矩阵的几类常见乘积及其应用

程利芳

(郑州航空工业管理学院 数学学院，河南 郑州 450046)

线性代数作为数学的一个独立分支在物理学、计算机科学、经济管理、航空科学等领域有着广泛的应用。矩阵作为线性代数学科的一个主要研究工具，在计算行列式、求解线性方程组、研究线性变换等方面发挥着至关重要的作用。因此，对矩阵理论知识的掌握程度直接影响着整个课程的学习。矩阵的乘法是矩阵的一种基本运算，也是矩阵运算的重要内容之一。学习者不免质疑矩阵的乘法为何如此定义，有没有其它的乘法定义方式？矩阵乘法主要应用在哪些方面？为了回答这些问题，本文介绍了几种常见的矩阵乘积,并讨论了不同乘积在各个领域的应用。

1 矩阵的乘积

几类常见的矩阵乘积: 矩阵的一般乘积、克罗内克积(Kronecker)、阿达马积与Fan积。

定义1.1 设矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)n×p，则矩阵A与B的乘积是一个m×p矩阵C=(cij)m×p，其中cij是A的第i行元素与B的第j列元素对应相乘再相加，即

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj

记作C=AB。

定义1.2 设A=(aij)m×n,B=(bij)p×q，则称分块矩阵

为A与B的克罗内克(Kronecker)积[1]，记为A⊗B=(aijB)mp×nq。

定义1.3 设矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)m×n，称A与B对应元素相乘而得到的m×n矩阵

为A与B的阿达马积[1]，记作A∘B=(aijbij)m×n。

定义1.4 设矩阵A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，令

称(cij)m×n为A与B的Fan积[1]，记作A★B=(cij)m×n。

注：Fan积是阿达马积的一种变异。

2 矩阵各类乘积的应用

2.1 一般乘积的应用

2.1.1两矩阵乘法色图展示

在计算机数字图像处理程序中,可以将一幅图定义为一个二维数组的函数f(x,y),其中(x,y)表示取样后图像上点的坐标,幅值f(x,y)表示该点的像素。利用matlab中的image函数[2]，直接把像素矩阵中的数f(x,y)当成索引值,该索引值在colormap中对应于颜色RGBf(x,y)。图1展示了像素矩阵A与像素矩阵B的乘积矩阵AB与BA,对比发现图1(c)与图1(d)对应的颜色不同,可见矩阵乘法不满足交换律。

注：由于image函数默认的颜色数据映射是jet(64),它直接将数值解释为当前颜色图中的索引而没有缩放,从而颜色范围为[RGB1,RGB64]中的整数。当矩阵中的数小于1时,此时默认颜色为RGB1,当矩阵中的数大于64时,此时默认颜色为RGB64。所以很容易解释为什么图1(c)与1(d)中,数77，85，70对应的颜色相同了。

2.1.2图像的剪切变换与旋转变换

剪切变换是空间线性变换之一,它类似于四边形的不稳定性，由矩形变为平行四边形,是任意一边都可以被拉长的变换。旋转变换是由一个图形绕一个固定点沿某一方向转动一个角度θ得到另一个图形的变换。下面以图1(c)为例介绍这两个变换的实现步骤。首先，使用imshow命令将图1(c)导入; 其次，定义剪切变换矩阵或旋转变换矩阵; 再次，使用maketform函数创建结构体; 最后，使用imtransform函数执行变换。对图1(c)进行x,y轴方向剪切系数为0.2，0.1的剪切变换得到图2(a)。图1(c)沿其左下角顶点逆时针方向旋转30°得到图2(b)。

图1 图像矩阵A与B及其乘积AB与BA

图2 图1(c)矩阵的剪切变换与旋转变换

2.1.3飞行动力学中常用坐标系之间的转换

飞机运动一般是复杂的空间运动,为了描述其运动特性并建立适当的运动学方程,首先需要建立相应的坐标系统。常用的坐标系有：地面坐标系、机体坐标系、速度坐标系与航迹坐标系等[3-4]。各坐标系之间的转换用欧拉角的转换矩阵来表示。从原坐标系到目标坐标系相当于对原坐标系进行了一系列的旋转变换。

地面系与机体系之间存在着欧拉角——偏航角ψ，俯仰角θ与滚转角φ(如图3(a))，地面系到机体系的转换矩阵为

速度系相对于地面系的方位,由三个欧拉角来确定,分别为:速度偏航角χ、速度俯仰角γ与速度滚转角μ(如图3(b))。地面系到速度系的转换矩阵为

地面系与航迹系之间的关系有航迹偏角与航迹倾角来确定。当飞机在无风的平静大气中飞行时，速度轴系的x轴与航迹系的x轴重合。因此，速度俯仰角和速度偏航角与航迹倾角和航迹偏角重合，如图3(c)所示。地面系到航迹系的转换矩阵可简化为

速度系与机体系之间的相对位置关系有迎角α与侧滑角β来确定,如图3(d)所示。机体系到速度系的转换矩阵为

(a)偏航角ψ，俯仰角θ与滚转角φ

由逆变换的性质可知，若要从目标坐标系回到原坐标系，只需左乘转换矩阵的逆矩阵即可。

2.2 Kronecker积的应用

2.2.1 Kronecker积在分形中的应用

分形[5]是局部与整体具有自相似结构的集合,几何形态上呈现出无限嵌套层次的精细结构。在图像处理中,一些黑白方块相间的矩形可以用0或1作为元素的矩阵来呈现。矩阵的Kronecker乘积A⊗B将矩阵B嵌入矩阵A的各个元素所在的位置，其中A反映了A⊗B图像的整体轮廓，B反映了A⊗B内部的精细结构,所以分形结构可以用矩阵的Kronecker积来展示。

给定矩阵

图4(a)为矩阵A的图像，图4(b)为矩阵B的图像，A与B的嵌套结构如图4(c)所示。

图4 矩阵A，B与A⊗B的图像

2.2.2 Kronecker积在解矩阵方程中的应用

对于矩阵方程AX=B与XA=B的解不少文献中已有研究[6-7]。在线性代数课程中,对于形如AXB=C的矩阵方程,当A，B均为方阵且可逆时,则矩阵方程的解为X=A-1CB-1。而当A，B不是方阵或者不可逆时,书中没有给出通用的解法,下面我们将展示此矩阵方程的解法。

2.3 阿达马积与Fan积的应用

2.3.1阿达马积在盲信号分离中的应用[8]

给定k时刻的n维源信号向量sk,经过混合矩阵A的作用产生m维观测向量xk，现构造自适应更新权矩阵Wk,使得yk=Wkxk是sk的估计。

在盲信号分离自适应算法中[9-10],经典的更新权矩阵可表示为Wk+1=WK+ηkG(yk)Wk,其中ηk称为学习速率,它决定了算法的收敛速率和信号跟踪性能。当ηk取常数时,兼顾收敛速率与信号恢复质量是困难的。当ηk取时变函数或自适应学习速率时,也没能实现和信号的分离状态或相依性直接相连,效果有限。为了克服这一缺陷,张[11]等人利用阿达马积提出了分阶段学习的盲信号分离算法:

Wk+1=Wk+Λk∘G(yk)Wk

在初始阶段,各信号通常是强相依的,为了加速混合信号的分离,学习速率矩阵Λk的元素取较大的值。为了凸显对信号的捕捉与分离能力,捕捉阶段的学习速率矩阵Λk采用对角矩阵,对角元素对应不同信号分量的学习率。为了减小各分量之间的相互影响,提高信号的恢复质量与分离精度,跟踪阶段的学习速率矩阵Λk各元素应取较小的值。采用这种学习方法,彰显了信号分离状态与学习速率之间的关系,很好地控制了信号的收敛与跟踪,分离效果也更明显。

2.3.2 Fan积的应用

M矩阵(非对角元素均非正,所有主子式均正的实方阵)在工程与经济领域有着重要的应用。在网络计算中,M矩阵可以用来断定一个离散系统是否稳定;在数值计算领域,M矩阵可以用来判定一个迭代系统是否收敛;在经济学领域,M矩阵可以用于经济系统的leontief投入—产出分析。

由M矩阵的性质知，若A，B是M矩阵,则A☆B也是M矩阵。M矩阵的Fan积是特殊的矩阵乘积,它被广泛地应用到偏微分方程的弱极小原理和概率论的特征函数等方面的研究。近年来,关于M矩阵的Fan积最小特征值下界的估计成为一个新的研究课题[12-14],备受学者们的关注。在谱图理论中,矩阵的最小非平凡特征值可以用来刻画图的代数连通度[15],可用于判别一个图是否是某个图的线图[16],也可用于度量图的二部性[17]。当矩阵的阶数较高，最小特征值不能直接求出时,对最小特征值的估计就显得尤为重要,所以对特征值下界的估计具有十分重要的实用价值。

3 结 论

本文在给出矩阵的一般乘积、克罗内克积、阿达马积与Fan积定义的基础上，研究了各个乘积在不同领域的应用。研究结果表明，图像的剪切与旋转变换以及坐标系之间的转换可以用一般的矩阵乘法来实现；几何形态上的无限嵌套层次结构是由于两个图形之间施行了Kronecker积；信号的捕捉与分离可以用阿达马积的分离算法来实现；M矩阵Fan积最小特征值可以用来刻画图的代数连通度与度量图的二部性。