煤粒瓦斯非稳态扩散机理研究
2022-07-16王志亮陈学习
王志亮,陈学习,杨 涛
(华北科技学院 安全工程学院,北京 东燕郊 065201)
0 引言
矿井瓦斯是制约煤矿高产高效及安全生产的主要灾害因素，而采掘工作面的落煤瓦斯是井下主要的瓦斯涌出源之一。瓦斯在煤体内的运移过程可分为三个阶段[1]：第一阶段是瓦斯分子由煤基质内表面脱附解吸，由吸附态变为游离态；第二阶段是瓦斯分子穿过微孔向外部裂隙系统的运动，即在浓度梯度作用下从煤的小颗粒涌出到煤层的裂隙系统(煤层节理、割理系统)中，该过程是一个扩散过程；第三阶段是瓦斯气体在压力梯度的作用下，在煤层节理、割理系统中的运移，该过程是一个渗透过程。这三个阶段相互衔接、相互影响，其中运移速度最慢的阶段决定了瓦斯的运移速度。大量研究表明[2,3]，在较大的孔隙和裂隙中，瓦斯流动符合渗透定律，而在较小的孔隙系统中，瓦斯气体的运移符合扩散定律。以往对煤粒瓦斯扩散的研究主要分析瓦斯在煤体内部的运移[4]，未考虑煤粒边界处的质量交换。本文基于前人煤粒瓦斯扩散的研究成果，同时考虑了煤粒表面的传质阻力和质量交换，建立了更为完善的煤粒瓦斯扩散数学模型，并用工程数学方法推导出了其解析解。研究结果进一步完善了瓦斯扩散机理，同时对现场瓦斯防治提供理论依据。
1 煤粒瓦斯扩散数学模型的构建
通过对大量不同煤质、不同尺度的煤粒进行瓦斯扩散实验测定[5-7]，结果表明当粒径小于极限半径时，煤粒内的瓦斯流动较好地符合扩散定律；当粒径大于极限半径时，测定结果与理论分析存在一定偏差。究其原因是大块煤粒内部必然存在较大孔隙或裂隙，这些孔隙或裂隙必然对瓦斯扩散过程产生影响。对此，可将任何煤粒看成由极限半径组成的煤屑集合体，同时考虑煤粒表面与外界的质量传递影响因素，则煤粒的瓦斯扩散物理模型如图1所示。
图1 煤粒瓦斯扩散球坐标示意图
在图1中，r0为煤粒半径，r为煤粒内部的瓦斯扩散动态半径，煤粒中吸附瓦斯和游离瓦斯达到动态平衡状态。含瓦斯煤粒与外部环境构成一个混合物体系，当瓦斯浓度存在梯度差时，必然发生削弱浓度不均匀性的变化过程，即高浓度瓦斯分子向低浓度的迁移变化，这就是质量传递现象，该过程包含分子扩散和对流扩散[8]。当煤粒的固气边界处瓦斯压力发生变化，游离状态的瓦斯与外界发生质量传递，并服从对流质量交换定律。与此同时，临近边界处的吸附瓦斯解吸为游离瓦斯并向煤粒表面扩散，瓦斯浓度变化符合Langmuir吸附定律，瓦斯扩散过程符合质量守恒和连续性原理。初始条件下，整个煤粒内部的瓦斯处于吸附状态；边界处煤粒瓦斯与外部环境发生动态质量交换。由此可构建球坐标系下煤粒瓦斯非稳态扩散的数学模型为：
(1)
式中，C为煤粒的动态吸附瓦斯浓度，kg/m3；C0为煤粒原始吸附瓦斯的浓度，kg/m3；Cp为煤粒原始游离瓦斯的浓度，kg/m3；D为瓦斯扩散系数，m2/s；α为对流质量交换系数，m/s；r0为煤粒半径，m；r为瓦斯扩散动态半径，m。
2 煤粒瓦斯扩散方程的解析解
2.1 分离变量微分方程
为求解扩散方程，设U(r,t)=[C(r,t)-Cp]r,代入式(1)后，煤粒瓦斯扩散数学模型可变为：
(2)
由于式(2)为二次抛物线方程，可用分离变量法求解[9]。设扩散方程具有变量分离形式的非零特解，令：
U(r,t)=R(r)T(t)
(3)
将式(3)代入式(2)中的第一式并整理可得：
(4)
式(4)左端仅为t的函数，右端仅为r的函数，而t和r是两个独立的变量，因此只有两边同为一常数时，等式才能成立。设该常数为-λ，则得两个常微分方程：
T′(t)+λDT(t)=0
(5)
R″(r)+λR(r)=0
(6)
将式(3)代入式(2)中第三、四项中，可得常微分方程R(r)和T(r)满足的边界条件：
R(0)=0
(7)
(8)
2.2 微分方程求解
首先求解方程式(6)的特征函数，按照λ的取值范围分别进行讨论：
(1) 当λ<0时，方程式的通解为：
(9)
由R(r)的边界条件式(7)、(8)可得：C1=C2=0，则R(r)≡0，这与式(2)具有非零解相矛盾，故当λ<0时，R(r)不存在非零解。
(2) 当λ=0，方程式的通解为：
R(r)=C1+C2r
(10)
由R(r)的边界条件仍然得：C1=C2=0，因此当λ=0时，R(r)也不存在非零解。
(3) 当λ>0时，方程式的通解为：
(11)
由R(r)的边界条件可得：
C1=0
(12)
(13)
若使R(r)有非零解，则C2≠0，故有：
(14)
由该式可求得满足条件的一系列λn固有值，与λn对应的一系列R(r)的固有函数为：
(15)
将λn代入式(5)并求解可得T(t)的固有函数：
T(t)=Ane-λnDT(n=1,2,…)
(16)
由式(15)、(16)便得到满足煤粒解吸扩散方程及边界条件的一列非零特解为：
(17)
为求得解吸扩散方程解得一般形式，利用特解的叠加原理可得：
(18)
为满足初始条件，由式(18)和式(2)的第二式可得：
(19)
(20)
将得到的系数An代回式(18)，可得煤粒解吸扩散方程具有分离变量形式的解。再将U(r,t)代回方程U(r,t)=[C(r,t)-Cp]r中，可求得任意时刻煤粒内任意一点的瓦斯浓度，即：
(21)
2.3 煤粒瓦斯扩散量分析
(1) 任意时刻煤粒瓦斯累积扩散量为：
(22)
(2) 当t→∞时，煤粒瓦斯的极限扩散量为：
(23)
(3) 由式(22)和式(23)可得，任意时刻煤粒瓦斯累积扩散量占极限扩散量的比例为：
(24)
式中，A、B分别为比例系数。
对式(24)两边取对数并整理可得：
(25)
3 煤粒瓦斯扩散特性
3.1 阻力分布准数
(26)
3.2 扩散分布准数
煤粒瓦斯扩散过程首先从表面开始，并与外部环境进行质量传递。随着时间的延续，煤粒内部的吸附瓦斯由外向里由吸附态转化为游离态并扩散至煤粒表面。整个瓦斯扩散场由表及里逐次非线性动态发展变化，其变化过程可通过瓦斯浓度来分析。对于煤粒瓦斯扩散浓度，其分布特性采用方程(27)来表示：
(27)
(28)
4 结论
(1) 建立了煤粒瓦斯扩散数学模型，该模型考虑了煤粒边界处瓦斯的传质特性，更具有普遍性和科学性。
(2) 采用分离变量法对煤粒瓦斯扩散数学模型进行推导，借助特征函数和傅里叶级数理论得到了模型的解析解。
(3) 阻力分布准数表征煤粒瓦斯扩散场的阻力特性，反映了瓦斯运移过程中在煤粒内部阻力和表面对流传质阻力的相对大小，外在表现为含瓦斯煤粒的衰减系数。
(4) 扩散分布准数表征煤粒瓦斯扩散场的扰动特性，反映了瓦斯扩散随时间变化波及煤粒内部的深度和范围，外在表现为含瓦斯煤粒的初始涌出强度。
(5) 按照得出的计算公式，可求出任意时刻煤粒内任一点的瓦斯浓度、任意时刻煤粒瓦斯的累计扩散量及时间趋于无限大时煤粒的极限扩散量。由此可对采掘工作面的落煤、采空区遗煤、煤仓等场所的瓦斯涌出量进行计算分析，为现场瓦斯防治提供理论基础。
