Nyquist 稳定判据的分析与应用

郑恩让 陈 蓓 张 玲

(陕西科技大学 电气与控制工程学院， 西安 710021)

“自动控制原理”是自动化、电气工程及其机器人工程等专业的重要的基础课，是“运动控制系统”“过程控制”等系统分析与设计的基础理论课。在“自动控制原理”课程中，稳定性分析是最重要的内容之一。在时滞过程、网络信息处理中，系统不可避免会存在信号、信息的传输延迟。若系统中含有纯滞后环节，采用劳斯判据就不能方便的对系统进行稳定性分析。尤其是当开环系统传递函数为

(1)

(2)

其中当n≥m，K>0，Ti>0，τj>0,d为实常数时，系统稳定性不容易判定。而学生若对Nyquist

稳定判据能够理解充分，则求解此类问题就会迎刃而解。

1 问题与分析

问题提出：已知某负反馈控制系统的开环传递函数为

其中n≥m，K>0，Ti>0，τj>0，判定闭环系统的稳定性。

在课程未讲授Nyquist 稳定判据判之前，对这类系统判定闭环系统稳定性并不容易[1]。这是因为系统的闭环特征方程中含有e-θs这一因子，使闭环特征方程变为超越方程，求根或用劳斯判据都不

容易。

Nyquist 稳定判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线不穿过(-1,j0)点,且逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数N等于开环传递函数的正实部极点数P。

采用开环幅相频率特性对(-1,j0)点的包围周数，即可判定闭环系统的稳定性，因为闭环系统稳定时，其在右半S平面的闭环极点数为零，即式N=P-Z中Z=0。实际中，只需绘制ω=0→∞时的开环幅相频率特性曲线即可。而ω=-∞→∞时，开环幅相频率特性曲线绕(-1,j0)点顺时钟转过的周数，等于ω=0→∞时开环幅相频率特性曲线绕(-1,j0)点顺时钟转过的周数乘以2。

当系统开环传递函数含有纯滞后环节时，系统的幅频特性不变，相频特性产生滞后[2]，因此，绘制出含有纯滞后环节的开环系统幅相频率特性，即可采用Nyquist稳定判据判定闭环系统的稳定性。

通过以上分析，可以通过绘制开环系统的幅相频率特性，利用Nyquist稳定判据判定开环系统含有纯滞后环节、平移和纯滞后环节时闭环系统的稳定性。

2 Nyquist稳定判据的应用

例1：某单位负反馈控制系统的开环传递函数为

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试分别确定d=-0.5,0,1时，使闭环系统稳定的K的取值范围。

解答：本题考查对奈奎斯特判据的推导和理解。

由于系统含有纯滞后环节，因此，要采用奈奎斯特判据。

系统的闭环特征方程为：

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整理得：

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与前面分析的Nyquist判据比较可得，只要等效的开环频率特性包围(-(1+d),j0)，则闭环系统一定不稳定。

等效开环传递函数为：

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其相频特性为:

令

解之得，ω=0.54 rad/s。

等效开环幅频特性为:

(7)

欲使闭环系统稳定，则要

(8)

当d=-0.5时，解之得，0

当d=0时，解之得，0

当d=1时，解之得，0

例2：定性说明纯滞后特性对系统性能的影响。

解答：设系统的开环传递函数为

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n≥m，K>0，Ti>0，τj>0

则有，系统的开环相频特性为

(11)

系统的开环幅频特性为

(12)

由系统的开环幅频、开环相频特性可知，纯滞后环节不影响系统的幅频特性，而只影响系统的相频特性。因此，纯滞后环节的存在，会使系统的相角裕度减小，故闭环系的稳定性、过渡过程特性会变差。

3 结语

在我校自动化专业17级教改班“自动控制原理”课程中通过讲授Nyquist稳定判据，并对其进行推导和证明，紧接着对本文提出的开环系统含有纯滞后环节、含有位移和纯滞后环节的闭环系统稳定性进行判定，学生易于理解和掌握。尤其是通过引入F(s)=(1+d)+G(s)H(s)，学生立即明白了通过绘制等效开环系统的Nyquist曲线，研究曲线对(-(1+d),j0)的环绕情况就可判定开环含有纯滞后环节、含有平移和纯滞后环节时闭环系统的稳定性。通过教师对Nyquist判据的讲授与分析，结合实际示例，使学生对判据的理解更加深刻，学习效果明显提高，期末考试该知识点成绩较16级非教改班平均提高4.2分。