没有什么不能用数学表达

☉郝景芳

数学是一种语言。

数学是宇宙世界使用的语言，唯一的语言。我们什么时候找到一件事的底层数学语言，就算是真正理解了这件事。

数学是世界的原理，万物只是表象。

数学是简单的

先给大家讲一个小故事。

2020年，我们的教研老师做了一版教“微积分”的教研稿。当时，她们是中规中矩按照教科书和网络上查到的资料写的，介绍了定义、历史发展和重要的数学家。

我说：“这太难太枯燥了，6岁的小孩看不懂。”教研老师说：“6 岁的小孩本来就没法懂微积分。”

我说：“微积分就是直尺量曲线，6岁的小孩怎么能不懂？”

后来，我们做了一个小游戏，让小朋友尝试用一把直尺测量曲线，以此理解微积分的概念，小孩子都能玩通关。我女儿说：“微积分也挺容易的嘛！”

不久之后，当我在餐桌上跟其他人笑谈这段往事时，在座的一位女士恍然大悟，她说：“微积分就是直尺量曲线吗？你这么一说，我好像有点明白了。那么，直尺量曲线该怎么量呢？”

我说：“你自己想想啊，你觉得怎么量？”

她想了想说：“一小段一小段地量，再加起来？”

我说：“对啦！恭喜你推导出了微积分！分成小段，叫微分；加起来，叫积分。”

她说：“所以，那一小段得特别小。”

我说：“这叫求极限，微分就是无限小。”

她说：“今天才明白！原来是这样。”

我说：“是啊，所有微积分，都是某种形式的‘直尺量曲线’，只是算的东西千变万化。微积分是一种思想，是把一个大问题拆分到一个极为微小的局部，把局部算出来，再加总为整体。其余的都是计算技巧。”

很多数学概念，其实都是思维方法。微积分是“直尺量曲线”，这是最直观的数学概念。它的实际思想是把大问题拆分为小问题，再加总得到大问题的答案。这个思想能解决很多问题。不仅对物理问题有用，对我们在生活里思考问题也有帮助。

有时候，我们的老师并不重视对数学基础概念的理解，就让学生直接做题。很多学生没有完全理解数学概念，做题就会陷入云里雾里，觉得数学好难啊！

其实，数学概念本身是简单的，很多都是为了把这个世界更清晰地表达出来，并且发现其中的终极规律。如果发现了，带着数学规律去看世界，会发现千变万化的世界也变得简单清晰了。

万事皆通数学

给别人讲过微积分的故事之后，有人问我：“那线性代数怎么理解呢？”

我说：“线性代数就是找男朋友的分数对比。”

这是什么意思呢？其实，线性代数处理的就是多维度向量问题。

以找男朋友为例，维度，是你找男朋友要看的标准。例如，长相、身高、智商、家庭条件等。维度必须要求是“正交”的，也就是相互之间不能有相关性。例如，“家庭条件”和“慷慨程度”就是有相关性的，这就不能算成两个维度。“智商”和“毕业院校”是有相关性的，也不能算两个维度。“长相”“智商”和“家庭条件”基本上是各自独立的因素，就可以算是不同维度。

向量是什么呢？就是你给候选人打的分数，例如，长相=7 分，身高=8 分，智商=5 分，家庭条件=9 分，人品靠谱=3 分，做家务=1 分，对你的感情=5分，那么向量就是：

候选人1=〔7，8，5，9，3，1，5〕

如果有另一个人选：

候选人2=〔4，6，9，2，9，7，8〕

那这样两个候选人该怎么比较呢？能把分数直接加总，算总分吗？我们知道，相互正交的维度数值是不能直接相加的。例如，长方形的长和宽，不能直接相加算大小。但是我们可以定义一个“长度”，就是把每个数值平方相加开根号，这就能算是“向量长度”，也叫“内积”，也就是你的两个男朋友候选人的总分。算一下就知道：

候选人1=15.9分

候选人2=18.2分

现在看到候选人2 分数高，是不是说明你就想选择候选人2 呢？很可能不是。你还是觉得自己被候选人1 深深吸引，即使明知道他不靠谱，对自己也不够好，但就是觉得被他的某种莫名的魅力深深吸引，于是怎么都不肯和候选人2在一起，偏偏要爱候选人1。这又是为什么呢？

原因在于，你在选择的时候，“人品靠谱”和“做家务”这两个维度，你心里觉得是不重要的，甚至智商也不太重要，反正你看到的这个人的慷慨和风度，主要来源于他的家庭，也不是他自己的本事，但这些你都忽略不计了。

其实，你内心真正的向量是四个维度：〔长相，身高，家庭条件，对你的感情〕

这么一算，两个候选人的打分就不一样了：

候选人1=〔7，8，9，5〕

候选人2=〔4，6，2，8〕

谁高谁低，一目了然。你心目中所有衡量维度组成的空间叫“内积空间”，你就是在自己的内积空间里给每个候选人打分，再比较分数。最初7个维度的内积空间叫7维空间，后来经过一番思考，发现你真正在乎的只有四个维度：高、富、帅和爱你，所以你心里的内积空间是4维空间。

当你的内积空间从一开始就没有“靠谱”这个维度的时候，遇见渣男也就不足为奇了。这是你自己的空间，过滤进来的就有大量不靠谱的人。

希望所有人，都能爱上数学。