模糊度量空间中统计收敛的等价刻画

胡杨丽，李长清

（闽南师范大学 数学与统计学院，福建 漳州 363000）

模糊度量是模糊拓扑学中的一个重要的概念，现已得到众多学者的广泛关注。1994年，George 等借助连续t模给出了模糊度量空间的概念[1]。随后，Gregori等证明了模糊度量诱导出的拓扑空间可度量化，并举例说明并非所有的模糊度量空间都可完备[2-3]，这与度量空间都可完备化存在极大区别。

统计收敛作为一般收敛的推广，它的思想最早由Zygmund[4]提出。1951年，Fast和Steinhaus各自独立定义了实空间序列的统计收敛概念[5-6]。之后，Fridy介绍了统计收敛在数学不同领域的各种应用[7-8]。Kostyrko等探讨了度量空间中的统计收敛的概念[9]。Bilalov等则研究了统计收敛在完备度量空间中的等价性[10]。最近，文献[11]给出了模糊度量空间中序列的统计收敛、统计柯西和统计完备的概念，并研究了三者间的关系，同时，提出了在模糊度量空间中统计完备与完备是否等价的问题。

为了进一步完善模糊度量空间中统计收敛的相关性质，本文在已有的模糊度量空间中统计收敛、统计柯西和统计完备的概念的基础上证明了完备的模糊度量空间中统计收敛和统计柯西的等价性，并证明了在模糊度量空间中统计完备与完备的一致性。

1 预备知识

在本文中，N表示正整数集；AC表示集合A⊂N的补集，即AC= N/A；-F表示集合F的闭包。

定义1.1[1]二元函数∗:[0,1]×[0,1]→[0,1]称为连续t模，如果它满足以下条件：

（1）∗满足结合律和交换律；

（2）∗是连续的；

（3）对任意a∈[0,1],a∗1 =a；

（4）当a≤c和b≤d且a,b,c,d∈[0,1]时，a∗b≤c∗d。

易知，对任意ε∈(0,1)，存在ε1,ε2∈(0,ε)，使得(1 -ε1)∗(1 -ε2)＞1 -ε。

定义1.2[1]设X是任意非空点集，∗是连续t模，M是X2×(0,∞)上的模糊集。三元组(X,M,∗)被称为模糊度量空间，若对任意x,y,z∈X和s,t∈(0,∞)满足以下条件：

（i）M(x,y,t) ＞0；

（ii）M(x,y,t) = 1当且仅当x=y；

（iii）M(x,y,t) =M(y,x,t)；

（iV）M(x,y,t)∗M(y,z,s) ≤M(x,z,t+s)；

（V）函数M(x,y, ⋅):(0,∞) →[0,1]是连续的。

若(X,M,∗)是模糊度量空间，则可称(M,∗)为X上的模糊度量。

则称diamt(F)为F关于t的模糊直径。

引理1.2[13]设(X,M,∗)是模糊度量空间，F为X的非空子集。则对于任意t＞0，F关于t的模糊直径为0当且仅当F是单点集。

定义1.8[11]设(X,M,∗)是模糊度量空间，{xn}为X中的序列。若对任意ε∈(0,1)和t＞0，存在nε,t∈N，使得δ({n∈N|M(xn,xnε,t,t) ＞1 -ε}) = 1，则称{xn}是X上的统计柯西序列。

定义1.9[11]设(X,M,∗)是模糊度量空间，若X上的任意统计柯西序列都统计收敛，则称X是统计完备的。

引理1.3[11]设(X,M,∗)是模糊度量空间，若X中的序列{xn}统计收敛，则它是统计柯西序列。

引理1.4[11]设(X,M,∗)是模糊度量空间，若X是统计完备的，则它是完备的。

2 主要结果

在文献[11]中，我们知道模糊度量空间中统计收敛比统计柯西性质更强。现考虑对该空间附加完备的条件，则有以下结果。

定理2.1 设(X,M,∗)是完备的模糊度量空间，{xn}为X中的序列，则以下条件等价：

（1）{xn}在X中统计收敛；

（2）{xn}为X中的统计柯西序列；

（3）存在序列{yn}n∈N⊂X，使得{yn}极限存在，且δ({n∈N|xn=yn}) = 1。

证明 （1）⇒（2）由引理1.3可得。

推论2.1 设(X,M,*)是模糊度量空间，则X是统计完备的当且仅当X是完备的。

证明 必要性由引理1.4可得。下证充分性。设(X,M,*)是完备模糊度量空间。设{xn}为X中的任一统计柯西序列，则由定理2.1可知{xn}统计收敛，故由定义1.9知X是统计完备的。