加权Dirichlet能量的内变分
2022-09-05刘初玥
刘 初 玥
(西华师范大学 数学与信息学院, 四川 南充 637009)
0 引言
我们研究加权Drichlet能量.给出以下定义和符号[1-2],映射h:→,且给出h的Hilbert-Schmidt范数:
定义1假设h:Ω→Ω′是定义区域Ω上的一个W1,2(Ω)映射,其中Ω和Ω′⊆,ρ为Ω′上的Riemann度量,定义加权Dirichlet能量为[6]:
(1)
定义2假设h:Ω→Ω′,h=h(ξ)是定义在区域Ω上的一个W1,2(Ω)类映射,其中Ω和Ω′⊆.z和ξ表示在区域Ω内的不同变量,将ξ看作Ω到自身的C∞光滑微分同胚:ξ(z)=z+ψ(z)且且则h的内变分H(z)=h[ξ(z)]=h[z+ψ(z)].
此时h的边界值由h(Ω)=Ω′给出,但大多数时候都不考虑边界情况,在非线性超弹性空间[7-9]中被称为无摩擦问题.
Iwaniec等[10]研究了度量ρ[h(z)]=1时,关于Dirichlet能量的内变分,本文在此基础上研究了加权情形下Dirichlet能量的内变分.
1 研究的主要结果
定理1映射h:Ω→Ω′定义的内变分是由H(z)=h[ξ(z)],z∈Ω′给出的映射H=H(z),其中ξ=ξ(z)以及其逆映射z=z(ξ)都是Ω上自身到自身的微分同胚,则:
(2)
(2)当度量ρ[h(z)]=1时,(2)式就是文章 [10]中的(1.11)式.
同理可得
所以
(3)
(3)式的左右两边都是关于z的变量,所以两边可以同时积分,之后再根据面积元素变换规则:
在(3)式的右边进行变量变换,因此
(4)
其中
(5)
将(5)式带入(4)式后再带入(2)式,得:
定理1证明完毕.
2 相关的推论及证明
所以给出以下推论:
推论1若H几乎处处恒等于零,则内变分不减少能量,即E[h]≤E[H].
对定理1进行推广,已知z(ξ):Ω→Ω也是复平面上的微分同胚,所以选择任意一个复值函数
对足够小的ε∈,映射z=z(ξ)=ξ+εη(ξ)都是Ω中变量ε的微分变换.ε的选取与η有关,但是为了方便计算,我们不考虑这一点.现在的目标是将(2)式展开为关于ε的幂次项,因此考虑h的内变分:H(z)=h[ξ(z)],z=z(ξ)=ξ+εη(ξ),其中ξ∈Ω,ε足够小.
推论2H的加权Dirichlet能量的ε幂次型展开,在ε≈0时等式也有效:
(6)
当取消Re时等式也成立,因为h是复数函数.
注同样地,当度量ρ{h[z(ξ)]}=1时,(6)式就是文献 [10]中的(1.15)式.
(7)
带入(7)式得:
推论2证明完毕.
3 多连通区域上Hopf乘积等于零的例子
{0}=1∪2∪…∪n∪…,
其中
n={z∈:rn+1≤|z| 且rn=n-2,n=1,2…, En[h]== E 所以在多连通区域上也可以找Hopf乘积为零的例子,并且保证了它的Dirichlet能量是有限的.