直觉模糊n-cell数及其构造方法

刘启函， 刘 靖， 叶国菊， 刘 尉

（河海大学理学院，南京 211100）

现实生活存在各种不确定信息，为了更好地表示这些信息并加以有效利用，Chang 和Zadeh［1］在概率函数的基础上，提出了模糊数的概念. 此后，模糊数（1 维或n维模糊数）及其相关问题得到了广泛研究与应用［2-6］. 由于模糊数只通过隶属度对不确定信息进行描述，而在实际问题求解中，隶属度函数往往依据专家的主观经验确定，即获取方式不够客观，且本身就具有一定的不确定性. 为了精确地刻画不确定信息，1986年保加利亚学者Atanassov［7］提出了直觉模糊集的概念，在隶属度函数的基础上引入了非隶属度函数，可以更加细腻地对不确定对象进行描述. 此后，直觉模糊数在不确定决策等领域得到了成功应用［8-10］. 另一方面，虽然n维模糊数能很好地解决多属性不确定性问题，但是难以直观地表示，这给应用带来了很多不便.2002年，Wang 和Wu［12］将Kaleva 使用的一种特殊的n维模糊数［11］定义为模糊n-cell 数，并且证实了模糊n-cell 数比一般的n维模糊数应用更加方便. 作为一种特殊的n维模糊数，模糊n-cell数同样仅使用隶属度函数来描述不确定信息. 为更清晰地表征高维不确定信息. 本文在模糊n-cell数的基础上，参考直觉模糊集引入了非隶属度函数，定义了直觉模糊n-cell数.

1 预备知识

本文是对模糊n-cell数的一种推广，所以本节将介绍n维模糊数和模糊n-cell数的基本概念和表现定理.设u满足u:Rn→I=[0,1]，则称u是Rn上的一个模糊集. 任取r∈( 0,1]，记[u]r为模糊集u的r-截集，其中[u]r={x∈Rn:u(x)≥r} .

定义1［12］若模糊集u满足如下四个性质：

1）u是正规的，即∃x0∈Rn使得u(x0)=1；

2）u是模糊凸的，即∀x,y∈Rn，0 ≤λ≤1使得u(λx+(1 -λ)y)≥min{u(x),u(y)}；

3）u是上半连续的，即∀xk∈Rn（k=0，1，…，n），xk→x0使得u(x0)≥u(xk)；

4）[u]0是紧的，则称u是一个n维模糊数. 全体n维模糊数的集合记作En.

n维模糊数可以很好地表示高维不确定信息，但是难以直观地表示. 2002年，Wang和Wu［12］将Kaleva使用的一种特殊的n维模糊数定义为模糊n-cell数，并且应用到了排序［13］、分类等问题中.

定理1［12］如果u∈L(En)，则有

2）对于任意0 ≤r1≤r2≤1，有[u]r2⊂[u]r1；

2 主要结果

2.1 直觉模糊n-cell数

Wang和Wu［12］将模糊n-cell数很好地应用到了不确定信息的排序、分类、识别等场景中，但是与n维模糊数相同，模糊n-cell数只是利用单一标度的隶属度同时表示模糊现象或模糊概念的支持和反对两种对立状态. 而实际问题中往往存在支持与反对之外的第三种情况，即犹豫. 用投票模型可以解释为：有赞成票，有反对票，还有弃权票. 为此，本文采用了直觉模糊集的思想，在模糊n-cell 数的基础上，加入了犹豫度的概念，定义了直觉模糊n-cell数.

定义3如果u(x)=(μ(x),v(x))∈En，x∈Rn，μ、v分别为u的隶属度函数和非隶属度函数，满足如下条件：

1）∀x∈Rn，有0 ≤μ(x)+v(x)≤1；

满足这三个条件，则称u是一个直觉模糊n-cell 数. 全体直觉模糊n-cell数构成的集合记作IL(En).

对于一个直觉模糊n-cell数u，我们记π(x)=1-μ(x)-v(x)为其犹豫度函数. 特别地，当π(x)=0，即μ(x)+v(x)=1 时，u为模糊n-cell数. 图1为一个直觉模糊2-cell数.

图1 直觉模糊2-cell数Fig.1 Intuitionistic fuzzy 2-cell number

为了进一步说明直觉模糊n-cell 数与经典集合之间的关系，本文基于模糊n-cell数的表现定理（定理2），给出了直觉模糊n-cell数的表现定理.

证明由定理2可得，定理3中条件③以及①、②、④的前半部分显然成立，下面证明后半部分.

由IL(En)的定义知(β)(β)（i=1，2，…，n）分别是非增和非减的. 设{βm} 是一个正的且收敛到β∈[ )0,1 的非增序列，于是有

若{βm} 是一个正的且收敛到1的非减序列，则有

于是有

故结合定理1可知，∀α，β∈[0 ,1] 存在唯一的u=(μ,v)∈IL(En)使得

2.2 构造方法

对于高维不确定数据，我们参考Wang 等［13］的方法，基于数据的均值和离散度，设计了一种直觉模糊n-cell数的构造方法.

现有某种不确定（边界不确定）或不准确观测目标O，假设O具有n个不同的（数字）特征，用oi（i=1，2，…，n）表示第i个特征，则我们可以通过如下步骤构造一个直觉模糊n-cell数u表征观测目标O.

步骤1：根据实际情况，对于每一个特征oi，即每一个i（i=1，2，…，n）均确定一个适当的取值范围，记为Di.

步骤2：任取O的m个样本，并对第j（j=1，2，…，m）个样本的n个特征分别获取一个观测值，记为(o1j,o2j,…,onj)T. 这样就可以获得以下数据：

步骤3：对于每一个i（i=1，2，…，n），分别计算出每个特征量的均值（记为ei）以及左、右离散度（分别记为Lσi和Rσi），即

其中，NLi和NRi分别表示满足oijei的m个观测值oi（jj=1，2，…，m）中的所有oij的个数.

步骤4：对于每个i（i=1，2，…，n），构造1-维三角形直觉模糊数ui(x)=(x,μi(x),vi(x))，其中：

式中，λ，λ′∈[2 ,4] 是两个参数，可以根据实际情况选取且需满足λ≤λ′.

步骤5：构造直觉模糊n-cell数

来表征不确定对象O，之后可以应用u进行排序、分类等.

3 结语

较之传统的n维模糊数以及模糊n-cell数，直觉模糊n-cell数可以充分利用不确定信息，并且一定程度上削减了隶属度函数确定的主观性. 通过将多维不确定信息进行模糊构造，表征为直觉模糊n-cell数，可以进一步分析利用，实现模糊排序、分类、模式识别等.本文定义了直觉模糊n-cell数，给出了直觉模糊n-cell数的一种构造方法. 文中只选取了目标数据的均值和离散度进行模糊数构造，可以比较其他模糊数构造方法进一步改善数据表征效果，从而使得后续数据处理（如排序、识别等）结果更加有效.