与调和级数有关的几个数理问题赏析*

韦燕平

(江苏省无锡市第一中学 214000)

谢广喜

(江南大学理学院 214122)

一般地，我们将表达式

a

+

a

+

a

+…+

a

+…称为无穷级数(简称级数)，当无穷级数的极限存在时，称级数收敛(无穷等比数列各项和就是一个特殊的收敛级数)，否则称级数发散．有关级数问题的深入研究主要在数学分析或复变函数论相关内容中有探讨，前者主要探讨实数背景下的数列敛散性问题，而后者主要探讨复数背景下的数列敛散性问题．

本文重点围绕特殊的发散级数——调和级数展开.所谓调和级数，简单地说就是数列的无限项和．调和级数是发散的(例1)，利用这一性质可以解决两道全国高中数学竞赛试题(例2和例3)，接着我们讨论在特定前提下调和级数的“反常收敛”(例4)，最后介绍调和级数在物理问题解决中的应用(例5)，并联系悉尼歌剧院的造型设计，指出调和级数理论对现实生活中的具体生产实践也有指导意义．

例1

已知试证当

n

→∞时，无界．解析 很显然，数列{

S

}是递增的，接着先取

n

=2(

m

∈

N

)的特例，有于是当

n

→+∞时，必有

m

=log

n

→+∞，此时无界，同时

m

+1=1+log

n

→+∞，此时也无界，我们将全体自然数集划分为

N

=

A

∪

A

∪

A

∪…∪

A

∪…，其中

A

={2,2+1,2+2,…,2+1-1}(

m

∈

N

)，而任意一个非零自然数必然属于其中之一，于是当自然数

n

→ +∞时，无界．

评注

n

→+∞时，有时也记为(注意：此时

S

无下角标，表示无限项的和)．

例2

(2004年全国高中数学联赛二试第2题改编)已知数列{

b

}的通项证明：存在

n

∈

N

，使得对

n

>

n

，都有解析 我们注意到待证不等式左边有

n

项，这样可以尝试考虑证明该式的等价变形于是构造数列也就自然而然了，由于于是分子分母同时乘上自己的有理化因子，得而于是联想到调和级数发散(证明见例1)，易知必存在

n

∈

N

，使得对从而待证等价不等式也成立．(注：本题中的2 004可以改为任意有限大的正数，结论不变)

评注

注意到所以只要取

n

=2(符合要求的自然数

n

有无穷多个，由于是存在性命题，此时不必追求符合要求的最小的

n

)，即有对于是要证的命题也成立．

例3

(2012年全国高中数学联赛二试)设是正整数．证明：对满足0≤

a

<

b

≤1的任意实数

a

,

b

，数列{

S

-[

S

]}中有无穷多项属于(

a

,

b

)．这里[

x

]表示不超过实数

x

的最大整数．解析 利用前面例1的结果(详细证明此处略)，可证对于任意正整数

n

，有故当

n

充分大时，

S

可以大于任意一个指定的正数．已知0≤

a

<

b

≤1，令由高斯函数[

x

]的定义有

x

-1<[

x

]≤

x

，于是令得当

k

>

N

时有我们将证明，对于任意大于

S

的正整数

m

，必存在

n

>

N

，使得

S

-

m

∈(

a

,

b

)，也即

m

+

a

<

S

<

m

+

b

，否则利用正项数列{

S

}的递增性，必存在

S

-1≤

m

+

a

，而

S

≥

m

+

b

，于是

S

-

S

-1≥

b

-

a

，与(*)式矛盾！故一定存在

n

>

N

，使得

m

+

a

<

S

<

m

+

b

(** )．为了与待证目标建立联系，我们令

m

=[

S

]+

i

(

i

=1,2,3,…)，利用(** )式，则

m

>

S

，再利用(*)式，知存在

n

，当

n

>

N

时，有

m

+

a

<

S

<

m

+

b

，而0≤

a

<

b

≤1，此时显然有[

S

]=

m

，因此

a

<

S

-

m

=

S

-[

S

]<

b

，符合这样要求的自然数

i

有无穷多个，于是数列{

S

-[

S

]}中有无穷多个属于区间(

a

,

b

)．

尽管调和级数本身是无法求和化简的，但我们还是可以找到适当的函数，动态描述其“下界”特性：

联想1

(2005年湖北高考数学卷压轴题)已知不等式其中

n

为大于2的整数，[log

n

]表示不超过log

n

的最大整数，设数列{

a

}的各项为正，且满足求证：略．

简证 (1)为了与条件不等式联系上，我们需要对另一个条件不等式进行取倒数处理，也即进一步将其叠加求和，化简并利用条件不等式于是

联想2

(2010年湖北高考数学卷第21题)已知函数的图象在点(1,

f

(1))处的切线方程为

y

=

x

-1．(1)用

a

表示

b

,

c

；(2)若

f

(

x

)≥ln

x

在[1,+∞)上恒成立，求

a

的取值范围；

(3)证明：

简解 (1)易得到

b

=

a

-1，

c

=-2

a

+1．(2)详细解题过程略，

a

的取值范围是(3)由(2)知当时，有

f

(

x

)≥ln

x

．令有且当

x

>1时令∈

Z

),从而有即将上述的

n

个不等式依次相加，得整理即得

评注

事实上，这两道题给出了的两个动态“下界”函数：一个是另一个是哪一个更接近于(*)呢？事实上，在

n

≥4时有ln(

n

+1)+可见是(*)式的更准确的近似，另外，我们还有其中

γ

是基本的数学常数之一，其前五位的近似值为0.577 21，不过到目前为止，我们尚不知该常数是否为无理数．

例4

如果调和级数中所有含某个数字的项不存在(具体地说，比如所有含数字5的项不存在，即去掉证明：此时调和级数剩下的无限项的和收敛．解析 为理解方便，我们下面具体针对不含数字9的情形予以证明(读者可以发现，我们的证明实际上与该数字具体是几是无关的).记

r

=调和级数中不含数字9的1位(十进制)数的倒数之和(其中共有8项)，

r

=调和级数中不含数字9的2位(十进制)数的倒数之和(其中共有8×9项)，

r

=调和级数中不含数字9的3位(十进制)数的倒数之和(其中共有8×9项)，…，

r

=调和级数中不含数字9的

n

位(十进制)数的倒数之和(其中共有8×9-1项；一般地，我们利用乘法原理可得到这个结果，首位由于不能为0，又不能为9，故有8种选法，其他各位有9种选法，故满足要求的

n

位(十进制)数共有8×9-1个)．很显然，有于是使

n

→+∞，结论亦然，故待证命题成立．

评注

为了记忆简单方便，我们不妨称此为特殊前提下调和级数的反常收敛，当然，如果我们将个位数的部分放缩得精致一些(现在的放缩显然是比较粗糙的)，则可得到更小一点的上界．

联想3

(2016年全国高中数学联赛浙江省预赛卷第19题)设集合

A

={

x

∈

N

|

x

的十进制数码中不含2,0,1,6}，证明：简解 与上题完全类似地，在

k

(

k

∈

N

)位十进制正整数中，各位上的数码不含2,0,1,6者共有(10-4)=6个，其中首位分别为3,4,5,7,8,9的各有6个，于是

进而有=

图1

例5

如图1所示，将若干块完全相同的均匀长方体砖块叠放起来，第一块砖相对于第二块砖最右端能伸出去的最大长度为

x

；此时将1,2块砖看成一个整体，第二块砖相对于第三块砖最右端能伸出去的最大长度为

x

；此时再将1,2,3块砖看成一个整体，记第三块砖相对于第四块砖最右端能伸出去的最大长度为

x

……第

n

块砖相对于第(

n

+1)块砖最右端能伸出去的最大长度为

x

，试求

S

=

x

+

x

+…+

x

(设每块砖的长度为

l

)．解析 如图1，设每块砖的质量为

m

，先求

x

，由于每一块质量均匀的砖的重心在其全长的中点(准确地说，体对角线的交点处，本题只需将其抽象看成一维坐标即可)，故再求

x

，由题意结合力矩平衡有解得下面求

x

，将1,2两块砖捆绑，于是解得类似地，求

x

时，将上面的(

n

-1)块砖看成一个整体，得于是

图2

评注

联系调和级数的发散性，当

n

→+∞时，可知(一个无穷级数乘以一个非零常数不影响收敛性)，即从理论上讲，这个砖块群相对于最低点，可以垒到任意的长度(当然，成比例地，垂直方向也能达到任意的高度)．事实上如何呢？由于这个体系是一个不稳平衡系统(稍微的偏离就将使平衡被破坏)，即使我们可以造出无数块完全一样的质量均匀的砖块，我们也只能将其垒到某个有限的高度，因为到一定高度时，地球的自转、高空的气流等不稳定因素将破坏系统的平衡．即使如此，这一想法对我们的生活实际也是有一定的参考价值的.世界著名的澳大利亚悉尼歌剧院(时年37岁的丹麦设计师约恩伍松设计，澳大利亚的地标建筑，被称为20世纪最具特色的建筑之一， 图2)，形为几片贝壳状，关键是它的上部是矗立在底部之外的，如果就一般的思维来看，这是违背建筑力学基本原则的，然而根据上面我们讨论的问题，这样的方式是有存在的可能的，只要保证整个系统重心不在底部之外就可以，这就从建筑力学的角度保障了这个设计的可行性．