基于COMSOL 的材料杨氏模量的超声测量研究

王兴君 王巍然

（兰州大学土木工程与力学学院，甘肃兰州 730000）

杨氏模量E 仅取决于该材料本身的物理性质，是工程实践中重要的参数和依据。杨氏模量的测定，对金属材料、生物软组织材料的力学性质的研究，有重要意义。在测试技术领域，杨氏模量测定后，结合密度、泊松比等参数可以用于海洋中未知固体，以及生物的识别；在医学中健康细胞组织和病变细胞组织的杨氏模量参数有明显差异，例如，生物体肝脏组织在发生炎症时，死亡的肝细胞将被胶原纤维构成的疤痕组织取代，其肝脏组织硬度将逐步增加，其杨氏模量数值将相较于正常肝脏组织存在数量级差距。因此，杨氏模量测定还可用于细胞组织的病变鉴别与治疗等[1]。

目前杨氏模量的测定方法繁多，如静态法的拉伸法、梁弯曲法，该类方法试样用量大，需要对材料进行加载，需要测量仪器与试块接触与甚至破坏，均无法实现如对远程物体如深海物体的测量，或是如内脏组织等取样困难，需要进行在体内测量的操作。因此，该方法难以实现针对生物组织杨氏模量的测量。动态法有共振法[2]和超声波法。在共振法中，如利萨如图形法。该方法数据处理单一，且通过图形相似判断，极具有测量人员主观成分，有误判的可能性等缺点。共振法通过仪器以一定频率接触并机械驱动试样，同样难以实现远程物体，或在生物体内的生物组织杨氏模量测量。

目前的超声波法大多基于在测得的材料中超声波传播的声速与材料杨氏模量之间的关系来实现材料杨氏模量的测定，具有穿透性强、无损伤、远距离、无接触、测量简便、适用范围广等优点。

本文在基于材料中传播的超声声速与材料弹性特性之间的特定关系规律，再结合在材料表面反射前后的声压变化测算材料密度值。将材料的声速，密度数据代入计算出杨氏模量。相比于现有的超声测量方法，本文在利用声速数据的同时结合声压数据，可对密度未知的物体进行测量，可以省略密度数据测量的步骤，简化测量流程；也可以用于密度值难以得到条件下的测量，如在生物体体内的生物组织的测量，以消去一个未知参数的影响。本文利用有限元仿真软件COMSOL，通过建模，设置物理场，仿真结果分析等手段，实现被测材料杨氏模量测量的仿真结果，通过将仿真值与文献标准值对比，验证了该方法具有一定精度与可行性。

1 测量方法与原理

根据固体中纵横波声速的公式[3]，可联立推导出固体杨氏模量与其他物理量的关系，即

式中，ρ 为材料密度，CL为纵波声速，CT为横波声速，E 为杨氏模量[4]。

当超声激励仅在极短时间内起作用时，生物组织的力学性质与状态仅取决于短暂的超声负载。在这样的力学状态下，生物组织的粘性可以不计，可将生物组织简化为弹性体[5]。如果进一步将生物组织假设为均匀的各项同性材料，那么通过测量手段得出杨氏模量就可以完全表征该生物组织的特性[1]。

图1 为模拟的测量设备装置示意图。如图所示，在盛有水的容器中，将材料放置于垫层上。超声激励发射与接收设备位置极近，设备浸入液面，并固定于距离待测材料上表面一定距离处，用于激励信号的发射与接收。

图1 超声测量设备装置示意图

测量原理如下：如图2(a)，待测材料浸入于水面以下某处，水面处探头将超声激励沿材料上底面法线方向，以一个极其微小的偏角发出，使得超声波入射方向将近乎垂直于固体上底面。由声学反射定律[3]可知，入射角θi=反射角θr，此刻θi=θr≈0，入射超声在固－液分界面发生反射，产生与原法线方向近似重合的反向反射回波，记为回波p1。同时发生折射：由斯奈尔折射定律[3]

图2 超声波在传播过程中的折射与反射示意图

如图2(b)，新产生的固体中横纵波在固体下底面发生反射，通过异质界面折射回到流体，再返回接收设备。纵波波速大于横波，纵波将先于横波被捕捉，纵波回波记为p2，横波回波记为p3。

依据水面处声探头得到的三次回波声时数据t1、t2、t3，近似处理所有超声声束均沿竖直方向直线传播，可得方程组：

式中：d 为材料厚度且已知。

(1)设计多样化。装配式建筑的自重约减轻一半，地基可优化设计，外观不求奢华，突出工业化建筑本质，简约厚重，立面清晰，长期使用不开裂、不褪色、不变形；内部空间可根据需要灵活分割。

联立(3)(4)可求材料纵波声速CL，材料横波声速CT。

在异介质分界面，根据声压比公式[3]：

式中：Pi为入射波声压，Pt为折射波声压，Pr为反射波声压，rP为Pr与Pi之比，tP为Pt与Pi之比。R1为入射部分介质Ⅰ的阻抗，即R1=ρ1c1，其中ρ1，c1，分别为入射部分介质的密度与纵波声速。R2为折射部分介质Ⅱ的阻抗，即R2=ρ2c2。

由上述推导可知，微小入射角下，θi、θt、θr都近似为0，则cosθi、cosθt、cosθr都近似为1，式(5)(6)可退化为：

式中：R12为介质Ⅱ与介质Ⅰ的阻抗比，即R12=R2/R1。

在仿真中，如图2(a)所示，超声声束第一次在固体上底面反射产生反射回波p1的声压P1，实际上是超声波先传播一定距离到固－液分界面，反射后又再在流体中传播一段距离回到的接收装置，是衰减过后的声压。对平面波而言，其衰减符合指数衰减，其声压P 随传播距离x的变化是[6]

式中：P0是初始声压，α 是衰减系数，x 是传播距离。CW为水的纵波声速，t1是第一次回波p1时间。

为得到声压比rP，需再设置仿真Ⅱ，让相同初始声束在流体中无障碍传播x=CWt1后，测其声压，记为P2。根据式(9)(10)可写为

式中：Ps是声发射设备起始声信号声压，为已知且恒定的值。

x1与x2分别为回波p1从发出到分界面，再从分界面回到接收设备的传播距离，二者近似相等且和为x。根据式(7)(11)(12)可得

依据R12公式，材料密度ρ 表达式可写为

式中CW，ρW分别为介质Ⅰ水的纵波声速及密度，为已知参数。

将P1，P2，CW，ρW，CL代入式(16) 可计算得材料密度ρ。最后，将所测算得到的材料CL，CT以及ρ 代入式(1)，可计算得到该材料杨氏模量E。

将σ、ρ、CL代入式(17)可计算得到生物组织材料的杨氏模量E。

2 COMSOL 有限元数值模拟仿真

2.1 几何模型

将图1 所示设备装置进行如下简化。模型由上部的水和下部的材料部分以及超声激励点源组成，如图3 所示。

图3 仿真Ⅰ的二维几何模型

在仿真Ⅰ结果的基础上，建立仿真Ⅱ的模型，测量声波自由地在水中传播x=CWt1衰减后的声压值P2。超声激励点源在材料上表面3mm，x 近似为6mm。

2.2 超声激励与网格

本次模拟采用频率fc=3MHz 的超声激励，为加宽超声信号的分析带，模拟得到较良好回波信号[8]，本文将采用如下表达式：

式中：ST为幅值随时间函数，t 为自变量时间，fc为超声频率。S0是一个汉宁窗函数[9]，其表达式为：

式中：L 为窗的长度，即周期时长。本次模拟使用3MHz 的3 个周期的激励信号，L 是1μs。网格设置的原则是波长的1/10[10]，所以域②的网格大小设置为0.05mm，域①设置为0.1mm。

2.3 介质材料

图3 中域②模拟介质Ⅰ水，域①模拟介质Ⅱ待测材料。本次模拟将采用镍，铝两种金属材料以及猪肌肉组织与猪肝脏组织，做待测材料。

3 仿真结果分析

3.1 回波信号时差

对四种材料进行超声激励检测仿真模拟的信号图进行数据处理。其中，回波p1信号取信号声压峰值时间为t1，回波p2与p3信号无明显峰值，取稳定波形开始时的时间为t2与t3。各材料回波信号图如图4 所示。

图4 典型回波信号

3.2 回波信号声压值

仿真Ⅱ结果中，超声信号自由传播6mm 后的声压值为P2=0.2526Pa。从仿真Ⅰ超声信号结果中，读取出各个材料的回波p1的声压值P1。

3.3 杨氏模量测算结果

根据文献资料，四种材料的杨氏模量E，泊松比σ，密度ρ 的标准值[3，7]，如表1。

表1 四种材料的各参数标准值

各材料的测量值，如表2 所示；各参数量结果，杨氏模量结果及相对误差，如表3 所示。

表2 四种材料的各参数测量值

表3 四种材料的测量结果与相对误差

4 结论

本文提出了一种基于超声力学原理的测量材料杨氏模量的方法，并通过COMSOL 仿真进行验证了该方法的有效性。本文分别对厚度为15mm 的两种金属材料和两种生物组织材料进行了仿真模拟，结果表明：杨氏模量的测量值与参考文献标准值的相对误差在0.15%-2.82%。

该超声测量方法具有无损伤无接触的特点，通过单次测量获得材料横纵波声速值与密度值，简化流程，消去多余未知参数影响，可以对远程物体的杨氏模量进行测量，以实现物体鉴别；可以对在生物体体内的生物组织杨氏模量进行测量，以实现对医学中对生物组织的病变鉴别与治疗。