具有饱和发生率的两毒株时滞HIV 感染模型的阈值动力学∗

陈伟，张龙

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

HIV,人类免疫缺陷病毒,一直是人类社会生命健康的主要威胁之一.因此,生物数学学者越来越重视对病毒动力学的研究[1−2],并且多种HIV 感染模型对理解病毒感染机理方面发挥着重要作用[3−5].在1996 年,Perelson等构造了一种模型,其已被广泛应用于模拟HIV 感染患者的血浆病毒载量[6].但是在实际治疗HIV 感染患者的过程中,Ribeiro 和Bonhoeffer 发现在HAART (高效抗逆转录病毒疗法)中出现了一种不良现象,即在开始治疗之前,HIV 毒株的单一突变(或多突变组合)也可能导致耐药性[7].为了更深入研究耐药型毒株的演变,Rong 等提出了一类包含敏感型毒株和耐药型毒株的病毒动力学模型[8]:

其中:T(t),Ts(t),Vs(t),Tr(t) 和Vr(t) 分别是易感细胞,敏感型感染细胞,敏感型毒株,耐药型感染细胞,耐药型毒株在时刻t的浓度.λ和d分别为易感细胞的补充率和死亡率,ks和kr分别为敏感型感染细胞和耐药型感染细胞的感染率,Ns和Nr分别是敏感型毒株和耐药型毒株的释放率,δ和c分别为感染细胞的死亡率和游离病毒的清除率.参数u(0 ≤u<1) 是Ts到Tr的转化率,也就是在逆转录过程中,敏感型毒株发生突变,变成耐药型毒株,使得感染细胞转化的比例(简称SR 转换).目前,已有学者研究了一些关于模型(1) 全局动力学包括平衡点全局稳定性和模型一致持续性的有趣结论[9].

在易感细胞和游离病毒间的非线性发生率函数有多种具体形式,例如,双线性发生率,饱和发生率,B−D发生率等,值得注意的是,B−D发生率函数可以更客观地描述易感细胞和游离病毒的动态演化过程[10].B−D发生率函数可表示为,(a,b>0),特别的,当a=0,b>0 时,该发生率函数可退化为饱和发生率函数.因此Chen 等扩展了上述模型,并且建立了全局动力学的阈值准则[11].时滞在许多病毒感染模型中得到了广泛的应用,对研究实际生物过程起决定性作用[12−14],很容易注意到,相比于离散时滞,分布潜伏时滞更适用于实际情况.受此启发,建立了一类具有饱和发生率和分布潜伏时滞的敏感型和耐药型毒株HIV 感染模型:

在本文中,ω1,α1,τs,τr都是非负常数,且均为有限值.当ω1=0 或α1=0 时,对Vs或Vr相应的发生率退化成双线性发生率.这里假设ω1+α1>0,以及hi(η) (i=s,r) 在[0,τi] 上是非负连续函数,并且同样定义

本文首先根据泛函微分方程理论方法建立了模型解的正性和有界性,得到了平衡点的存在性,进一步利用下代矩阵算法定义了基本再生数.其次对具有SR 转换的模型(2),分别通过线性化方法和构造Lyapunov 泛函方法,建立并证明了无病平衡点及耐药型感染平衡点局部和全局稳定性的阈值准则.然后运用动力系统持续性理论,研究了模型(2) 所有正解的一致持续性.最后,在数值模拟中,三维相图验证了满足地方病平衡点存在的条件,其也是全局渐近稳定.

1 预备知识

定义τ=max{τs,τr} 以及={(x1,x2,x3,x4,x5) :xi≥0,i=1,2,3,4,5}.令C=C([−τ,0],R5) 表示从[−τ,0] 到R5的全体连续函数所构成的Banach 空间,并且对任意ϕ∈C,有‖ϕ‖=max−τ≤θ≤0|ϕ(θ)|.在这里,ϕ(θ)=(ϕ1(θ),ϕ2(θ),ϕ3(θ),ϕ4(θ),ϕ5(θ)) 并且定义是C的正锥.则模型(2) 的初始条件可表示为

这里θ∈[−τ,0] 以及ϕ=(ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4,ϕ5)∈C+.

首先,关于模型(2) 解的非负性和有界性,有如下结论.

定理1任意初始函数ϕ=(ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4,ϕ5)∈C+,模型(2) 具有初始条件(3) 的解(T(t),Ts(t),Vs(t),Tr(t),Vr(t)) 在t∈[0,∞) 上有定义,非负且最终有界.

证明根据泛函微分方程基本理论[15],容易得知模型(2) 有唯一的解(T(t),Ts(t),Vs(t),Tr(t),Vr(t)) 满足初始条件(3),并且在t∈[0,t0) 上有定义,其中t0<∞或t0=∞.为了得到解(T(t),Ts(t),Vs(t),Tr(t),Vr(t)) 的非负性,根据解对初始函数的连续依赖性,仅需要证明当ϕi(0)>0 (i=1,2,3,4,5) 时,对所有t∈[0,t0) 有(T(t),Ts(t),Vs(t),Tr(t),Vr(t))>0.由模型(2) 的第一个方程有:

2 模型（2）的稳定性

运用线性化方法和构造适当的李雅普诺夫泛函方法,考虑平衡点的局部和全局稳定性,定义函数g(x)=x−1−lnx.令是(2) 的任意平衡点,则可得如下线性系统

首先,关于无病平衡点E0的稳定性,有如下定理.

定理3(i) 如果(1−u)Rs<1 且Rr<1,则无病平衡点E0局部渐近稳定;

(ii) 如果Rs≤1 且Rr≤1,则E0全局渐近稳定;

(iii) 如果(1−u)Rs>1 或Rr>1,则E0不稳定.

证明由(7) 可知在平衡点E0处的特征方程为

显然(8) 式的一个根为λ0=−d<0.剩余的根满足下列方程

矛盾.因此如果(1−u)Rs<1 且Rr<1,则方程(8) 的所有根均具有负实部.故无病平衡点E0局部渐近稳定.

如果(1−u)Rs>1 或Rr>1,直接计算有f1(0)=δc(1−(1−u)Rs)<0,f1(+∞)=+∞或f2(0)=δc(1−Rr)<0,f2(+∞)=+∞.因此,特征方程(8) 至少有一个根具有正实部.故E0不稳定.

为了证明E0的全局稳定性,定义如下李雅普诺夫函数H1(t)

注2在定理4 中,我们仅得到了当Rr>max{1,Rs+(Rs−1)} 时,Er全局渐近稳定.然而,结合定理4 的结论(i),一个有趣的问题是:当Rr>max{1,(1−u)Rs+((1−u)Rs−1)} 时,Er是否全局渐近稳定.

注3很遗憾没能建立模型(2)正平衡点Ec局部和全局稳定性的阈值条件.原因是很难分析在Ec处的特征方程,且很难构造适当的李雅普诺夫函数.故在下节中,当正平衡点Ec存在时,建立了模型(2) 的一致持续性.

3 一致持续性

定义

令ω(ϕ) 是解u(t,ϕ) 的ω-极限集.则从以下两种情形给出证明.

情形(1):(1 −u)Rs>1 ≥Rr.由定理2 可知,模型(2) 仅有两个平衡点E0和Ec.令M0={E0},显然有对任意的ϕ∈M∂,有u(t,ϕ)∈∂X,故当t≥0 时,Ts(t,ϕ)≡0 或Vs(t,ϕ)≡0 或Tr(t,ϕ)≡0 或Vr(t,ϕ)≡0.如果Ts(t,ϕ)≡0,则由模型(2) 的第二个方程可知Vs(t,ϕ)≡0.由此,模型(2) 可退化为下列形式

若ϕ4+ϕ5=0,则由模型(16) 可以得到Tr(t,ϕ)=Vr(t,ϕ)≡0,故(16) 进一步退化为

这表明模型(2) 同样是一致持续的.

注4一个有趣的问题是:当满足定理5 的条件时,正平衡点Ec是否全局渐近稳定.

4 数值模拟

本节给出两个数值算例,验证注4 中提出的问题.对所有η∈[−τi,0],取核函数hi(η)=e−0.1η,(i=s,r).在模型(2) 中选取参数d=0.1,u=0.6,δ=c=1,其余参数将在具体算例中给出.

例1在模型(2)中,选取初始函数为(T(θ),Ts(θ),Vs(θ),Tr(θ),Vr(θ))=(0.5+0.2sin(θ)+0.005k,0.06+0.1sin(θ)+0.005k,0.02+0.1sin(θ)+0.004k,0.1+0.01sin(θ)+0.000 2k,0.01+0.04sin(θ)+0.01k),k=1,2,···,20,θ∈[−3,0],并且参数λ=0.6,Ns=0.4,Nr=0.05,τs=τr=3,ω1=3.5,α1=4.5.通过计算可得Rs≈6.220 3,(1−u)Rs≈2.488 1 和Rr≈0.777 5.因此,(1−u)Rs>1>Rr,由图1 和图2 可知正平衡点Ec=(2.747 2,0.099 5,0.039 8,0.225 8,0.011 3)全局渐近稳定,这表明注4 中的结论正确.

例2在模型(2)中,选取初始函数为(T(θ),Ts(θ),Vs(θ),Tr(θ),Vr(θ))=(0.8+0.4sin(θ)+0.01k,0.05+0.01sin(θ)+0.02k,0.01+0.01sin(θ)+0.02k,0.3+0.01sin(θ)+0.01k,0.03+0.04sin(θ)+0.02k),k=1,2,···,20,θ∈[−1.5,0],并且参数λ=0.8,Ns=0.9,Nr=0.4,τs=τr=1.5,ω1=1.5,α1=3.通过计算可得到Rs≈10.028 9,Rr≈4.457 3 和(1−u)Rs+((1−u)Rs−1)≈6.902 7.于是,(1−u)Rs+((1−u)Rs−1),由图3 和图4 可知正平衡点Ec=(2.204 2,0.078,0.070 2,0.501 6,0.200 6) 全局渐近稳定,这表明注4 中的结论正确.

5 结论

本文研究了一类具有饱和发生率的两毒株时滞HIV 感染模型的阈值动力学,主要讨论了饱和发生率和分布潜伏时滞对HIV 感染模型阈值动力学的影响.通过构造李雅普诺夫泛函和运用动力系统持续性理论,得到了一些关于平衡点全局稳定性和模型一致持续性全局动力学的有趣结论.今后的工作将集中在具有反应扩散HIV感染模型的分支分析和敏感性分析,可以更准确地描述传染病传播的实际情况.