石英微壳体振动陀螺频率裂解调谐仿真分析*

林 星,胡友旺,李靖轩,于亚龙,孙小燕

(1.高性能复杂制造国家重点实验室，湖南 长沙 410083；2.中南大学 机电工程学院，湖南 长沙 410083)

0 引 言

陀螺仪是依据惯性原理检测惯性空间内运动物体的角速率传感器。它主要的功能包括三个方面：1)利用陀螺输出信号作为负反馈作用在闭环自动控制系统中，提高系统的稳定性;2)测量转动速度;3)对角速率进行一次积分，获得运动物体的角度信息，以此来确定姿态[1]。随着三维曲面微加工工艺和微机电系统(MEMS)制备工艺日趋成熟，微型化、集成化、小型化的微谐振陀螺制备[2]有了极大的发展，最具代表性的石英微壳体振动陀螺工作带宽大、动态响应好[3]、品质因数高、抗冲击能力强，同时，吹制[4]辅以旋转平台、紫外线[5]与飞秒激光切割释放、增加T型块改善电容间隙等工艺的应用，大幅度提高了陀螺的对称性与灵敏度。

频率裂解是决定陀螺综合性能的关键性因素，它会影响陀螺的分辨率、标度因数、Q值等重要指标，对于频率裂解的修调[6～10]展开研究非常重要。本文的研究对象谐振子已经与电极封装完毕，因此加工区域有限，并且逐步降低频率裂解给加工精度提出更高的要求，打孔位置的偏差可能会导致更大的频率裂解。为了实现更小的频率裂解，本文同时还提出了一种粗调频率与精调频率的调谐策略，并采用沿工作模态轴径向位置可调区域进行微质量去除研究，获得了去除质量与谐振子频率和频率裂解的变化关系，用Ansys仿真软件对调谐方式进行验证。

1 石英微壳体振动陀螺基本工作原理

微壳体振动陀螺作为一种角速率陀螺，遵循科里奥利原理。工作时陀螺谐振子被激励至特定模态的阵型，当陀螺旋转时，阵型也跟着旋转，并且阵型旋转角度与系统旋转的角度成正比，从而获得角运动信息[8]。理想情况下，电极是与谐振子刚性轴重合的，不存在阵型偏移的现象。

在理想模型中不存在任何缺陷，工作在四波腹波节的模态下，图1(a)中将0°和90°对应的轴称为模态A，常作为驱动信号输入端；图1(b)中将45°(135°)对应的轴称为模态B，常作为检测信号输出端。模态A的固有频率为10 593.812 856 57 Hz；模态B的固有频率为10 593.812 858 47 Hz，理想模型频率裂解为1.9×10-6Hz。

图1 理想模型工作模态

2 谐振子有限元模型

陀螺谐振子由壳体与外接8个T型块构成，壳体厚度不均匀。图2(a)为谐振子与电极封装后的实体图，图2(b)为谐振子几何参数示意图，尺寸参数如表1所示。

图2 谐振子示意

表1 尺寸参数

谐振子的材料是熔融石英，其材料参数：杨氏模量为73.1 GPa,密度为2 203 kg/m3,泊松比为0.17。在Ansys中对谐振子采用Sweep和Map绘制网格的方式获得20节点的六面体网格单元，具有优异的网格质量，计算结果更准确。

3 调谐分析

由式(1)可知，可以通过改变等效质量或等效刚度的方式实现频率裂解的降低

(1)

式中ω*为修调后的频率，k*为修调前的等效刚度，Δk为修调引起的等效刚度的减小，m*为修调前的等效质量，Δm为修调引起的等效质量的减小。

在不破坏阵型以及保证节点稳定、结构对称性的前提下，以下所有调谐孔均在模态A上采用4点对称修调进行调谐，如图3所示。模态A称为修调轴，模态B称为未修调轴。

图3 调谐方式

径向可调区域简化模型如图4所示，沿陀螺工作模态轴径向进行精密调谐研究，可调谐区域长度为500 μm，按照由外到内分为：Ⅰ区为T型块上端，Ⅱ区为T型块下端，Ⅲ区为T型块与陀螺壳体连接部分，简称裙边。在T型块上端最外侧建立笛卡尔坐标系，原点为O点，径向位置设置14个调谐方孔，每个点代表调谐孔中线的位置，孔的边长为25 μm，将调谐孔中线与O点的距离设为D。

图4 径向可调区域简化模型

每个调谐孔中线与原点的距离如表2所示，在T型块上端设置6个调谐孔，第1点位于T型块上端最外侧，第4点位于T型块上端中间位置，第7点位于T型块上端与T型块下端连接处；其次，在T型块下端设置3个调谐孔，第9点位于T型块下端中间位置，第11点位于T型块下端与裙边连接处；最后，在裙边设置3个调谐孔，第13点于裙边中间位置。

表2 调谐孔的方位

3.1 T型块上端修调

设置调谐方孔边长25 μm，深度逐渐加深，研究孔深变化对于频率、频率裂解的影响。在T型块上端分布的6个点中第4点最具有代表性，其它第1,2,3,5,6点的变化趋势与其相同，图5代表调谐孔在第4点的变化规律。

图5 T型块上端修调，孔深与频率和频率裂解的变化关系

图5(a)中，当调谐孔深度较浅时，修调轴与未修调轴的频率均升高，修调轴的频率上升幅度更大。当孔深不断增加，修调轴频率会随着孔深的增加不断变大，由于去除质量较小，对于整体质量的影响有限，未修调轴的频率几乎保持不变。图5(b)中，频率裂解为修调轴的频率减去未修调轴的频率，频率裂解与孔深具有较好的线性关系，深度越深，频率裂解越大。

3.2 T型块下端修调

设置调谐方孔边长25 μm，深度逐渐加深，研究孔深变化对于频率、频率裂解的影响。在T型块下端分布的3个点中第9点最具有代表性，其它第8，10点的变化趋势与其相同，图6表示调谐孔在第9点的变化规律。

图6 T型块下端修调，孔深与频率和频率裂解的变化关系

图6表明T型块下端调谐孔的孔深对于频率以及频率裂解的影响与调谐孔在T型块上端是一致的。在整个T型块上修调轴与未修调轴均为质量式修调，频率裂解会随着孔深的增加而增加。同时，调谐孔在整个T型块上，孔深与频率裂解都有着较好的线性关系。

3.3 裙边修调

设置调谐方孔边长25 μm，深度逐渐加深，研究孔深变化对于频率、频率裂解的影响。在裙边上分布的3个点中第13点最具有代表性，其它第12，14点的变化趋势与其相同，图7表示调谐孔在第13点处的变化规律。

图7 裙边修调，孔深与频率和频率裂解的变化关系

由图7(a)可以看出，去除质量导致修调轴频率不断增加，修调轴上质量减少对于频率的影响大于刚度降低对于频率的影响，导致模态A的频率上升，质量占主导，因此，修调轴为质量式修调；对于未修调而言，去除质量导致整体刚度和整体质量都减小，但是去除质量对于刚度的影响要大于对于整体质量的影响，刚度占主导，因此，未修调为刚度式修调。图7(b)中，随着深度的不断增加，频率裂解与孔深呈正相关。

3.4 径向位置调谐效率分析

调谐效率的公式为

(2)

式中 Δf为前后频率裂解的变化量，Hz；m为调谐孔的质量，μg。故调谐效率η的量纲为Hz/μg。对应到图5(b)，图6(b)，图7(b)中，分别代表其直线拟合斜率，即：单元质量去除对于频率裂解的改变量。

图8中，在Ⅰ区中，调谐效率与径向位置成负相关，调谐孔中线位置越靠内，调谐效率越小，当调谐孔位于7点时，调谐效率在Ⅰ区中达到最小；在Ⅱ区中，调谐效率与径向位置同样呈负相关，T型块下端的调谐效率小于T型块上端的调谐效率，越靠内调谐效率越小。当调谐孔位于11点时，调谐效率达到径向工作轴整体调谐效率的最小值；在Ⅲ区中，调谐效率与径向位置成正比，距离D越大，调谐效率越大。微孔由外往内移动时，调谐效率先降低后急剧降低然后再升高。并且可以看出，当中线距离400 μm对称区间的调谐孔，Ⅱ区的调谐效率要小于Ⅲ区对应位置的调谐效率。

图8 径向不同位置调谐效率

方位11属于加工敏感区，微小的质量去除会在附近区域引起裂纹，对结构产生影响。在振动的过程中，可能会导致整个T型块与壳体的脱落。选择T型块下端靠近11点进行频率精修，降低调谐微孔对整体结构的影响。

比较T型块上端最外侧的调谐效率和裙边最内侧的调谐效率可以发现，两者差值在1.5Hz/μg，考虑到裙边可调区域较小，并且在裙边上进行调谐可能会误打到振动壳体上，因此T型块最外侧进行频率粗修。

4 频率修调试验

通常大多数陀螺谐振子均为非理想状态，制备出的谐振子会存在频率裂解。通过改变在谐振子底部的16个单元材料属性引入频率裂解，在4个方向上均置4个单元，缺陷模型如图9(a)。缺陷单元的材料参数：杨氏模量为75 GPa，密度为5 300 kg/m3，泊松比为0.17。初始频率裂解为19.9 Hz。

图9 频率修调试验

4.1 频率粗修调

首先在T型块最外侧设置深度H=100 μm，边长不断增加的方孔，调谐孔的方位如图9(b)所示。从表3中可以看出，当调谐孔尺寸达到85 μm×85 μm×100 μm，频率裂解降至0.48 Hz，1.6 μg的微质量去除可以降低15 Hz的频率裂解。再继续增大孔径可能会导致过修调，并且修调的尺寸大小也不好把握。根据规律可知，在此基础上进行频率精修。

表3 粗修频率变化规律

4.2 频率精修调

在中线靠近11点的T型块下端进行微小质量去除，T型块外侧调谐孔尺寸不变，设置孔边长为25 μm×25 μm，深度不断增加，调谐孔方位如图9(c)所示。由表4可以看出，随着调谐孔的深度不断增加，频率裂解逐渐减小。当调谐孔的深度达到84.9 μm时，频率裂解可以降低至0.003 5 Hz，在上一步粗修的基础上进行精修，0.116 9 μg的质量去除可以降低0.477 Hz的频率裂解。

表4 精修频率变化规律

图10(a)中，初始模态A的频率小于模态B的频率，随着模态A上的去除质量逐渐增加，修调轴频率不断上升，未修调轴频率几乎不变。频率粗、精修时，模态A,B均为质量式修调。图10(b)中，频率裂解起始大于0，随着去除质量的增加，频率裂解不断降低，可以降低至0.003 5 Hz。最终修调轴频率超过未修调轴频率，频率裂解变为负数，验证了上述规律与调谐方式的正确性。

图10 粗、精修调下的频率与频率裂解的变化规律

5 结束语

本文中主要研究了沿工作模态轴径向微小质量去除对于陀螺谐振子频率、频率裂解的变化以及径向调谐效率大小。对于理想模型，当调谐孔位于T型块上，对于修调轴和未修调轴均为质量式修调，深度不断增加，频率裂解与孔深呈正相关。当调谐孔位于裙边时，修调轴频率不断增大，为质量式修调；未修调轴频率不断降低，为刚度式修调，频率裂解也会随着孔深的增加而增加。调谐效率在T型块上不断降低，当调谐孔中线位于400 μm时，调谐效率达到最小值；在裙边上，调谐效率逐渐增加，越靠近壳体调谐效率越大。基于上述理论，给出了不同位置的调谐仿真实验，在T型块外侧进行频率粗修，在T型块下端靠近400 μm处进行频率的精修，最终实验与仿真规律有良好的一致性，1.71 μg的质量去除可以将频率裂解降低至0.003 5 Hz。

通过本文的研究，可以不改变振型的前提下，大幅降低频率裂解，提高石英微壳体振动陀螺的灵敏度和其他综合性能，对于进行精密修调的实验具有一定的指导性。