高三数学课堂高效习题设计的探讨

◎龙贵妍 （佛山南海西樵高级中学，广东 佛山 528000）

一、前 言

1.新课标对高三学生的数学素养能力要求提高了.

学科核心素养，是此次高中改革提出的核心概念之一，是指学生在相应课程的学习之后，应达成的正确的价值观、必备的品格和关键能力.数学核心素养包括以下方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.这些数学的核心素养的培养对高三学生来说就是在数学中解决问题能力的培养.

2.高三数学的复习课需要设计高效的课堂习题.

习题训练是高三数学课堂的重要活动之一，是学生复习数学知识、巩固数学知识、培养数学思维能力和提升数学解题能力的必要手段.但是，当前许多习题训练都采用题海战术，把相类似的题目收集来就给学生做，造成学生负担大、效率低，从而降低学生学习数学的兴趣.另一方面，学生只会模仿练习，知识迁移的能力弱，换一个说法就是完全不懂题意，或换一个背景就不会分析题目，不利于学生数学思维能力的培养和解决问题能力的培养.

3.高三数学课堂高效习题设计的原则.

高三数学课堂中的有效教学，主要是指教师在课堂教学中遵循数学教学活动的客观规律，采用适当的教学形式，面向全体学生，投入尽可能少的时间、精力和物力以达成数学教学目标和满足学生发展需求的教学.笔者认为，高三数学习题的设计须遵守一些原则，比如，以学生的原有知识为基础设计学生能够接受的难度的习题，设计的习题要有梯度，等等.

二、设计高效的高三数学课堂习题

1.通过习题重现数学概念，帮助学生理解概念.

2.高三数学复习课堂习题的设计要有梯度.

课堂习题的设计要有梯度，要循序渐进，让学生的思维发展经历一个由浅入深的过程，从而完善知识结构.例如，在复习函数的导数应用之单调性的其中一种题型时，针对利用构造函数法解不等式、比较大小等问题，笔者设计了以下题目：

解析 令（）＝（）-，则′（）＝′（）-2.∈［0，＋∞）时，′（）＝′（）-2＞0，所以（）在［0，＋∞）上是增函数.（-）＝（-）-（-）＝（）-＝（），所以（）为偶函数，（）在（-∞，0）上是减函数.因为（-2）-（）≥4-4，所以（-2）-4＋4-≥（）-，所以（-2）-（-2）2≥（）-，即（-2）≥（），所以｜-2 ｜≥｜｜，所以≤1.故选A.

题目3 （2019南昌市摸底调研）已知函数（）是定义在R 上的偶函数，设函数（）的导函数为′（），若对任意＞0 都有2（）＋′（）＞0成立，则（ ）.

A.4（-2）＜9（3）B.4（-2）＞9（3）

C.2（3）＞3（-2）D.3（-3）＜2（-2）

解析 根据题意，令（）＝（），其导数′（）＝2（）＋′（），又对任意＞0 都有2（）＋′（）＞0 成立，则当＞0 时，有′（）＝（2（）＋′（））＞0 恒成立，即函数（）在（0，＋∞）上为增函数.又由函数（）是定义在R上的偶函数，则（-）＝（），则有（-）＝（-）2（-）＝（）＝（），即函数（）也为偶函数，则有（-2）＝（2），且（2）＜（3），则有（-2）＜（3），即有4（-2）＜9（3）.故选A.

上面三个题目的画线式子都提示了构造一个新的函数来解决问题，但是构造的函数的难度是从浅到深的，给学生一种从看不懂题目到能够自己做出来的过程，使学生经历了把知识内化并能应用的过程.通过有梯度的题目设计，学生能顺利地掌握知识.

3.课堂习题的设计要体现数学素养的培养.

数学的教学要以培养学生的数学素养为目的，高三的数学复习课堂也不例外.在高三复习时，课堂习题的设计要体现出对学生数学素养的培养，因此我们在选题的时候，要针对每个素养能力的培养有侧重地选择.例如，在培养空间想象能力时，可以选择立体几何的题目，减少对计算的要求.在培养学生的计算能力时，可以选择一些解方程或解析几何的题目进行训练.

4.高中数学课堂习题的设计注重对解决数学问题的能力的培养.

教师在设计课堂习题的时候也要顾及学生的心理状况.比如，学生一直都很害怕长题目，一看就不愿意去做，越是这样，教师就越不能迁就，要鼓励学生去分析问题，寻找解决问题的办法.例如，在讲授函数的应用题的时候，教学生如何审题，笔者采用了一道长题目进行分析.

学生刚开始看到题目的时候，基本上不愿意动笔，觉得太长.笔者鼓励他们尝试审题，舍掉没有用的背景文字，找出核心内容，很快，学生从害怕题目，到后来能轻松解决问题，感受到了成功的喜悦.

5.设计习题要符合学生的心理特点，能激发学生的成就感.

高中数学课堂习题的设计还要注意学生的心理特点，开展小竞赛的方式能调节课堂氛围，激发学生的成就感和做数学题目的信心.设计一些开放性的题目让学生去思考，引导学生多角度、多方面思考问题，培养学生的数学思维能力和创造力.

6.新课标下，多选题要根据高考要求进行设计.

从2021 届开始，数学高考增加了多选题这一题型.笔者觉得这种题型虽然是新题型，但本质上并不“新”，“正确选项有哪些”这类的旧题其实就是多选题，所以教师在思想上给学生多一点鼓励，让学生不怕这种新题型.例如，（2020·山东多选题）已知曲线：＋＝1，则以下正确的是（ ）.

三、注重学生习题训练形式的设计

（一）习题训练形式的设计在使用中存在的问题

1.习题训练形式设计机械化.有些教师直接在题库中把以往的题目复制粘贴过来，给学生进行机械的课堂练习，忽略了课堂实际和学生的接受能力，既占用了课堂时间，也没有发挥课堂练习的效果.

2.习题设计形式、方法单一.课堂练习往往是给时间让学生动手运算，然后老师评讲，这种形式过于单一，练习缺乏层次性和开放性，不能满足不同层次学生的需求，极大束缚了学生思维能力的发展.

3.习题设计形式“一刀切”，没有关注学生的差异.每个学生的学习基础、接受能力都不同，同样的练习肯定会有人“吃不饱”，有人“吃不了”，所以课堂练习要关注学生的差异，力求满足每个学生的需求.

（二）习题形式设计和筛选要具有反思性

（三）习题形式的设计和筛选要具有层次性

高三数学课堂练习要考虑到练习的难度和层次必须适合不同学生的现有水平，充分考虑学生的不同需求，为所有学生发展提供帮助，为学生的不同发展提供较大的选择空间.因此课堂练习的设置应由易到难进行安排，使课堂的练习既可以让学生体验成功，培养学生学习兴趣和信心，又不至于因练习太易或太难而使学生失去认真练习的动力.

例如，笔者带领学生复习函数的基本性质，利用定义证明函数的单调性时，同学们都清楚步骤：设元→作差→变形→判号→定论，但是往往在变形这一步中不会因式分解，导致判号乱下结论，于是为了训练学生用定义证明函数的单调性，笔者给出了以下练习.

练习1：证明函数（）＝-2＋1 在R 上是减函数.

练习2：证明函数（）＝-＋2＋3 在（-∞，1）是增函数.

上面的练习设计是从简单的一次函数到二次函数，再到分式函数，最后是根式函数，层层深入，攻破难点，力争满足每个学生的不同学习需求，照顾学生的发展水平.

（四）习题形式的设计要具有对比性

在高三数学课堂教学数学概念的时候，笔者发现学生很容易张冠李戴，分不清楚问题的类型.针对这样的情况，笔者常用对比性的习题让学生分析，自己寻找规律，这对于学生理解概念有事半功倍的效果.例如，在学习求解切线方程时，学生会遇到在某点处的切线方程和过某点的切线方程两个问题，学生容易理解第一个问题，却经常搞错第二个问题.针对这一情况，笔者设计了3 个习题给学生练习：

已知曲线（）＝3-，求曲线在点(1，2)处的切线方程.

已知曲线（）＝3-，求曲线过点(1，1) 的切线方程.

已知曲线（）＝3-，求曲线过点(2，-2)的切线方程.

学生分别对三个练习进行分析、计算，发现其中的不同点.对于练习（3），很多学生错解为点在曲线（）＝3上，然后对函数进行求导，得（）＝3-3，再代入′（2）＝-9，得到所求切线方程为＋2 ＝-9（-2），即9＋-16＝0.但曲线过点的切线与曲线在点处的切线不同，前者既包括点处的切线，也包括过点但切点为另一点的切线，解题时必须理清思路，弄清题意.该题的正确答案为当切点为 (-1，-2)，又过点 (2，-2)时，切线方程为＝-2，当切点为(2，-2)时，切线方程为9＋-16 ＝0.很多学生容易忽略＝-2 这个答案而导致出错.通过这样的练习，学生对在某点处的切线方程和过某点的切线方程有了更深层次的理解，学生再犯错的概率也会降低很多.

学生在进行习题训练的时候形式要多样，一节课都是同一个形式的练习，学生会觉得比较闷，很自然会开小差.比如，不需要大量计算的简单题，可以以抢答、口答的形式完成；图形题目可以让一个学生上黑板讲，其他学生听，分析其中的正误；计算类型的题目可以让学生从头到尾自己进行演算，培养学生的运算能力.

结 语

总之，数学习题作为高三复习的主要工具和手段，应设计并利用好，最大程度上提高高三复习的效率.数学题目既要用得恰当，又避免题海战术，更要培养学生的核心数学思维能力，适应新高考和新课标的要求，这些一直是我们研究和努力的方向.