挖掘教材题根 引领思维生长——以2021年新高考Ⅰ卷19题为例

广东 蒋海榕

(作者单位：广东省中山市实验中学)

教材是教师与学生最重要的学习资料.各类考试的题目通常来源于教材中的例题、习题的改编.我们把某一类型题目的来源称作题根.在新课标背景下，2019年人教A版新教材投入使用.挖掘新教材中的题根，以题根展开教学，来寻找解题思维入口；通过题根的变式拓展探求不同思路，帮助学生理解问题内涵和总结归纳，对提升学生思维有着重要意义.解三角形是高考中必考的一个知识点，它在考查基础知识的同时，还考查了数形结合、化归与转化、函数与方程等数学思想方法.本文以2019年出版的人教A版数学必修第二册的一道课后习题为题根，对解三角形的题根教学进行相关探讨.

一、挖掘题根，夯实思维基础

思路1:取BC边上的中点D，连接AD,如图，在△ABC中，∠ADB=π-∠ADC，

所以cos∠ADB=-cos∠ADC.

在△ABD和△ADC中，分别由余弦定理得，

思路3：如图，取AB，BC边上的中点E,D，连接DE,AD.

这是2019年人教A版必修二第53页的一道课后题.此题已知三角形三边，求三角形中线的长度.本文给出了五种解题思路：思路一是从几何图形中得到两个角互补的关系，得出余弦值互为相反数的结论，进而利用余弦定理化简求解；思路二是利用同一个角在不同的两个三角形中的余弦值相等求解；思路三是利用三角形中位线构造新的三角形，在新的三角形中利用余弦定理求解；思路四是在已有图形的基础上，将三角形补成平行四边形，再利用平行四边形的两对角线的平方和等于边长的平方和进行求解；思路五将解三角形与平面向量进行了结合，利用和向量模长来计算中线长进行求解.这道解三角形的课后题，考查的基础知识是余弦定理，却需要学生通过几何图形的特征，寻求解决问题的突破口.解题过程中渗透着数形结合、化归与转化、函数与方程思想;多种解题思路能够有效地提升学生的推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力和创新能力，值得教师与学生挖掘其题根本质，进行迁移与拓展.

二、逐层变式，巩固思维广度

思路1：在△ABC中，

所以在△ACD中，

解：在△ABC中，由余弦定理可得

解得BC=4，

答案：4

题根中是已知三角形三边求中线长，以题根为基础，我们可以进行以上变式.变式1和变式2是在题根的基础上改变条件：变式1是以三角形两边以及它们的夹角作为已知条件，变式2是以三角形两边及其中一边的对角作为已知条件，这两个变式都是求三角形未知边上的中线.文中只列出最简易直接的几种解题思路.变式3中，交换了变式1中的条件与所求.变式4中，仍以三角形中线为载体，改变条件和所求.变式5又是在变式4的基础上，将三角形中线改成一条边上的四等分点，逐层变式.虽是不同的变式，但是都可以在题根的模型基础之上，从几何图形中角的互补关系、同一角在不同三角形中的余弦值表示、平行四边形对角线与边长的关系、向量的模长等四个角度进行处理.5个变式，巩固了学生在解三角形解题过程中思维的多面性.

三、链接真题，提升思维高度

(2021·新高考Ⅰ卷·19)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

这是2021年新高考Ⅰ卷中的第19题，我们主要探讨第二问.与文中题根对比，相似的是平面图形的几何特征，也可以理解为是相似的几何模型.所以题根中的四种解法都可以得到迁移应用.不同的是，题根与变式中，4个条件中AB，BD，BC，∠ABC都是已知3个，通过计算可以具体求出另外一个；而此题中4个条件中，仅知道BD=b，b2=ac，所以需要再列一个方程找到a，c的关系，通过联立才能具体求出cos∠ABC.此题源于题根，却高于题根；在题根的基础上，更强化了化归与转化思想.在解决这一系列问题的过程中，我们可以将以上内容进行拓展，得到两个一般性结论.

所以在△AED中，

《中国高考评价体系》明确指出，高考以“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”为考查内容，即“四翼”.解三角形作为高考重点考查内容之一，在正弦、余弦定理的基础上，利用图形的几何特征，找寻解决问题的思路，这类题型既能考查学生基本必备知识，又能考查学生直观想象、数学建模、逻辑推理与数学运算核心素养.解题过程中蕴含了数形结合、化归与转化等数学思想方法，所以我们在复习过程中，应当重视这部分内容对于提升学生思维的作用.教材中出现的例题与课后习题凝聚了众多专家的智慧，具有非常强的指导性.教师应该充分挖掘教材中的题根，从题根入手，通过变式与拓展不断增加思维的广度与深度，让学生在符合自身发展的探究中，理解问题内涵，体会一题多解、多题归一，以求达到真正促进学生思维再生长的效果.