基于进阶式力学思维培养的理论力学教学研究1)

张 娟

(西北工业大学力学与土木建筑学院，西安 710129)

理论力学是研究物体机械运动一般规律的一门科学，属于以伽利略和牛顿定律为基础的古典力学范畴，它能成功地把来自经验的物理理论，系统地表达成数学抽象的简明形式，是人类技术史上伟大的里程碑。

理论力学是一门重要的技术基础课，是联系基础课和专业课之间的桥梁。随着信息时代的来临，随着新工科建设的逐步深入，理论力学这门古典力学课程的培养目标也随着时代的进步而不断发展[1]。

新工科建设要求“着力提升学生解决复杂工程问题的能力，加大课程整合力度，推广实施案例教学、项目式教学等研究性教学方法，注重综合性项目训练。”因此各门工科课程改革的最终目标是要培养学生分析解决复杂工程问题的能力[2]。理论力学作为一门工科技术基础课，其核心目标是培养学生力学思维，从而使学生具备能够应用力学思维分析解决复杂工程问题的能力。

力学思维是从具体生动的工程实际到抽象的数学思维，再用抽象的数学思维来指导工程实际的思维过程[3-4]。而力学思维对学生核心能力培养的具体要求是什么，长期以来似乎并没有确切的定义，因此对学生力学思维的培养就没有明确的目标。理论力学是学生大学期间学习的第一门力学课程，对学生力学思维的建立有决定性影响，因此探讨力学思维的核心能力要求，对于确定新工科建设下理论力学课程的核心培养目标有深刻意义。

本文首先给出了进阶式力学思维的分类及其核心能力要求，然后探讨基于进阶式力学思维培养的理论力学教学改革与实践。

1 力学思维的分类

各门力学课程中对力学思维核心能力的要求可能不尽相同，这里仅以理论力学课程中力学思维的培养加以探讨，将力学思维分为三个层次，如图1所示。

（1）基础力学思维：包括力学图示图解能力及应用力学原理分析求解能力。要求学生会对理论力学的抽象化模型取研究对象，画受力图、速度图和加速度图，应用这些图对系统进行受力分析及运动分析，另外要求学生能够应用力学原理来分析并求解工程问题。

（2）中阶力学思维：包括应用计算机求解能力，理论联系实际能力，多学科融合求解能力。21世纪以来，人类快速进入信息时代，现代航空航天、高端制造、生物医药等重大工程中的力学计算对这些工程起着核心支撑作用，而最新工程技术的发展几乎都是多学科交叉融合的结果，因此理论力学必须与计算机及其他多学科交叉融合而使学生形成分析解决复杂工程实际的能力。

（3）高阶力学思维：包括抽象化建模能力及应用综合、归纳、逻辑推理、数学演绎等方法形成认知规律的能力等。理论力学采用抽象化建模的方法研究问题，理论力学研究的模型大都是抽象化之后的简单力学模型，如质点、物块、杆、圆盘、弹簧等，而这些模型如何从工程实际中来，怎么被抽象化为这些简单的模型，其实需要对工程问题经过深入分析，理解其问题本质之后，才能由繁到简，抓住力学核心进行抽象化建模，因此建模能力是高阶力学思维。而在认识力学问题的本质之后，通过综合、归纳、逻辑推理、数学演绎等方法建立认识事物或问题的一般规律，建立定理、原理、推论等则是更高阶的力学思维。

长期以来理论力学课程重在培养学生基础力学思维，而中阶力学思维和高阶力学思维涉及甚少。

2 基础力学思维的培养

2.1 力学图示图解能力

理论力学非常重视图示图解能力，静力学解题要求先取分离体画受力图（图2），运动学中要求画速度图和加速度图，动力学中既要画受力图又要画速度和加速度分析图。图示图解能力培养的核心在于两个方面，一个是取分离体，另一个是约束。

图2 静力学受力图及平衡方程

画图时，先选取分离体，也就是研究对象。分离体可以是一个点，一个刚体，或者一个刚体系。取分离体能够帮助学生了解该分离体与其他物体之间的联系，了解内力和外力，更清楚地认识问题本质。

另一个核心概念是约束。需要了解约束的性质，一方面约束限制了被约束的物体在某些方向的位移，因此在画受力图时，要画出约束力；另一方面约束又允许被约束的物体沿着某些方向的位移，这用以判断运动中，各物体的相对运动方向。

取分离体画受力图和速度图无需多讲，一般理论力学都会强调。但是在运动学之后，要让学生将各种约束下的运动和静力学中的约束力对应起来，培养学生的类比、联想等发散思维模式，另外学生学习虚位移原理时也会更清楚虚位移的概念。如静力学中的光滑表面约束，约束力FN一方面限制了被约束的物块沿光滑表面法向的位移如图3(a)，但是另一方面，又允许物块在光滑表面切向的位移，在运动学中讲到滑块（图3(b)中点E）、套筒（图3(b)中点B）这类约束时，可以回应静力学中光滑表面约束，让学生更清晰地了解约束的性质以及系统中各物体之间的相对运动。又如光滑圆柱铰链，限制了被约束的物体相对移动（图3(c)中各铰链），因此在运动学中，被光滑圆柱铰链约束的各个物体之间只能相对转动（图3(b)中各铰链）。

图3 静力学约束力和运动学约束所许可的运动举例

取分离体画受力图和速度、加速度图是求解理论力学问题的第一步，也是力学思维培养的核心能力之一。

2.2 应用力学原理分析求解能力

静力学应用平衡方程对研究对象进行求解，运动学应用速度、加速度合成定理，动力学应用动力学普遍定理及达朗贝尔原理、拉格朗日方程等其他定理来对研究对象进行分析求解。

理论力学非常强调解题步骤和格式，应用力学原理解题时要严格遵守解题格式，这是基础力学思维和工程素养的基本培训。例如在运动学中用基点法求解加速度，首先必须明确基点是哪个点，然后画研究对象的点的加速度图，再应用加速度合成定理列方程，然后分析方程中的已知量和未知量，只有方程中的未知量的数目小于等于2才能求解。并且有严格的投影法则，在应用加速度合成求解未知量时，一次只能求解一个未知量，一般我们不需要求解哪个加速度，就将加速度合成定理向垂直于不需要求解的那个加速度的方向投影，而不能向2个互相垂直的方向投影，联立方程组求解。加速度图示及加速度合成定理的应用如图4所示。

图4 加速度图示及加速度合成定理的应用

理论力学这种近乎严酷的解题格式要求是对学生基础力学思维的培养，也是一种基本工程思维的训练。力学思维注重训练逻辑性，求解工程问题更强调严密的逻辑思维能力，而这种解题格式的要求，就是要学生掌握对工程问题分析的逻辑思维，每一步都必须有根据，有严密的图解和理论及计算的支撑，才能保证结论的正确。

基础力学思维通常是理论力学教学的主要知识目标，理论力学教学一般都会强调。

3 中阶力学思维的培养

3.1 计算机编程求解能力的培养

理论力学课程中对问题的求解多集中在某瞬时，如运动学中大多数情况需要求解某个点某瞬时速度或加速度，但是工程实际情况是需要求解某些点的连续速度，因此可以培养学生使用计算机语言编程求解，从而训练学生的计算机编程求解能力。如求解曲柄滑块机构时（图5），通常求解的是滑块B在某一瞬时的速度，但是应用计算机编程可以求解连杆AB上任意点在任意时刻的速度，并且可以画出连杆上任意点P的运动轨迹。学生通过自己学习，编程画出漂亮的速度和轨迹曲线（图6），对学生学习本身带来的成就感也倍增，更加激励学生学习兴趣。在理论力学中还有很多问题可以鼓励学生应用计算机编程求解[5]，让学生了解计算机在力学中的应用，使学生养成编程计算的习惯，从而培养学生求解工程复杂问题所需的计算机求解能力。

图5 曲柄滑块机构

图6 学生编程计算曲柄滑块机构连杆AB上任意点P的速度和轨迹

3.2 理论联系实际及学科融合求解能力的培养

现代工程问题的求解大都是多学科融合问题，因此培养学生应用力学知识及多学科融合求解能力是力学思维培养的重要部分。在理论力学课程中，结合课程的高阶性、创新性、挑战度要求，设计理论联系实际的多学科融合案例库，学生综合应用力学、数学、物理、机械、航空航天、计算机等知识分析求解及设计，是培养理论联系实际能力及多学科融合求解能力的重要途径。

例如在学习刚体的平面运动的速度分析时，要求学生应用四连杆机构设计舰载机机翼折叠机构，并进行折叠过程中机翼的速度分析。在设计过程中，需要大量查阅资料，首先要求学生了解平面运动刚体上各个点的速度分析方法，其次学生应该了解某些机械特性，如死点、运动干涉等，还需要学生了解优化设计的概念，并能够应用计算机进行求解，因此在完成这样的设计性大作业的过程中，训练了理论联系实际能力、多学科融合求解能力。

学生充分应用平面运动知识以及一些机械知识，应用计算机编程求解，最终设计出不同的机翼折叠机构。部分学生设计结果如图7所示。尽管学生的设计不尽完美，但是在设计过程中却使学生综合应用多学科能力得到了充分提升，培养了学生探索未知的勇气和能力。

图7 学生设计的四种舰载机机翼折叠机构

结合理论力学各部分内容设计理论联系实际的融合多学科案例库对培养学生中阶力学思维是很好的帮助。部分案例库如图8所示。

图8 理论力学融合式案例库

4 高阶力学思维的培养

4.1 抽象化建模能力

理论力学采用抽象化建模方法研究工程问题，对工程问题的抽象化建模是进行力学分析的前提。抽象化建模需要对工程问题有深刻的理解，了解其核心力学问题，抓住问题本质，然后去掉次要的，将具体的事物上升为抽象的模型。这种抽象化建模过程是认识的飞跃。

在理论力学课程中，适当让学生了解建模过程，对于培养学生工程思维和分析解决复杂工程问题都有很好的帮助。而理论力学在大二第一学期开设，鉴于学生认知能力的限制，开发动画视频库非常有利于帮助学生理解建模过程。例如运动学中常用的曲柄摇杆机构是怎么来的，可以通过视频和动画一步一步演示建模过程，从而帮助学生建立抽象化建模能力（图9）。西北工业大学的动画视频库在全国应用面非常广，是提升学生建模能力的有力工具[6]

图9 视频和动画演示曲柄摇杆机构建模过程

4.2 应用综合、归纳、逻辑推理、数学演绎等方法形成认知规律的能力

应用抽象化方法，人们通过几个世纪积累起来的经验、直接观察以及生产活动中得到的结论，经过综合，形成普遍原理、定律或公理，作为整个古典力学的基础。从这些公理出发，经过严密的数学演绎和推导以及计算就能得到古典力学的全部定理、推论和结论。有了这些公理、定理、推论和结论就能更好地指导工程实践[3]。

理论力学的研究就是这样由具体到抽象，再由抽象到具体实践的过程。随着现代工程问题的复杂性的增强，力学融合多学科发展迅速，对学生的培养目标也应从基础力学思维向中高阶力学思维逐渐转变，学生能够应用现代计算机技术，多学科融合的思想，发现、总结工程问题，经过提炼和升华，得到普适的规律的过程就是高阶力学思维的培养。当然低年级学生受知识的局限，这种高阶力学思维的培养有难度，但是我们可以通过各种公理、定理之间的逻辑关系培养学生建立高阶力学思维意识，鼓励学生应用综合、归纳、逻辑推理、数学演绎等方法形成认知规律的意识，这种高阶思维能力是可以培养的。

例如，学习平面图形上点的速度合成定理时，如图10，让学生理解由基点法可以推导出投影法和速度瞬心法，而基点法可以从点的复合运动速度合成定理推导出来，同时，点的复合运动的速度合成定理又可以由平面运动速度合成的基点法推导出来。另外，任意一点速度的求解又可以通过坐标求导等方法求解。学生深刻领悟各种方法之间的逻辑关系，逐渐培养高阶力学思维习惯。

图10 点的速度合成定理的各种方法之间的逻辑关系

5 进阶式力学思维的培养成效

5.1 教学模式改革

基于进阶式力学思维培养的理念，实施理论力学教学改革，如图11。对于基础力学思维的培养采用“四堂融合”的线上线下相结合的模式[7]，基础理论学生线上学习，线下课堂老师着重讲解和示范标准的图示图解方法及各种力学原理的应用，学生结合工程实例进行研讨和进阶练习，小组学习共享，并互相挑战，不断强化基础力学思维。

图11 基于进阶式力学思维培养的教学模式

应用理论力学案例库培养中阶力学思维，学生课中围绕选题，小组研讨，课后小组合作完成课程报告，并进行课堂答辩和互评。这种案例培养模式应用高阶挑战性创新设计鼓励学生的探究欲，课堂给学生展示的机会，充分满足学生学习成就感，而这种成就感是促使学生深入学习的内生动力[8]。

应用动画库、视频库以及工程实例培养学生抽象化建模能力，在整个教学过程中贯穿高阶力学思维能力的培养。

这种教学模式以进阶式提高力学思维为核心，采用不同教学方法，充分满足学生个性化学习需求，让基础不同的学生都能在整个学习过程中不断提高力学思维，最终在期末达到近似相同的学习成果，预期培养目标如图12。

图12 基于进阶式力学思维培养的教学预期效果

5.2 学生学习成绩纵向和横向比较

经过四年教学改革，这种基于进阶式力学思维培养的教学改革研究与实践取得了明显成效，对比连续四年理论力学I（1）学生期末考试成绩（不含平时成绩），发现学生期末成绩平均分和优秀率逐年提升，不及格率逐年下降。成绩分析见图13。另外经过与同期的两届非教学改革班期末考试成绩对比（图14）发现，教学改革班成绩的优秀率、平均成绩均高于非教学改革班，不及格率低于非教学改革班。

图13 连续四年教学改革学生期末考试成绩对比

图14 教改班和非教改班学生期末考试成绩分布对比

对比2020年和2017年的期末考试成绩分布，发现2017年各分数段成绩分布比较均匀，到2020年时教学改革班成绩就呈偏态分布，大部分学生成绩偏向优秀区间；对比2020年同期非教学改革班，非教学改革班的成绩依然是近似正态分布，大部分学生成绩分布在中间成绩段（图15），因此证明了图12的教学预期，这种基于进阶式力学思维培养的教学改革模式，针对不同阶段力学思维，采取不同教学模式，满足学生个性化学习需求，进阶式构建力学思维，使学生对力学知识能够融会贯通，即使开始学习时基础、能力不同，但是最终不同学生都能有相似的优良学习产出。

图15 学生期末考试成绩分布对比

5.3 力学竞赛成绩

周培源大学生力学竞赛是国内最高等级的力学竞赛，需要学生综合应用力学图示图解能力，应用力学原理分析求解能力，理论联系实际能力，甚至学科融合能力，并且要求有建模能力和力学知识的融汇贯通能力，是对学生力学思维的最好检验。

国际大学生工程力学（理论力学）竞赛及亚洲赛是国际上最具挑战性的力学竞赛。

笔者连续十年作为力学竞赛辅导教师，近年来在力学竞赛辅导中采用相同教学模式[9]。随着这种教学改革模式的深入进行，西北工业大学近年来在力学竞赛中也取得了优良成绩。2019年和2021年在全国周培源大学生力学竞赛中均有一等奖和二等奖（共6名，此前近10年时间，西北地区没有一等奖，二等奖也为个位数）。在国际大学生工程力学竞赛和亚洲赛中也取得了较好成绩，获国际赛一等奖3项，二等奖12项，亚洲赛区特等奖9项、一等奖14项。连续四届获得参加国际赛资格（亚洲区每届仅6～9个名额），尤其是2019年国际大学生工程力学竞赛中获得了团队赛并列第一名的好成绩。

力学竞赛成绩充分显示出这种以力学思维培养为核心的教学改革模式取得了突出成效，学生的力学思维得到了充分提高。

6 结论

随着新工科建设的深入推进，各门工科课程对学生思维能力培养的要求越来越高，理论力学对学生的培养重在力学思维的培养，而厘清力学思维的核心能力是什么尤为重要。本文提出了进阶式力学思维的概念，指出了基础力学思维、中阶力学思维和高阶力学思维的核心能力是什么，并给出了具体培养方式和教学模式。

（1）对于基础力学思维采用线上线下相结合的方法培养力学图示图解能力和应用力学原理分析求解能力。

（2）对于中阶力学思维的培养，采用基于理论力学融合式案例库的融合式教学方法，培养学生计算机编程求解能力，理论联系实际能力以及多学科融合求解能力。

（3）对于高阶力学思维的培养，采用动画视频库、案例库培养学生抽象化建模能力，而在整个教学过程中贯穿对学生逻辑推理、归纳演绎等高阶思维能力的培养。

经过这种基于进阶式力学思维培养为核心的教学模式改革，西北工业大学理论力学教学取得了突出成效，逐渐使得开学时基础不同的学生在学期末达到了相似的优良教学产出，力学竞赛成绩也取得了较大突破，充分证明了这种以进阶式力学思维培养为核心的教学模式能够取得良好教学成效，对于探索新工科建设中的理论力学教学改革有良好的借鉴意义。