超混沌Lü系统同步控制与应用

郭 栋，白 超

(1.陕西国防工业职业技术学院 智能制造学院，西安 710300; 2.西安工业大学 电子信息工程学院，西安 710021)

0 引言

自从20世纪90年代OGY混沌控制方法[1]和混沌同步方法[2]提出以来，混沌学研究在诸如通信[3-4]、控制[5-6]、医学[7]、光学[8]、天气预报[9]等领域取得了迅猛发展[10]。混沌信号以其不可预测性、初值敏感性、伪随机性、非周期性、遍历性、易产生等特点天然适用于保密通信领域，尤其是利用混沌特点进行图像加密是密码学和通信领域的研究热点。研究混沌保密通信理论及其在工程领域的技术应用对于具有重要的科学意义和理论价值。

目前混沌保密通信可以分为直接利用混沌保密通信和混沌同步保密通信两大类。直接利用混沌保密通信最早由Matthews提出[11]，其原理在于通过混沌映射产生伪随机序列与明文二进制信息相乘或异或进行加密，但是量化后的离散混沌映射恶化了混沌特性，甚至完全丧失混沌特点，将产生具有周期的极限环[12]，并且依赖于计算机精度，容易被逆向破解[13]。基于混沌同步保密通信性能由保密方式、混沌信号复杂程度、混沌同步控制方法三方面决定：1)混沌同步保密通信的保密方式主要分为混沌掩盖、混沌参数调制、混沌键控三小类。混沌掩盖最早由Oppenheim[14]和Kocarev[15]等提出，该方案在传输信号低频段失真较大，容易被延时嵌入法[16]破解。混沌参数调制法由Halle[17]和Halser[18]提出，具有更好的保密能力，但是仍然可以被多步非线性预测法[19]、自适应同步法[20]破解。混沌键控法由Dedieu[21]等提出，将二进制信息映射到不同的混沌吸引子以实现保密通信，该方案可以通过使用短期过零率分析法破解[22]；2)混沌保密通信方案的混沌信号既可以由低维混沌系统产生，也可以由高维混沌系统产生。低维混沌系统具有明显的计算开销，但是它容易被混沌动力学重构和回归映射方案破解，降低了混沌系统难以获得令人满意的保密性能。与低维混沌系统相比，超混沌系统通常通过低维混沌系统引入新的状态向量[23]或者加入延迟反馈[24]获得，具有两个及以上的李亚普诺夫指数和更复杂的动力学行为。通常高维混沌系统相比低维混沌系统具有更好的随机性，数据分布更均匀，参数空间更大，可以有效提高混沌保密通信的抗破译性能，在保密通信和信息安全领域具有更高的实用价值；3)基于混沌同步的保密通信方案完全依赖于接收端和发射端振子间的同步程度，目前典型的混沌同步方法有驱动响应同步法[25]，该方案作为最早提出的同步方案虽然对部分非线性系统无法使用，但是为其他方案的提出奠定了基础。主动被动同步法[26]具有更广泛的适用性，但其性能主要由所选择的驱动信号决定。状态反馈同步法[27]利用当前系统的变量与控制目标间的误差进行反馈控制实现两个混沌系统的同步，具有普遍适用性。但是该方案需要目标系统状态可观可控。脉冲同步法[28]相对于其他同步方案降低了发射信息的冗余，但是所需的同步时间较长，精度有限，难以应用于噪声信道中。自适应控制同步方法[29]可以自动调整系统的参数，减少未知因素的影响，达到较好的控制效果，但是该方案控制函数的建立较为困难，限制了实际应用。单向耦合同步方法[30]，此类同步方案依赖于混沌系统间的耦合强度，只要两个混沌系统的耦合强度足够强，就可以实现混沌同步。如文献[30]中应用单向耦合同步的方法研究了分数阶超混沌系统的自同步现象，并开展了基于该耦合同步的混沌掩盖保密通信方案研究。然而，现有的混沌保密通信方案大多仅适用于理想信道，而较少关注于噪声信道下的保密性能，尤其是噪声信道使得发射端和接收端混沌系统的鲁棒同步问题难以解决。

本文基于三维自治Lü混沌系统，采用状态反馈控制器设计了一种超混沌Lü系统，通过分析所提系统的平衡点性质、李亚普诺夫指数、功率谱和耗散性等，证明了所提系统相较于Lorenz系统，Chen系统，Chua系统等典型的混沌系统具有更强的局部分离性和更复杂的动力学特性，系统的随机性和不确定性都大大增强，难以用相空间重构法破解。然后根据李亚普诺夫指数稳定定理设计了线性反馈控制器，实现了两个超混沌系统的同步算法。不仅通过理论分析和数值仿真验证了所提超混沌系统及其同步方法的正确性和有效性。此外，利用硬件电路实验验证了同步结果的正确性，表明所提方案具有较快的同步速度和噪声鲁棒性，易于实际电路的实现。最后将提出的超混沌系统应用在保密通信中，并给出了相应的分析，显示出了所提混沌系统及其同步方案在保密通信领域的应用潜力。

1 混沌Lü系统模型及其动力学特性

1.1 混沌Lü系统数学模型

典型Lü系统动力学方程如式(1)所示：

(1)

(2)

当选择系统参数为a=36,b=3,c=20，反馈增益为k1=1,k2=0.2,k3=0.3时。系统将呈现超混沌吸引子的现象，如图1示，其中图1(a)表示混沌吸引子相轨迹在x-y平面上的投影，图1(b) 混沌吸引子相轨迹在y-z平面上的投影，图1(c) 混沌吸引子相轨迹在x-z平面上的投影，图1(d)表示混沌吸引子在x-y-z三维空间上的相轨迹。

图1 参数为a=36,b=3,c=20,k1=1,k2=0.2,k3=0.3时,超混沌Lü系统在平衡点处的超混沌吸引子

1.2 特征参量分析

1.2.1 耗散性

对于超混沌系统式(2)有:

(3)

当a=36,b=3,c=20时，ΔV=-19<0。因此，提出的超混沌系统(2)为耗散系统，即当系统状态演化时间t→∞时，包含系统运动轨道的每个小体积元以e-19t速率收敛，此时系统表现出混沌吸引子特性。

1.2.2 平衡点及其稳定性

(4)

其对应的特征多项式为:

λ4+(a+b-c)λ3+(ab+k1-k2)λ2+

可以解得O+处雅克比矩阵的特征根为λ1=-22.656 4,λ2,3=-1.829 6±13.689 5i,λ4=-0.002 8。由此可得，O+为鞍焦点，即为不稳定平衡点。由于平衡点O-与O+的对称特性，故O-亦为不稳定鞍焦点。因此，随着系统时间演化，系统轨迹逐渐远离不稳定的平衡点O-与O+，而趋于稳定的平衡点O0。

1.2.3 李亚普诺夫指数和功率谱

在状态空间内，混沌吸引子的相邻轨迹之间呈现彼此排斥的趋势，并以指数分离。李亚普诺夫指数(LE)是对轨线收缩和扩张的定量描述，因此混沌动力学特性经常通过李亚普诺夫指数来分析，它是表征混沌系统运动状态的重要特征指数。当式(1)中系统参数为a=36,b=3,c=20时，式(1)表现出混沌系统特性；当式(2)中系统参数为a=36,b=3,c=20,k1=1,k2=0.2,k3=0.3时，式(2)表现出混沌系统特性；式(1)和式(2)表示的混沌系统的李亚普诺夫指数谱分别如图2(a)和图2(b)所示。其中系统(1)得到的李亚普诺夫指数分别是1.259 7，0和-20.299 8，设计的超混沌系统(2)得到的李亚普诺夫指数为1.505，0.183 8， -0.007 3，-20.461 5。可以看到，相较于混沌系统(1)，更高维的超混沌系统(2)具有两个正的李亚普诺夫指数，并且系统(2)的正Lyapunov指数比系统(1)更大。因此，可以确定在当前参数下，系统(2)处于超混沌状态，并且所提出的超混沌系统相较于系统(1)具有更复杂的动力学行为。超混沌Lü系统(2)的功率谱如图3所示，可见所提系统具有非常丰富的频率特征，没有表现出明显的单峰或少量多峰，即具有宽频谱特性，符号混沌序列特点。

图2 混沌系统Lyapunov指数谱

图3 超混沌Lü系统x(t)时间序列的功率谱

2 超混沌Lü系统混沌吸引子的线性反馈控制同步

2.1 超混沌Lü系统同步稳定性理论

利用线性反馈控制可以设计超混沌系统式(2)的同步方案，同步设计如下：设驱动系统为超混沌系统(2)，则受控的响应系统为：

(5)

其中:U(t)=[u1,u2,u3,u4]T∈Rn为同步控制器，受控系统的参数为a=36,b=3,c=20,k1=1,k2=0.2,k3=0.3。设系统的同步误差为e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=w1-w，则驱动系统(2)与响应系统(5)的同步误差为:

(6)

那么驱动系统与响应系统的同步问题转化为讨论误差系统的稳定性问题。为了分析证明误差系统一致渐进稳定，给出如下定理：

定理1：对响应系统(5)，若控制器U(t) = [u1,u2,u3,u4]T中存在一个控制系数p使得驱动系统与响应系统同步，那么控制系数p需满足条件p<-c。

证明:

设计的同步方案中选择的控制规律为：

(7)

将式(7)代入式(6)中，化简得到：

(8)

对误差系统(8)构造李亚普诺夫函数，如下：

(9)

对V求导数得：

(10)

证毕。

2.2 同步仿真研究

混沌信号由于其长期不可预测性和随机性常被当作随机数信号源而应用到保密通信领域。为了验证上述状态反馈控制器的有效性，本文将系统(2)作为驱动系统，系统(5)作为响应系统，仿真验证加入状态反馈的同步性能。对于未加入状态反馈控制器的系统，随着时间的推移，即使两个相同的混沌系统，未来的运动轨迹也会由于微小扰动、积分截断误差、系统热噪声等因素而呈现出完全不同的状态。数值仿真中，选取驱动和响应系统的参数a=36,b=3,c=20,k1=1,k2=0.2,k3=0.3。驱动系统(2)和响应系统(5)的初值分别设为x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1,w(0)=5;x1(0)=10,y1(0)=2,z1(0)=10,w1(0)=-10。在响应系统中加入状态反馈控制器，当选择控制系数p=-25时，仿真结果如图4所示，其中x,y,z,w以点划线表示，代表驱动系统的运动轨迹，x1,y1,z1,w1以虚线表示，代表响应系统的运动轨迹。可以看到，在经过短暂的过渡状态后，驱动系统的x,y,z,w状态轨迹逐渐与响应系统的x1,y1,z1,w1状态轨迹重合，实现了两个超混沌系统的完全同步。

图4 状态反馈控制下系统状态变量

为了进一步验证所提同步方案的优越性，分别仿真量化分析了文献[32]方案与所提方案在理想信道下与高斯信道下的同步性能对比。设驱动系统与响应系统的均方跟误差定义为：

(11)

图5 系统均方误差

仿真结果如图5所示，其中图5(a)和图5(b)分别为理想信道和高斯信道下的系统均方误差，实线为所提方案均方误差，虚线为对比方案均方误差。从图5(a)中可以看到，在理想信道下，采用文献[32]同步方案与所提同步方案，在经过短暂的瞬态过程后均可以实现响应系统与驱动系统完全同步。然而，驱动系统与响应系统达到完全同步所需的时间不同，所提方案的同步实现时间明显小于文献[32]方案。为了验证同步方案的抗噪声能力，在同步过程中加入了信噪比为10 dB的高斯白噪声，系统均方误差如图5(b)所示，可以明显看到对比方案的同步均方误差大于所提方案。在混沌保密通信方案中，发射端和接收端混沌系统的同步程度直接决定了解密性能，更小的均方根误差意味着更好的同步性能和更优的解密结果。图5的仿真结果表明，所提方案相较于对比方案，不仅具有更短的瞬态同步过程，而且具有更好的噪声鲁棒性，显示出设计的同步方案在噪声环境下实现保密通信的应用潜力。

3 超混沌Lü系统同步控制电路设计

3.1 超混沌Lü系统电路设计

超混沌电路的实现方式通常由模拟电路完成，这里采用运算放大器ADA4700-1，模拟乘法器AD633设计该系统电路。设计的超混沌Lü系统如图6所示，其中电子元器件参数如表1所示。

图6 超混沌Lü系统电路图

表1 混沌系统电路参数

通过PSIM的示波器观察到的超混沌吸引子如图7所示，其中图7(a),图7(b)和图7(c)分别为x-y,x-z,y-z截面的混沌吸引子相图。对比图7的PSIM实验结果和图1的仿真结果，可以看到电路实验结果与仿真基本相符，验证了电路实现的准确性。

图7 超混沌Lü系统吸引子实验结果

3.2 状态反馈控制电路及实验仿真结果

依据式(5)～(8)提出的状态反馈控制器，设计对应的状态反馈控制电路，使驱动电路与响应电路达到同步。控制电路如图8所示，其中图8(a)是状态反馈控制器u1，图8(b)是状态反馈控制器u2，图8(c)是状态反馈控制器u3，图8(d)是状态反馈控制器u4。驱动系统电路通过设计的状态反馈控制器连接至响应系统。两个系统的时间序列和同步误差的实验结果如图9所示，其中图9(a)～(d)分别是在状态反馈控制下的驱动电路时间序列(x,y,z,w)和响应电路时间序列(x1,y1,z1,w1)以及它们的误差(e1,e2,e3,e4)。由图9中实验结果可得，在经过瞬态过程后，驱动电路的4个系统状态和响应电路的对应状态达到完全同步。从图中可以看到电路设计实现的结果与数值仿真结果相吻合，设计的状态反馈控制器能较好地实现设计的超混沌系统同步，从而说明超混沌Lü系统及其同步方案的有效性和可行性。所提的超混沌系统和对应的同步方案可以使用简单的模拟电路实现，便于实际保密通信系统的搭建。

图8 同步控制系统原理图

图9 状态反馈控制下的时间序列

4 超混沌Lü系统保密通信方案及实验结果分析

为了验证提出的超混沌Lü系统和状态同步方案可以应用于混沌保密通信领域，本节提出一种简单的保密通信方案用以加密待发送的数字明文信息，其基本思路是在发射端利用混沌信号类随机性与二进制明文信息异或以掩盖明文信息并生成加密信号，达到对待传输信息的加密要求。经过加密的传输信号在公共信道传输到达接收端后，在接收端利用混沌同步方法，产生与发射端混沌信号相同的同步信号，进行发射端加密的逆操作，进而恢复传输信息。实验硬件平台采用Artix7XC7A35TA7Xilinx FPGA,OV5640摄像头、RGB LCD液晶屏,保密通信系统硬件结构如图10所示。

图10 混沌保密通信实验系统结构图

摄像头将拍摄到的图像转化成明文信号发送至加密机FPGA中，发射端加密机将明文信息与超混沌系统产生的混沌信号经过异或加密处理，发送至公共信道中。接收端将从公共信道中接收到的信号送入接收端中，接收端解密机按照加密逆规则解密信息，发射端和接收端的混沌振子由式(2)和式(5)的超混沌系统构成，并通过设计的线性反馈控制同步方法实现超混沌系统同步。实验结果如图11所示，图11(a)是摄像头拍摄的明文图像，图11(b)是公共信道中传输的经过加密机加密的密文图像。为了测试所提加密方案的噪声鲁棒性，采用不同的接收信噪比接收信号，图11(c)～(e)是接收端不同信噪比下经过解密机解密的恢复图像，其中图11(c)是无噪声时的解密图像，图11(d)是信噪比为15 dB时的恢复图像，图11(e)是信噪比为5 dB时的恢复图像，图11(f)是信噪比为5 dB时采用文献[32]同步方案的恢复图像。对比图11(c)～(e)可以看到，由于公共信道中噪声的影响，混沌同步性能恶化，导致解密发生错误。随着接收端信噪比的降低，恢复图像的椒盐噪声快速增加。图11(e)和图11(f)分别为所提方案和文献[32]同步方案在相同信噪比下的恢复图像，可以看到采用本文方案的恢复图像虽然具有明显的椒盐噪声，但是恢复图像仍然能通过人眼准确地识别。采用对比文献中同步方案的恢复图像，在未知明文图像的前提下，基本无法准确识别。上述实验证实了本文方案相比对比方案具有更好地抗噪声性能。基于状态反馈控制器可以有效地实现保密通信，不但可以很好恢复出加密信号，而且具有较高地同步速度，展现出了所提超混沌吸引子及其同步控制方案在保密通信中的应用潜力。

图11 混沌保密通信实验结果

5 结束语

本文采用线性反馈控制设计了一种新的超混沌Lü系统，通过分析所设计系统的李亚普诺夫指数、功率谱和耗散性等指标显示了所提超混沌系统具有更复杂的动力学行为，增大了第三方破译信号难度，为保密通信过程增加了安全性，不易被恶意破解，更适合作为混沌保密通信系统的混沌信号产生器。然后基于李亚普诺夫函数稳定性理论，推导出了混沌同步的充分必要条件，进而设计了该混沌系统对应的状态反馈控制器。通过与文献方案的同步性能对比分析，显示出所提的同步方案具有更快的同步速度和更强的噪声鲁棒性，有助于解决保密通信中的鲁棒混沌同步问题，以提升非理想信道下混沌保密的准确性。其次，按照所提方案设计了相应的硬件电路，证明了所提方案的有效性，便于实际混沌保密通信系统的实现。最后，利用所提超混沌吸引子实现了一种简单的保密通信策略，基于FPGA的实验结果表明原始信息经过加密、解密算法后能够快速恢复原始信息，结构简单，容易实现，展现了所提的超混沌吸引子及同步方案在超混沌保密通信中潜在的应用前景。下一步工作将研究基于该系统的混沌保密通信性能。