根与系数关系式的应用

刘家良

根与系数的关系式：设x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则

x1+x2=-ba，x1x2=ca.

特别地，利用根与系数的关系式可得结论：

设x1，x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根，则x1+x2=-p，x1x2=q.

有了根与系数的关系式，不仅可以直接求两根的和与积，而且还可与其他相关知识相结合解与两根有关的求值问题.

1 直接求两根的和，积

例1 设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1+x2的值为（）

（A）-2. （B）-3. （C） 2. （D） 3.

解 由根与系数的关系，得

x1+x2=-（-2）=2.

故選（C）.

例2 已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2-x1x2=.

解 由根与系数的关系，得

x1+x2-x1x2=-（-4）-3=4-3=1.

2 与根的判别式结合求系数值

例3 关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1，x2满足x1x2=2，则（x21+2）（x22+2）的值是（）

（A） 8. （B） 32.

（C）8或32.（D）16或40.

解 由根与系数的关系，得

x1+x2=-2m，x1x2=m2-m.

因为x1x2=2，

所以m2-m=2.

解得m=2或m=-1.

当m=-1时，有x2-2x+2=0，

Δ=4-8=-4<0，

所以m=-1舍去;

当m=2时，有x2+4x+2=0，

Δ=16-8=8>0，

所以m=2，

x1+x2=-4;

所以 （x21+2）（x22+2）

=（x1x2）2+2（x21+x22）+4

=（x1x2）2+2[（x1+x2）2-2x1x2]+4

=4+2（16-4）+4

=32.

故选（B）.

注 Δ≥0是根与系数关系式成立的必要条件，也就是说，系数a，b，c要满足Δ≥0.求得系数后，别忘代入原方程检验Δ是否大于或等于0，若Δ<0，则所得系数值应舍去.

3 与根的定义结合解与两根有关的求值问题

例4 已知m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）

（A）2019.（B）2020.

（C）2021.（D）2022.

解 因为m，n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，

所以m2+m-2021=0（方程根的定义），

即m2=2021-m，m+n=-1.

所以m2+2m+n=2021-m+2m+n

=2021+m+n

=2021+（-1）

=2020.

故选（B）.

注 瞄准所求式子，将由方程根的定义得到的式子进行变形，将二次项用含一次项的式子表示出来，这种变形称为降次法.

例5 已知a，b是方程x2-3x-5=0的两根，则代数式2a3-6a2+b2+7b+1的值是（）

（A）-25. （B）-24. （C）35. （D）36.

解 因为a，b是方程x2-3x-5=0的两根，

所以a2-3a-5=0，

b2-3b-5=0（方程根的定义），

即a2-3a=5，b2=3b+5，

a+b=3.

所以2a3-6a2+b2+7b+1

=2a（a2-3a）+b2+7b+1

=10a+3b+5+7b+1

=10（a+b）+6

=10×3+6

=36.

故选（D）.