡尔曼滤波进行观测值平滑后进行灰色GM（1，1）预测，并对预测结果进行非线性残差修正的模型为GM（1，1）2。

分别采用GM（1，1）、GM（1，1）0、GM（1，1）1、GM（1，1）2模型对A06号监测点地表沉降进行预测，预测结果残差对比如表2所示。

由表2可知：GM（1，1）模型在A06点的拟合值平均相对误差和预测值平均相对误差分别为0．10%和0．16%，GM（1，1）0模型为0．10%和0．16%，GM（1，1）1模型为0．07%和0．39%，GM（1，1）2模型为0．07%和0．13%。同时，GM（1，1）、GM（1，1）0、GM（1，1）1、GM（1，1）2四种模型在A06点的拟合值残差中误差分别为2．61、2．61、1．52、1．48，而预测值残差中误差分别为3．68、3．52、8．39、2．73。可以看出，GM（1，1）1和GM（1，1）2模型的拟合值平均相对误差和中误差明显小于GM（1，1）和GM（1，1）0模型，GM（1，1）2模型的预测值平均相对误差和中误差小于其他三种模型，而GM（1，1）1模型的预测值平均相对误差和中误差却是四种模型中最大的。

由此表明：通过原始观测值进行卡尔曼滤波处理后的GM（1，1）0模型并未有效提升预测精度，对GM（1，1）模型预测结果进行非线性多项式残差修正的GM（1，1）1模型获得了良好的拟合精度，但却未能获得相应良好的预测精度，预测值相对误差随步数增大而迅速增大。而组合卡尔曼滤波预处理与非线性多项式残差修正后处理的GM（1，1）2模型较GM（1，1）模型预测精度有明显提升，增益效果明显。

表2预测结果残差对比表

表3模型等级与预测精度评价

3.3 模型检验与预测精度

据表2计算得到A06点在四种预测模型下的C、P、SSE、MSE、MAE、MAPE和MSPE值，结果如表3所示。

由表3可知：GM（1，1）1和GM（1，1）2模型的模型等级均为一级，而GM（1，1）、GM（1，1）0的模型等级均为二级。对比SSE、MSE、MAE、MAPE和MSPE值可以看出，GM（1，1）2模型是预测精度最高的模型，GM（1，1）0模型次之，其次是GM（1，1）模型，GM（1，1）1模型则是预测精度最差的模型。

3.4 讨论

（1）由表2、表3可以看出：GM（1，1）2模型总体预测精度最高，是较其他三种模型更适用于煤矿采空区地表沉降变形预测的非线性系统预测模型。

（2）卡尔曼滤波在变形监测领域应用众多，可以实现观测值的平滑处理，本文采用卡尔曼滤波对观测值序列进行预处理，再利用GM（1，1）模型进行预测。从表2、表3统计结果来看：尽管经过卡尔曼滤波预处理的观测值序列更平稳，但GM（1，1）0模型并未能达到明显改善预测精度的预期效果，本文数据源中其他数据实验结果也如此，与现有研究对比分析认为，应与数据序列中存在个别较大突变有关。今后应扩大实验数据源，继续就此问题进行研究，为变形预测模型提供适用性更好的滤波模型进行观测值预处理。

（3）由表3可知：GM（1，1）0模型与GM（1，1）模型预测精度基本一致，GM（1，1）2模型较GM（1，1）1模型预测精度高，由此表明，采用卡尔曼滤波预处理和残差修正组合后的模型预测精度增益明显。今后仍应就此问题进行更广泛的实验对比，构建采空区地表沉降变形稳健预测模型。

4.结束语

（1）相对误差、中误差、C、P、SSE、MSE、MAE、MAPE和MSPE值一致表明，GM（1,1）2是适用于采空区地表沉降变形预测的模型。

（2）卡尔曼滤波对GM（1,1）模型预测精度增益不明显，但会对残差修正模型预测精度带来提升，同时开展卡尔曼滤波和残差修正的GM（1,1）2模型预测精度高于残差修正GM（1,1）1模型、卡尔曼滤波预处理GM（1,1）0模型和原始GM（1,1）模型的预测精度。

本文的结论对采空区地表沉降变形预测研究具有一定的参考价值，但卡尔曼滤波改进效果不理想，今后应就此问题继续开展研究，同时推进非线性系统理论变形预测方法体系发展。