分割四边形所得线段与图形面积间的比例关系

2022-07-24张华

数理天地(初中版) 2022年5期

关键词：四边形

张华

【摘要】本文主要用面积法探究直线分四边形所成图形与线段间的比例关系，由特殊到一般，由简单到复杂，并运用这些比例关系来解决一些相关的面积或线段长度的问题.

【关键词】四边形;线段面积;比例关系

面积与线段长度问题，是数学学习及生产生活中经常遇到的问题.下面我们来探究一下用直线分割四边形所成的图形面积与线段长度间的比例关系.

定理1任意四边形的两条对角线把四边形分成的四个三角形中，相对的两个面积之积相等.

事实上，如图1，由上节引理可得 S1S2=S4S3=BOOD，

故有S1·S3=S2·S4.

特别的，当四边形ABCD是梯形时，若AD//BC ，有 S1=S3 ，得S2·S4=S12=S32 .

比如，梯形中，若S2=3，S3=6，要求梯形面积，只要先求出S4即可，由S2·S4=S32，有3S4=62，S4=12.从而求得S梯ABCD=3+12+6+6=27.

我们可以用类似的方法进一步得到下面定理：

定理2 四边形一条对角线上的一点与另外两个顶点的连线把四边形分成两部分，这两部分图形的面积比等于这点分对角线所得两线段的比.

如图2，点E为四边形ABDC对角线上AD上一点，且AE：ED=m：n.

证明：S四ABED：S四CBED=AE：EC=m：n.

由三角形中面积与线段间的比例关系可得

SΔABE SΔCBE=SΔADESΔCDE=mn.

再由等比性质得 SΔABE+SΔADE SΔCBE+SΔCDE=AEED=mn ，即S四ABED S四CBED=AEEC=mn.

由此定理，可以利用分一条对角线而将四边形分成面积为相应比的两个四边形（当B、E、D在同一直线上时就成了三角形）. 特别的，当E是AC中点时，就把四边形ABCD分成了面积相等的两部分.

例1 将四边形ABCD分成两部分，使得它们的面积比为1∶3.

如图2，我们可以连接AC，在AC上取一点E，使得AE：EC=1∶3，连接BE，DE，则S四ABED S四CBED=AEEC=13.也就是四边形 ABED与四边形CBED的面积比为1∶3.

问题1 利用定理2可以用两条线段将任意一个四边形按面积平分，我们自然会想：如何用一条直线将一个四边形按面积平分面呢？我们已经知道平行四边形对边中点的连线平分它，梯形上下底中点的连线也平分它.

猜想对边中点的连线能平分四边形.

下面来探究这个猜想究竟对不对.

事实上，如图3，梯形两腰中点的连线，也就是中位线并不能把梯形按面积平分，所以这个猜想是假命题.

用定理1的方法可以把四边形平分，不妨在这个基础上来探究.

如图4，BE和DE把四边形ABCD按面积平分，假设BM把四边形也平分，显然四边形ABED比原来少了ΔBEF，多了ΔDMF，要使面积不变，只要SΔBEF=SΔDMF即可.我们知道梯形两对角线分得的四个三角形中，两腰对应的两个三角形面积相等，所以只要四边形BEMD是梯形，EM//BD，那么BM就把四边形ABCD按面积平分了.具体作法也不难得到.

一条直线按面积平分四边形的作法（如图5）：

1、连接BC、AD，取AD中点E;

2、作EM//BC交CD于M;

3、连接BM.

直线BM把四边形ABCD按面积平分.

当然直线平分四边形面积的方法不唯一，这只是直线过一顶点的作法.能不能得到任意一条直线平分四边形的方法呢？大家可以考虑.

问题2边的中点是特殊的点，我们已知顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，面积是原四边形面积的一半 . 那么只有四边形一组对边的中点，能得到怎样的图形，面积间又有怎样的关系呢？

如图6，已知E、F分别是AD、BC的中点，连接BE、DF，得到四边形BFDE，它与原四边形间有怎样的关系呢？

我们连接BD，则有SΔABE=SΔDBE，SΔDBF=SΔDCF，所以得到SΔDBF+SΔDBE=SΔABE+SΔDCF=12S四ABCD，即S四BFDE=12S四ABCD.

由此可以得到

推论1四边形对边中点与一组相对顶点构成的四边形是原四边形面积的一半.

问题3 若上面的E，F不是中点又会怎样？