指向几何直观，完善教学设计——建立“异分母分数”加法法则的视点

张 昆， 李嘉扬

(淮北师范大学 数学科学学院， 安徽 淮北 235000)

0 引言

义务教育数学课程标准修订的预审稿(以下简称“预审稿”)所设定的课程目标，是依据《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出的6项数学核心素养要素的课程目标，再依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出的课程目标的10个“核心词”的课程目标，将两者合理整合后，从中抽绎出15项核心素养要素，作为“预审稿”的项目性目标.其中“几何直观”被列为这15项核心素养要素中的第7项[1].为了探究如何帮助学生实现几何直观核心素养的教学目标，这里，先从几何直观的内涵与作用展开讨论.

1 几何直观的内涵与作用

几何直观是从造形[2]的角度，探讨(特别是比较抽象的)数学问题，从而帮助学生发生数学知识认识.它是利用“可视性”的几何要素探究面临的外显信息，进而使外显信息生成结构性意义的一种思维途径或工具.通过几何直观，可以实现将抽象的数学知识转化为“可视性”内容，而这就必须要经由“可视化”的过程.由于每一个抽象的数学知识点总能够使用不同的造形加以体现，因此“可视化”的结果形式各有千秋、自具特色，其中某些形式有利于学生发生抽象数学知识的认识，另一些“可视化”形式可能相反，不利于学生发生数学知识认识.

几何直观的内涵在于，通过造形，即构造实物、符号或图形等，构成了外在“可视性”要素.它作为抽象的数学知识信息的信号与象征，能够替代抽象的数学知识.从长期的教学实践中认识到，可以采取两种不同层次的心理方式处理外在信息：其一，直观感知，观察并认识信息的外在现象及其组合所形成的表象意义；其二，直观洞察，观察并认识信息的深层次结构与内在本质上的意义.由此可见，几何直观是学习主体化解具有抽象特点的疑难数学内容的有效手段之一，因此，几何直观也就构成了学生理解抽象数学知识或解决抽象数学问题的重要途径之一.

一般地，在教育中可以把学生获得的知识比作“鱼”，而获取知识的方法和手段称为“渔”.从人的终身学习能力和持续发展潜力上讲，方法之“渔”比知识之“鱼”更重要、更有用[3].在这里，“造形”和“可视性”几何要素就是学生获得抽象的数学知识和培养几何直观核心素养的“渔”.几何直观所涵蕴的一项重要作用，就在于利用“可视性”的几何要素(包括实物、符号、图形等)，构成抽象数学知识的信号或象征性的替代物.通过描述与分析直观替代物的信息内容，借助几何直观能够将复杂的、抽象的数学内容转化为简明的、具体(可视、直观、趋于信息的整体)的形式，从而帮助学习主体探索外在信息元素、联系其涵蕴的规律性与结构性、发生数学知识的认识等，使学生理解数学知识、理解解决数学问题思路的由来[4].很显然，有效运用几何直观这一工具的先决条件，就是构建或选择合适的实物、符号或几何图形等.因此，其疑难之处就是取得一个适合学生发生数学知识认识的替代物，即关于具体的具有抽象性数学知识的造形问题.

当主体面临具有抽象特点的数学知识点时，通过造形，可以帮助学生运用直观感知或直观洞察找出信息中要素之间的联结，挖掘出信息要素组成的具体结构，从而发生数学知识认识或解决具体的数学问题.这就是说，几何直观可以将外在信息使用(抽象的)理性认识的途径转化为(直观的)感性认识的途径.因此，几何直观极大地降低了抽象的层次，使本来需要进入“形式运算”年龄段心理水平才能展开探究的信息特点，转化为在“具体运算”年龄段心理水平就可以进行探索的信息特点，如此降低了学生学习数学知识与探究数学问题思路的思维强度.

2 完善造形形成几何直观的教学设计及其课堂实施示例

从分析几何直观的内涵、作用及其造形活动中的疑难所得到的上述结论中，可以认识到，在实际教学设计及其课堂实施中，数学教师需要特别注意的是，这种有效利用直观感知与直观洞察的途径，都是在“可视性”几何形象化要素的帮助、协调下，才有利于学习主体发生数学知识认识，以及对解决数学问题思路的直接把握，进而为进行抽象层面上的逻辑论证提供了方向性的指引.这里，以建立“异分母分数”加法法则为例，说明在教学设计及其课堂实施中如何完善造形的活动过程，从而发挥几何直观的教学价值.

根据这道题的计算过程，并依据计算结果，总结建立“异分母分数”加法法则的途径，下面实录某位数学教师施教活动中的一个关键环节：

图的几何图形表示

图的几何图形表示

在另一位数学教师的课上，利用教科书所提供的教学素材，学生将上述生1所使用的两个形状与面积相同的长方形，相应地换成了两个圆，其他的施教与学生学习的途径与上述的教学途径的本质上是相同的.(记两种本质上相同的教学方法为“方法一”)

下面是第三位教师的教学设计及其课堂实施关键环节：

师：如何求出计算式①的值？

图图形组合表示

师：好主意.那么，在图4中，如何确定点G所表示的具体数值呢？

图图形组合表示

图为单位的图形表示

又一位数学教师采用了似乎是某种游戏的方式，带领学生进行探究.现将这种探究解决问题方法的梗概记录如下：

师：如何求出计算式①的值？

图图形表示

图图形组合表示

这三种求具体的“异分母分数”的加法运算的方法，具有次第完善过程的特点.在“方法一”的教学活动中，通过数学教师的灌输环节，才能打通计算过程；在“方法二”的关键环节中，涵蕴着促进学生通过观察产生思维进展的可能性环节，那就是作为线段AB的“三等分”点与“二等分”点，都是线段AB的“六等分”点，从而通过“三等分”点与“二等分”点的“自展性”[7]，学习主体可以创造性地协调成“六等分”点.同时它也相应地内化为解题主体探究解题思路心理上的“自展性”，从中形成了学生发现“六等分”点的心理内驱力；“方法三”通过附加两项条件要求，即上一行与下一行的正方形一样多；上下两行的阴影正方形与整个正方形的比为所要计算的两个分数，从而获得两个“异分母分数”的公分母.据此，找到解决问题的方法.

由此可知，“方法二”与“方法三”都是解决问题的完善方法，它们也构成了教学设计的完善途径.数学教师一定要设法理解：作为抽象的数学知识，它可以来源于无数的现象性素材(几何直观“可视化”后的具体内容)，这就为数学教师关于某个数学知识点的教学设计及其课堂实施选择提供了多层面、多视角的素材.这些素材对于适应具体数学知识点的特点，存在着不太适应(如“方法一”)、比较适应与非常适应(“方法二”或“方法三”)的层次性，这为完善具体知识点的教学设计提供了可能的依据.这里建立“异分母分数”加法法则的例子就是很好的说明.

3 几何直观能够作为义务教育数学课程目标的重要依据

为了更深入地理解几何直观的内涵及其教学价值，回答“为什么几何直观有资格作为义务教育数学课程的15项目标要素之一”这样的问题，这里有必要解释前述所提出的“反省抽象”这个概念.“反省抽象”指的是学习主体在探究外在信息时，对主体自己操作信息的活动环节或过程中的“活动”进行抽象，“活动”指的是幼儿期的肢体直接操作.随着年龄的增长，这种肢体操作活动内化为思维中的“运算”，因此“反省抽象”的对象就是主体操作的肢体活动或运演的心理活动，抽象的结果主要是获得的数理逻辑知识.有了这样的认识后，可以发现“反省抽象”具有如下两方面的内涵：

一方面，皮亚杰指出，“在历史上，产生了经验主义与理智主义的两种解释发生知识认识的方式，经验主义者认为知识乃是现实的一种复写(即来源于主体对于客体自身内容的认识，这与“反省抽象”发生认识成为对立面，例如，物理知识、化学知识就是客体性的知识等——引者注)，而理智主义者则认为知识是由知觉(即来源于大脑由于联想对于外在信息的组织，在知觉、思维层面上形成的结构，这种结构转化成了知识等——引者注)直接派生出来的.然而，这两者发生知识认识的心理途径都具有片面性，知识(特别是数理逻辑知识——译者注)主要是对一种动作和运算的同化作用”[8].

另一方面，皮亚杰将从幼儿到青年期的心理成长划分成了“四阶段六水平”.“四阶段”是感知运算阶段、前运演阶段(分为二水平)、具体运演阶段(分为二水平)、形式运演阶段[9].其中，从七八岁到十一二岁时，学生的心理处于具体运演阶段的活动水平，所谓具体运演就是心理运演离不开操作具体实物或代替实物的信号物活动，通过对自己的操作活动进行抽象，才能产生数理逻辑知识.因此，处于小学年龄段的学生发生知识认识，就不可能离开几何直观，因为，其肢体的操作活动需要所操作的对象性信息.只有主体心理达到形式运演阶段水平(一般是十四五岁的前青年期)，主体采用思维活动操作存于意识结构中的概念，形成判断与推理，解决问题或发生知识认识，就可以脱离操作的客观对象性信息了.

由此分析结论，能够清晰地认识到，当学生的心理处于具体运演阶段水平时，几何直观具有非常重要的作用.学生只有通过自己的实际动作操作具体的客观信息要素(包括实物、替代实物的符号、几何图形等)，从实际的动作中形成操作的经验，再从生成的经验中进行“反省抽象”，得到正确的抽象结果，才能形成数理逻辑性的知识.作为几何直观中所要求的无论是实物、符号，还是几何图形，都是帮助学生找到具体的操作对象，而具体的操作活动，又正好构成了“反省抽象”的前提与基础.

这些认识构成了几何直观作为数学新课程15项核心素养目标之一的理由，从这种意义上说，几何直观作为数学课程目标中15项要素中的一项，也确实是实至名归的，与其他的数学核心素养要素相比，毫不逊色.而数学核心素养是个体的身体和心理协同作用于数学活动而形成具有“数学头脑”的自组织的数学经验系统.数学核心素养的形成既需要“身”“心”的协同参与，又需要心智和心力的协同工作[10].这就要求数学教师在教学设计及其课堂实施中，依据具体数学知识点的特点，进行多项试探，力图找到突出体现具体数学知识点的合适几何直观的具体内容(实物、符号或几何图形)，如此，才有可能适应学生的心理水平，最大限度地提高数学教学设计水平，从而提高具体的数学课堂教学的有效性.

4 结束语

“预审稿”将几何直观作为课程目标中的15项核心素养之一，数学教师理所当然地要自觉将义务教育数学课程目标转化为自己教学设计及其课堂实施中的教学目标[11].当学生的心理处于“具体运算阶段”时期，几何直观为帮助学生理解数学知识或解决问题的方法，都有很好的价值.据此，可以指导教师在教学设计及其课堂实施中，要有数学课程知识“一盘棋”的理念，在利用几何直观发生知识认识与探究解决问题方法的同时，要为今后从本质上，即逻辑论证上带来方便[12].对此，数学教师要思之再思，慎之又慎.