“一元二次方程的根与系数的关系”教学设计

张晓鹏

（内蒙古兴安盟乌兰浩特市第十二中学）

一、教学内容解析

本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第21章“一元二次方程”第2.4节，主要内容是探究一元二次方程的根与系数的关系.此前学生已经学习了一元二次方程的解法和根的判别式，本节课的内容是对一元二次方程的两根与系数之间的关系的深化，是今后继续探究一元二次方程根的情况的重要工具，在高中数学的学习中也有着更加广泛的应用.因此，尽管本节课是选学内容，却起着承上启下的作用.

二、学生学情分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.本节课的教学对象是九年级学生，在此之前，他们已经学习了一元二次方程的解法及根的判别式，虽然学生的学习能力存在差异，但大部分学生已经会解一元二次方程，且九年级学生已具备一定的逻辑推理能力.因此，在学习了一元二次方程的解法后，自主探究一元二次方程的根与系数的关系是完全可能的.

三、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）知道一元二次方程的根与系数的关系.

（2）能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律.

（3）通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生的观察、分析、综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性和勇于探索的精神.

四、教学策略分析

《标准》提出，学生学习应该是一个生动的、活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.本节课采用创设情境法、启发引导法、示范讲解法等教学方法来突出教师的主导作用，通过鼓励学生主动参与、相互交流、合作探究，积极参与教学活动，感悟知识的形成过程，发挥学生在课堂中的主体地位，以及教师引导、点拨的示范角色，真正实现以教学目标为导向的“教、学、评一体化”.

五、教学过程设计

1.复习回顾，思考旧知

回顾学过的一元二次方程知识，思考下列问题.

（1）一元二次方程的一般形式是什么？

（2）一元二次方程的求根公式是什么？

【设计意图】通过设计问题的方式来复习旧知，让学生都能够积极回答问题，活跃课堂氛围，激活学生的思维，并在问题的指引下导入新课，进入探究主题，从而不断激发学生的求知欲望和学习热情，为本节课一元二次方程的根与系数关系的探究之路做好前期的预热.教师根据学生的回答，适时进行引导和深化，为本节课进一步深入探究一元二次方程的根与系数关系的其他形式及推理证明做铺垫.

2.问题情境，导入新课

问题1：已知矩形的长和宽分别是方程x2-1 234x+5 678=0的两个实数根，求这个矩形的周长和面积.

追问：方程x2-1 234x+5 678=0的系数较大，用学过的方法解这个方程比较烦琐，是否还能用其他方法，不解方程也能快速求出矩形的周长和面积？

【设计意图】由于方程的系数较大，计算难度较大，激发学生对于本节课内容的探究欲望.同时，让学生理解“数学源于生活，又应用于生活”，激发学生的数学学习兴趣.

3.观察猜想，推理探究

活动1：探究一元二次方程二次项系数为1的情况.

思考1：填写表1，猜想二次项系数为1时，方程的根与系数的关系.

表1

问题2：观察表1中的两个方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？你发现了什么规律？

教师引导：利用因式分解法解方程可知，若方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2-4q≥0）的两个实数根是x1，x2，则方程可以表示为(x-x1)(x-x2)=0的形式.将方程化简为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0，比较一次项系数和常数项即可得出结论x1+x2=-p，x1x2=q.

【设计意图】为了让学生在课堂中进行深层次的探究和发现，让学生真正成为课堂的主体，同时兼顾不同层次的学生，细化了一元二次方程的根与系数关系的形成过程，先让学生研究二次项系数为1的情况，形成一个比较简单的结论，再迁移推广到一般情况，渗透了从特殊到一般的数学思想.根据学生的最近发展区，给学生搭建适当的思维阶梯，让学生的思维呈螺旋式上升.

活动2：探究一元二次方程二次项系数不为1的情况.

思考2：填写表2，思考一元二次方程二次项的系数不为1时，根与系数之间又有怎样的关系.形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程，如果b2-4ac≥0，两根为x1，x2，结合前面的结论，猜想x1，x2与各项系数a，b，c之间的关系.

表2

师生活动：学生每4人为一个小组进行合作探究，并验证猜想出的一元二次方程的根与系数的关系.

归纳：二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系：两根的和为一次项系数的相反数，两根的积为常数项.

关于x的方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2-4q≥0）的两根x1，x2与系数p，q的关系是x1+x2=-p，x1x2=q.

问题3：如何进行推理验证？

【设计意图】通过计算二次项系数不为1的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中探究和发现一般规律，为进一步探究一般规律做铺垫，渗透从特殊到一般的数学思想.

问题4：观察方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根的和、两根的积与系数有什么关系？你发现了什么规律？

师生活动：学生先自行计算出方程的两个根，然后每4人为一个小组计算两根的和与两根的积，最后小组讨论本组的猜想结果.教师深入小组给予适当的引导和点拨，充分发挥学生在探究活动中的主体地位.

学生通过小组讨论，能得出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为

追问：这个结论是否正确呢？我们能否对这个结论加以证明？

4.推理证明，加深理解

思路1：因为ax2+bx+c=0（a≠ 0），

【设计意图】《标准》指出，符号意识是指能够理解并且运用符号来表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.在初中阶段，建立数学符号意识有利于学生更好地理解符号的使用.符号意识的培养既是重要的知识载体，又为知识的模型化奠定了基础.

思路2：对于ax2+bx+c=0（a≠ 0），

师生共同归纳得到：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠ 0）的两个根x1，x2与系数a，b，c的关系为.

【设计意图】在教师的启发引导下，学生能够想到把ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系转化为研究根与系数的关系，而的根与系数的关系就是前面研究x2+px+q=0的二次项系数为1时的根与系数的关系.在以上一元二次方程的根与系数关系的发现和生成过程中，教师的启发和引导为学生搭建了思维的脚手架，培养了学生的推理能力和符号意识.在探究的过程中，学生通过自主发现、合作探究，体验成功的喜悦，让知识本身散发出它内在的生命力和吸引力.

5.定理背景，渗透数学史

师生活动：教师为学生播放微视频，介绍一元二次方程的根与系数的关系的产生与发展的历史.

【设计意图】运用信息技术手段，采用微视频的形式，通俗而不失严谨地介绍一元二次方程的根与系数的关系的产生与发展历史，既有助于学生了解数学在人类文明历史发展进程中的重要意义，又可以让学生从中体验数学家发现和探索的心路历程.

6.运用新知，解决问题

（1）问题再现，体验方法.

例1已知矩形的长和宽分别是方程x2-1 234x+5 678=0的两个实数根，求这个矩形的周长和面积.

【设计意图】利用本节课所学的一元二次方程的根与系数的关系，学生可以轻松解决这道例题，考查学生对新知的掌握情况.

（2）基础练习，熟练应用.

练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积.

①x2-6x-15=0；②5x-1=4x2.

强调：在运用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式，找准系数a，b，c，使用两根之和时不要漏掉负号.在初中阶段，教师要强调一定要在方程有根的情况下才能使用根与系数的关系.这是学生容易出错的地方.

【设计意图】通过练习题，让学生初步运用一元二次方程的根与系数的关系，巩固新知.

（3）例题分析，优化解法.

例2已知方程x2-(k+1)x+4=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

师生活动：教师启发学生用不同方法求出k的值和方程的另一个根.按照“简单分析—独立解答—黑板板演—点评归纳”的活动形式完成这道题.

【设计意图】通过解决例2，进一步达成让学生掌握知识、形成技能、学会方法的教学目标，培养学生对具体问题的理解能力、分析能力，以及解决问题的能力，考查学生对一元二次方程的根与系数的关系的灵活运用情况.在解题过程中启发学生运用不同的方法解决问题，引导学生比较不同解法的差异和优缺点，体现新知的应用价值.

（4）变式练习，拓展提高.

拓展：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.

【设计意图】拓展题是利用一元二次方程的根与系数的关系来解决的常见题型.教师可以发散学生的思维，引导学生把未知转化成已知的根与系数的关系问题.

7.课堂小结，归纳提升

（1）本节课我们学习了哪些知识？

（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，要注意哪些易错点？

（3）在这节课的探究过程中，运用了哪些数学思想和数学方法？

【设计意图】总结本节课知识的形成过程和结果，使学生内化所学知识，生成整体的知识结构和思维逻辑架构.同时，渗透数学思想方法，提升学生的数学思维，便于学生理解和掌握知识，提升数学素养.

8.布置作业，分层落实

必做题：不解方程，求下列方程两根的和与积.

（1）x2-3x=15； （2） 3x2-2=1-4x；

（3） 5x2-1=4x2； （4） 2x2-x+2=3x+1.

选做题：已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根分别是x1和x2，且x12+x22=4，求k的值.

【设计意图】通过布置分层作业，使不同层次的学生都能有所收获.让优等生和中等生“吃得饱”的同时，将数学思维拓展提升；让学困生能够“吃得了”，将基础知识夯实牢固.

六、教学反思

1.搭建符合学生认知规律的思维之梯

对于“一元二次方程的根与系数的关系”一课的教学，有的教师往往直接给出几个特殊的一元二次方程，让学生直接计算两根之和、两根之积，然后得到猜想，最后用求根公式证明猜想.但教师忽略了一个事实：为什么只计算两根之和、之积，而不计算两根之差、两根之商？这样的教学无形中有一定的指向性，不便于学生从多角度、多方向思考问题，不利于对学生思维能力的培养.

本节课中，创设求矩形的周长和面积的问题情境引入探究主题，这样设计符合学生的认知发展规律，有利于学生明晰为什么要探究一元二次方程的两根之和与两根之积.

2.渗透数学思想

本节课的教学是在“教师为主导，学生为主体，练习为主线”的教学理念下进行的，让学生在教师的引导下自主探究、合作交流、大胆猜想、动手实践，引导学生的思维向纵深方向发展，用已有的数学知识和方法解决数学问题，让学生在探索、发现中体会其中蕴含的数学思想方法，在和谐、愉快的氛围中快乐地学习，从而激发学生学习数学的积极性，增强学生探究数学的自信心.