例析几何问题中灵活变换线段的方法

天祝藏族自治县教育和科学技术局 王 斌

1 引言

图形转换出现在初中几何问题中时，通常表示该题对学生的解题要求较高，因为只有学生在灵活转换线段的前提下，才能更快地找到解题突破口.根据教学经验，变换图形中的线段通常有构造平行四边形、等腰三角形等方法.接下来，本文中结合几道例题谈一谈如何实现图形中线段的灵活变换.

2 图形中灵活变换线段的主要方法

有些图形的线段比较“散乱”，而要求解或证明这些线段之间的数量关系，无疑对学生产生了巨大困难[1].根据实际教学经验，发现图形中灵活变换线段的方法主要有以下几种.

2.1 构造平行四边形

例1如图1所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD相交于点P.BD=AC，AE=CD.试求∠APE的度数.

图1

分析：本题要求∠APE的度数，从图中观察这明显比较困难.但是，题中给出了“BD=AC，AE=CD”两个条件，提示解题者需要构造出全等三角形.然而，这些线段比较“散乱”，所以考虑构造平行四边形，将相关线段“集中”起来.本题构造平行四边形有两种方式，如下图2、图3.不难发现，图2中通过构造平行四边形之后，就将原本“散乱”的线段变换成关系更明朗的线段，在证明两个三角形全等之后易得等腰直角三角形ADQ，最后得到∠APE的度数为45°.图3中构造平行四边形的方式与图2相同，也是最终利用等腰直角三角形和平行四边形的性质得到∠APE的度数为45°.详细解答过程如下：

图2

图3

解法1：将BD，BE分别平移至EQ，DQ，使EQ，DQ相交于点Q，连接AQ，如图2所示.易得四边形BEQD为平行四边形.

∴CD//EQ，BD=EQ.

∵∠C=90°，

∴∠AEQ=90°.

∵BD=AC，

∴AC=EQ.

∵AE=CD，

∴△AEQ≌△DCA(SAS).

∴AQ=AD，∠AQE=∠CAD.

∴△AQD是等腰三角形.

∵∠AEQ=∠C=90°，

∴∠EAQ+∠AQE=90°.

∴∠EAQ+∠CAD=90°.

∴∠QAD=90°.

∴△AQD是等腰直角三角形.

∴∠ADQ=45°.

∵EB//QD，

∴∠APE=∠ADQ=45°.

解法2：将AD，AE分别平移至EQ，DQ，使DQ，EQ相交于点Q，连接BQ，如图3所示.易得四边形AEQD为平行四边形.

∴CE//DQ，AE=DQ.

∵∠C=90°，

∴∠BDQ=90°.

∵BD=AC，DQ=AE=CD，

∴△QDB≌△DCA,

∴BQ=AD.

∴BQ=EQ.

∴△EBQ是等腰三角形.

∵∠CDA+∠CAD=90°，∠QBD=∠CAD,

∴∠CDA+∠QBD=90°.

∵AD//EQ，

∴∠EQB=90°.

∴△EQB是等腰直角三角形，

∴∠EBQ=45°.

∴∠BPD=45°=∠APE.

2.2 构造等腰三角形

构造等腰三角形的方法比较多，常见的有旋转法、垂直平分线法等[2].下面结合例题对这两种不同的构造方法分别进行分析和说明.

2.2.1 旋转法

旋转法通常是将一边旋转至另一边，然后这边与所求证的边产生关联，进而得到最初两边之间的关系[3].这里仍以例1为例进行分析、说明.

图4

2.2.2 垂直平分线法

垂直平分线法是根据垂直平分线的性质得到两条线段长度相等，可间接视为将一条边实现了变换.如下面的例2.

例2如图5所示，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，试求△ADE的周长.

图5

分析：本题中两条垂直平分线非常重要，因为可以借助它们将AD变换到BD，将AE变换到EC，进而将△ADE的周长问题转变为线段BC的长，这样一来问题就简单许多.具体过程如下：

解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，

∴AD=BD，AE=CE.

∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8.

3 变换线段时应注意的问题

线段变换是灵活解决初中几何中线段数量关系问题的重要方法，对学生的解题要求比较高.所以，在变换线段时需注意以下几个方面的问题：

首先，牢固掌握与变换线段有关的知识点，如平行四边形的性质和判定、垂直平分线的性质和判定、图形变换的性质、尺规作图等.同时，要在此基础上多训练，不断提升解题效率.

其次，变换线段位置的过程中，可能会产生更多的线段，会使原本的图形变得更加复杂[4].为了让学生分析得更加清楚，不至于在复杂的线段中“迷失”，可以借助彩色笔描绘的方法进行初步训练，将需要的线段或相等的线段、角等用彩色笔描绘，提高图形的辨识度.

4 结语

综上所述，灵活变换线段的位置，是有效解决一些复杂线段问题的重要方法.但是，这方面对学生的解题要求比较高.所以，作为一线数学教师，不仅要重视灵活变换思维的培养，而且要注意上述几个方面的问题，让学生拥有更强、更灵活的问题解决能力.