随机变量累积分布函数的教学设计与实践

王军威，李光洁，袁 媛，曾 丽

（广东外语外贸大学数学与统计学院，广东 广州 510006）

0 引言

概率论是高校理工类、经管类专业的必修课程，是研究随机现象统计规律的一个数学分支。为更方便有力地研究随机现象，需将随机事件数量化，从而促使了随机变量概念的建立。用随机变量描述随机现象是近代概率论中最重要的方法。随机变量的累积分布函数的引入把对随机变量的概率计算转化为对累积分布函数的数值运算。因此，研究随机变量及其分布是概率论的主要任务，也是学习概率论必须掌握的重要知识点。

随机变量及其分布等概念的建立使概率论发展成为一个更高的理论体系，正是如此，我们可以用微积分作为工具来研究随机现象的统计规律。然而，我们发现学生开始学习随机变量及其分布时，对累积分布函数的直观理解掌握较好，但缺乏对其深层次的理解。究其原因在于学生不能真正理解累积分布函数的分析性质，从而影响学生对累积分布函数的应用，成为学习概率论向分析化过渡阶段的拦路虎。为此，我们尝试基于翻转课堂的混合模式设计教学过程，遵循“以学生为主体”的教学理念，把累积分布函数的预备知识和基础知识设计为课前任务单，发挥学生的自主学习探究能力，为课堂教学做足做好知识储备；在课堂教学时，庖丁解牛式讲授累积分布函数的分析性质，聚焦于累积分布函数的全面深入理解，培养学生用微积分技术研究累积分布函数的习惯。

1 随机变量累积分布函数的教学设计

为突出我们的教学设计思路，教学过程仅展示“课前准备”和“课堂教学”两个阶段，如图1所示。我们把累积分布函数的预备知识和教材基础知识放在“课前准备”阶段，要求学生课前自主学习，并完成自主诊断，这是高质量“课堂教学”阶段的重要保障，也是学生自主学习获取知识的重要环节。

图1 累积分布函数的教学设计思维导图

2 课前任务单设计

2.1 函数极限相关任务单

2.2 函数极限与数列极限关系相关任务单

3 课堂讲授设计

通过回顾随机变量概念入手介绍累积分布函数的定义，主要从“概率属性”和“函数属性”两个维度引导学生全面深入理解累积分布函数。在讲解累积分布函数的性质时，主要以微积分作为工具庖丁解牛式地推演性质的证明过程，培养学生的逻辑思维能力。

3.1 累积分布函数的定义

3.2 累积分布函数的性质

在（4）规范性的证明中，我们使用了自变量趋于无穷大时函数极限的归结原则，而该知识点我们并没有布置在课前任务单中，此时我们通常把（4）规范性的证明布置为课堂实践或小组讨论，让学生在自主实践或合作实践过程中锻炼定量思维、逻辑表达等能力。

在学习累积分布函数的概念和性质后，学生对该模块内容有了深层次的理解，课堂实践也增加了知识学习过程的体验。为全面学习累积分布函数的相关内容，我们抛出问题“满足定理3中四条基本性质的函数是否必是某个随机变量的累积分布函数？”引发学生思考，并给出相关结论供学生课外探究。

由于定理4的证明要用到测度论的方法，已超出本课程范围，在此不予讨论，感兴趣学生可参考参考文献[2][4]。

4 结论

遵循“以学生为主体”的教学理念，我们设计的课前任务单充分发挥学生的自主学习能力，通过自我诊断获得累积分布函数的预备知识；课堂讲授聚焦累积分布函数的分析性质，在环环相扣的证明推演过程中使学生获得逻辑思维的锻炼。教学实践表明，我们的教学设计使学生更深入地理解累积分布函数的“概率属性”和“函数属性”。我们的教学设计有利于学生全面掌握累积分布函数的知识，为后续概率论的高阶学习打下基础，同时也有利于学生在概率论学习中养成分析、抽象、推理等数学思维方式，提高学生利用微积分技术解决概率问题的能力。