巧用构造法 解答数学题

于静静

【摘要】构造法解题对学生的理解以及分析问题的能力要求较高，因此教学实践中应提高学生运用构造法解题的意识与能力.

【关键词】构造方程;二次函数

1 构造不等式解答数学题

例题 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交于点（-2，0），（x1，0）且1

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0D.b

解题过程

因为二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交于点（-2，0）

所以4a-2b+c=0，c=2b-4a.

由二次函数图象可知，要想满足题意，抛物线的开口方向向上，即，a>0.基于对函数图象的分析，构造如下不等式组：a+b+c<04a+2b+c>0，将c=2b-4a代入解得b0，所以0

解题点评 构造不等式解答数学习题需要灵活运用所学对题干条件进行转化，尤其充分挖掘函数图象中的隐含条件，将图象语言转化为不等关系，运用不等式知识巧妙突破.

2 构造方程解答数学题

例题 若四个不相等的正实数a、b、c、d满足（a2012-c2012）（a2012-d2012）=2012，（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，则（ab）2012-（cd）2012的值为（）

A.-2012 B.-2011

C.2012D.2011

解题过程

因为（a2012-c2012）（a2012-d2012）=2012，（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，

所以构造方程（x-c2012）（x-d2012）=2012，且x1=a2012、x2=b2012是方程的两个根.

将方程整理得到x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0.

由根与系数的关系得到x1x2=（ab）2012=（cd）2012-2012，

所以（ab）2012-（cd）2012=-2012，選择A项.

解题点评 构造方程解答数学习题需要能够透过现象看本质，寻找已知条件中的潜在规律，构建相关的方程，尤其在构建一元二次方程时需要注重应用根与系数的关系进行解题.

3 构造函数解答数学题

例题 若x1，x2（x1

A.m

B.x1

C.x1

D.x1

解题过程

因为x1，x2（x1

构造函数y1=（x-m）（x-3）和y2=（x-m）（x-3）+1，其中函数y1图象和x轴的交点为x=m和x=3，函数y2图象和x轴的交点为x1和x2.

函数y2的图象可以看成由y1图象向上平移一个单位得来.在同一平面直角坐标系中画出函数y1和函数y2图象，如图2所示，可以清晰的看到m

解题点评 函数与方程有着紧密的联系.解答方程类问题时应注重构建对应的函数，灵活运用函数的性质、函数图象的平移等知识，达到化难为易，顺利解题的目的.

4 构造三角形解答数学题

例题 如图3，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值为（）

A.11.4B.11.6C.12.4D.12.6

解题过程

分析可知m的值即为OB的长，因此，将问题转化为求m的值.

分别过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，如图4所示：

因为AB∥DC，所以CD=OF，∠DCA=∠CAB.

又因为CD=AD=5，AC=6，所以OF=5，CE=12AC=3，在Rt△DEC中，由勾股定理得到：DE=CD2-CE2=4.

因为AC⊥BC，所以∠DEC=∠ACB=90°，所以△CED∽△ACB，所以DEBC=CEAC=CDAB，

即，4BC=36=5AB，解得BC=8，AB=10

又因为∠CFB=∠ACB=90°，所以△BCF∽△BAC，所以BCAB=BFBC，即，810=BF8，所以BF=6.4，

所以OB=OF+BF=5+6.4=11.4，选择A项.

解题点评 解答初中数学几何问题时应积极联系相关图形的性质，尤其通过构造相关的三角形运用勾股定理、三角形全等、三角形相似等知识寻找相关参数之间的内在联系.

5 构造圆形解答数学题

例题 如图5，在平面直角坐标系中 O为坐标原点，半径2的圆O与x轴负半轴交于点A，点B是圆O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y=-43x+4与x轴，y轴分别交于点C、E，则△PCE面积的最小值为（）

A.5 B.6 C.254 D.112

解题过程

连接OP，如图6，因为点P为弦AB的中点，

所以OP⊥AB，∠APO=90°，点P的轨迹是以AO为直径的圆，取AO的中点为点N.过N点作NF⊥EC于点F.NF和圆N交于点M.此时MF的值最小，即，△PCE面积的最小

因为直线y=-43x+4与x轴，y轴分别交于点C、E，所以C（3，0），E（0，4），由勾股定理易得EC=5.

因为圆O的半径为2，所以NO=NM=1，NC=NO+OC=4，在△ENC中由面积相等得到：12NC·EO=12EC·NF，所以NF=165，所以MF=NF-NM=165-1=115，

所以S△PCE=12EC·MF=12×5×115=112，选择D项.

解题点评 构造圆形解答初中数学习题时应注重把握圆形的规律，能够结合给出的已知条件准确的判断出圆心、圆的直径、圆的半径等，并灵活运用所学几何知识解答问题.