五轴机床的运动学坐标变换关系研究

张永涛，马文浩，魏跃斌

(陕西飞机工业有限责任公司，陕西 汉中 723215)

基于装备制造业及数控加工技术的迅速发展，五轴联动数控加工技术得到了广泛的应用。五轴数控机床在加工曲面、回转体类等复杂零件加工方面具有显著的优势，而且秉承着“一次装夹、多工序的加工”理念[1]，不仅能够提高生产效率，而且提高了产品的加工质量。

五轴机床运动学模型较为复杂，可简单理解为多体拓扑结构形式[2]，机床加工时的刀具末端理解为一个点位，即五轴机床实际加工过程控制的则是点位的坐标运动轨迹[3]。所以实现运动学坐标变换关系的分析研究，需要建立运动学模型[4]，并通过齐次坐标变换矩阵，进而实现运动学模型的计算与求解。

通过建立的五轴机床运动学坐标的变换，不仅更容易理解五轴机床的运动方式，也为后续数控编程过程中的后置处理奠定了基础。

1 五轴机床的主要类型

五轴机床主要采用X、Y、Z、A、B、C中任意5个坐标的线性插补运动，五轴加工所采用的机床通常称为五轴机床或五轴加工中心，从广义的角度来说，五轴机床分2种：一种是五轴联动，即5个轴都可以同时联动；另外一种是五轴定位加工，实际上是五轴三联动，即2个旋转轴旋转定位，只有3个轴可以同时联动加工，这种俗称3+2模式的五轴机床[5]，也可以理解为假五轴。

本文主要阐述说明的是第1种五轴联动，即5个轴可以同时联动，按照矢量轴的分布规律，坐标系类型如图1所示。

图1a中，转头和转台型数控机床坐标包括X、Y、Z等3个移动坐标轴和A、B等2个转动轴，A轴以X轴为矢量轴，在ZOX平面内做旋转运动，B轴作为工件装夹的直接载体，以X轴为矢量轴，在XOY平面内做旋转运动。双转台式数控机床实际加工的特点是在加工过程中，主轴只做切削运动，工作台只是旋转而不是出现摆动，主轴在同一平面内进行摆动，整个加工过程较平稳，适宜加工难切削的材料。

图1b中，双转台型数控机床的坐标轴包括X、Y、Z等3个移动坐标轴和A、B等2个转动坐标轴，运动方式同转头和转台型机床一致，A轴以X轴为矢量轴在ZOX平面内做旋转运动，B轴作为工件装夹的直接载体，以Y轴为矢量铀。在XOY平而内做旋转运动。工作时，工件放置在工作台，不参与旋转运动。矢量旋转运动主要集中在主轴上。因此适用于大型工作的加工。该类型机床主要用于大型五轴机床。

图1c中，双转头型数控机床的坐标包括X、Y、Z等3个移动坐标轴和B、C等2个转动坐标轴，B轴以Y轴为矢量轴，在XOY半面内做旋转运动，C轴作为工作台，以Z轴为矢量轴。在ZOX平面内做旋转运动，此类五轴机床加工适用面广，切削稳定，因此大部分机床如德玛吉五轴加工中心、车铣复合加工中心等多采用此类机床构造。图2所示分别为车铣复合加工中心机床及其坐标系图例，本文以车铣复合加工中心坐标系为例，通过齐次变换矩阵，对五轴带转头和转台机床的坐标变换关系展开分析研究，为典型五轴机床的坐标变换奠定一定的理论基础，并为机床后置处理系统开发提供一定的理论支撑。

2 五轴带转头和转台机床运动学分析

2.1 坐标变换

刀具相对于零件做回转运动，通过旋转轴上一点，或者旋转轴线矢量(即坐标系Z轴)做旋转运动，这样就可以确定刀具相对于加工零件的位置，在加工异形回转体零件时，至少应确定5个独立的自由度[6]。按照《数控机床坐标和运动方向的命名》标准规定[7]，独立的平移轴最多为3个，因此五轴带转头和转台机床运动形式为3个平移轴和2个转动轴。

2.2 相对于矢量运动的坐标变换

在三维坐标空间中，对坐标变换做进一步研究，能够直观、定性地分析出车铣五轴联动加工的基本变换原理[8]，并且在数控加工过程中，使用手工编程、自动编程时，明确加工时的刀具以及零件的运动规律，在开发数控机床后置处理时，也有广泛的应用[9]。

研究坐标变换主要为机床试验加工零件来服务，当机床进行加工时，刀轴平移的方向为X向、Y向以及Z向，刀轴的旋转矢量方向为Y向和Z向(见图3)。因此，基本的坐标变换主要思路为对刀具点位、刀具旋转运动、刀轴旋转运动进行坐标平移和变换。

图3中，假设机床在运动前的点位坐标为(X1、Y1、Z1)，在经过一系列刀尖点位的平移，设定移动后的坐标为(X2、Y2、Z2)。通过移动前后的点位坐标的变换关系，运用数学方程计算如下：

X2=a1X1+b1Y1+c1Z1+ω1

Y2=a2X1+b2Y1+c2Z1+ω2

Z2=a3X1+b3Y1+c3Z1+ω3

(1)

式中，a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3为待定系数；ω1、ω2、ω3为平移的变换系数。

在研究齐次坐标变换时，为了表示三维空间中坐标的具体定义，一般在坐标的后面加“0”，表示n维向量，加“1”则表示具体的n维坐标。图3所示原始的坐标值可直接表示为：

(2)

此时，图中坐标变换的表达式可记为：

(3)

3 坐标变换关系计算

在上述分析过程中，已对五轴带转头和转台机床的坐标变换及相对于矢量运动做了进一步的说明，并使用变换矩阵来表示三维空间中的坐标变换。其中坐标变换主要包括坐标平移和坐标旋转。

3.1 坐标平移

坐标的平移是指在三维空间内，主轴(即刀轴)在平行于X、Y、Z方向的移动[10](见图4)。笔者在做进一步分析研究时，可将其拆解为沿X、Y、Z方向的基本平移变换。

假设刀具的起始点坐标原点为O1点，其点位坐标(X1、Y1、Z1)经过一系列位移平移，终点坐标原点为O2点，坐标值为(X2、Y2、Z2)，根据式1，O1点与O2点坐标关系式表达如下：

(4)

式中，a1、b1、c1为待定系数；ω1、ω2、ω3为平移的变换系数。

将待定系数及变换系数带入式3中，矩阵表示为：

(5)

同理可得：X方向的平移变换矩阵的表达式为：

(6)

Y方向的平移变换矩阵的表达式为：

(7)

Z方向的平移变换矩阵的表达式为：

(8)

3.2 坐标旋转

车铣复合加工中心可以实现绕轴旋转功能，本文分别用θb和θc表示绕Y轴与C轴的旋转角度。刀具做旋转运动后，如果只讨论旋转角度，不考虑机床平移轴的运动，加工过程中零件就会切伤。因此在讨论坐标旋转时，可以运用旋转矩阵来表示。

在直角坐标系O-XYZ中(见图5)，假设点P的坐标为(x，y，z)，分别投影在YZ平面、XZ平面、XY平面中，坐标分别为A(0，y，z)、B(x，0，z)、C(x，y，0)。

刀轴初始位置平行于Z轴，沿Y轴做回转运动。以Y轴作为回转轴进行运动时，其三维坐标系中，对应的Y轴矢量不变，为简化计算，将三维坐标系简化为XZ平面，推导旋转变换矩阵(见图6)。

设旋转后坐标系为X1Z1平面，坐标系沿Y轴旋转θ，XZ平面中P点旋转后为P1点，对应Z、X轴投影点位分别为B点和C点，旋转后为B1点和C1点，设OP长度为R，∠POB为a，可计算得到：

(9)

(10)

将式10展开得到：

(11)

将式9带入式11中，通过计算可得到：

(12)

通过旋转后的坐标可表示为：

(13)

用矩阵表示为：

(14)

同理，使用上述计算式可推导出坐标系O-XYZ绕Z轴旋转θ得到O-XYZ坐标系的变换矩阵为：

(15)

4 结语

本文基于五轴数控机床加工过程中比较复杂的运动学转换问题，通过对五轴带转头和转台机床的运动学分析、以车铣复合加工中心机床为例，并对典型五轴机床的坐标系搭载规则进行了分析研究，运用数学方式，对坐标系的平移、旋转进行计算，推导了相对于矢量运动的齐次坐标变换矩阵，通过计算得到坐标平移和旋转的变换矩阵，为研究数控机床的运动学提供了一定的理论支撑。