具有时滞的HR神经元模型的分岔分析

陈国泰，郑艳红，易 丹，曾巧云

（福建师范大学数学与统计学院，福建福州 350117）

在大多数的物理和生态系统中，时滞是普遍存在的.它主要来源于信号有限的波动速度.由于时滞的出现，使得有限维的动力系统转变为无穷维的动力系统，并且诱导了更为复杂的非线性动力特征[1].此外，在神经元模型中，时滞的存在往往会导致神经模型的平衡点失去原有的稳定性.神经系统是由众多的神经元组成的复杂的生物神经元网络，神经元作为神经系统的基本功能和单位，其活动具有高度的非线性，因此时滞神经模型系统的非线性行为吸引许多学者的关注.目前，通过对神经元的了解，人们已经建立了H-H(Hodgkin,Huxley)，HR(Hindmarsh-Rose)和Chay 等神经元模型[2-4]，运用这些模型可以精确地模仿神经元的放电活动.近年来，由于HR 神经元形式简单，为了更好地了解信息在大脑的传播，HR神经元模型通常被作为分析现实神经元网络的理想模型.因此，基于以上想法，对HR 神经元模型进行改进，加入时滞，建立新的模型，如

1 正平衡点分析

假设E0(x*,y*,z*)是式(1)在τ=0 的平衡点，令上述时滞微分方程模型右端为0，则x*应该满足下列等式:

2 Hopf分岔分析

为了进一步分析式(1)在平衡点处Hopf 分岔的存在性，作以下平移变换[5]：，仍用表示x，y，z，那么，式(1)等同于以下系统:

在本节中，考虑两种情形.

情形1τ=0，式(6)变为

由Routh-Hurwitz 判据[6]可得：

定理1式(1)在平衡点处是渐进稳定的当且仅当式(7)的全部特征根都具有负实部，即式(7)的系统满足条件H(2)a1＞0，a1(a2+a4)＞(a3+a5)＞0.

式(7)的全部特征根都具有负实部，即式(3)在平衡点( 0,0,0)处是局部渐进稳定的，式(1)在E0(x*,y*,z*)处是局部渐进稳定的.

下面考虑时滞系统式(3)在平衡点( 0,0,0)稳定性的影响，由于式(6)的根与τ必然存在联系，因此τ的变化会导致式(6)根的变化，若存在τ的一个临界值，使得式(6)的某个根出现为0 的实部，则在此临界处式(3)在平衡点( 0,0,0)处的稳定性将发生改变，在某些条件下会从平衡点( 0,0,0)处分岔出一簇小振幅的周期解，即在平衡点( 0,0,0)处出现了Hopf分岔[7].

情形2τ＞0，则式(3)的特征方程仍为式(6).设式(6)有虚数根，设虚数根为λ=iω(ω＞0)，将λ=iω代入式(6)可得

将式(8)分离实部、虚部可得

则

因此，根据Rouche[8]定理及其相关定理可得以下结论.

定理2假设满足条件H(1)，H(2)，H(4)和H(5)，那么以下条件成立：

(i)当τ∈[ 0,τ0)时，时滞HR神经元式(1)在平衡点E0(x*,y*,z*)处是渐进稳定的；

(ii)当τ=τ0时，时滞HR神经元式(1)在平衡点E0(x*,y*,z*)处产生Hopf分岔；

(iii)当τ∈[τ0,+∞)时，时滞HR神经元式(1)在平衡点E0(x*,y*,z*)处是不稳定的.

3 数值模拟

在本节，将对第1 节和第2 节中所获的结论给出数值模拟，在数值模拟之前，首先对原时滞系统式(1)中的各个系数进行赋值：

代入HR神经元式(1)得到

图1 式(1)的时间历程图( τ=0)

当τ＞0时，易知条件H(4)和H(5)满足，通过计算求得ω0=1.06，τ0=1.95，所以当τ=1.85 ＜τ0=1.95时，式(19)在平衡点E0(1 .552,0.883,3.052)处是渐进稳定的.如图2，这里的初值为( 2.38,2.38,2.38).

图2 式(1)的时间历程图和相轨迹图(τ=1.85)

当τ=2.01 ＞τ0=1.95 时，式(19)在平衡点E0(1 .552,0.883,3.052)处是不稳定的.如图3，这里的初值为( 2.38,2.38,2.38).

图3 式(1)的时间历程图和相轨迹图(τ=2.01)

4 结论

本文主要提出了一类具有时滞的HR 神经元模型，探讨了HR 神经元模型正平衡点的存在条件，通过分析HR神经元模型的特征方程根的分布，推出了模型产生Hopf分岔的条件.发现当时滞小于临界值时，HR 神经元模型是渐进稳定的，而当时滞大于临界值时，HR 神经元模型失去稳态并且产生Hopf 分岔.最后，对所获得的结论进行数值模拟，进一步验证了理论的可行性.但对于Hopf分岔的性质，有待进一步的研究.