MPCK视角下的数学教学分析与设计——以小学“分数基本性质”为例

欧慧谋，张 磊

（韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041）

长期以来，很多教师对如何有效开展教学分析缺乏理论性认识.美国教育家Sulman提出的学科教学知识理论（简称PCK），恰好可以回答这个问题.所谓PCK，意指教师针对学生兴趣和能力，将学科知识加以组织、调整以及呈现，以使学生更容易接受和理解的教学方面的知识，它是学科知识、教育知识及其它相关知识的有机融合［1］.数学学科教学知识（简称MPCK），指教师对数学学科知识（简称MK）、一般教学法知识（简称PK）以及有关学生数学学习知识（简称CK）的综合性认识［2］.研究表明，MPCK 是数学教师专业发展知识的核心［3］，也是影响数学教与学的关键变量［4］.优秀教师之所以优秀，很大原因在于他们在日常教学中形成了丰富的MPCK，反过来又自觉地应用MPCK 指导教学，形成了良性循环.下面以小学“分数基本性质”为例，从MPCK 视角探讨数学教学分析，并由此设计教学，期待为数学教师专业发展与教学设计提供参考.

1 MPCK视角下的数学教学分析

1.1 全面深刻认识新知识

MK 是MPCK 的基础，包括教师对数学知识是什么、从何而来、为何而学以及有何数学思想方法等方面的认识.在教学设计前，教师应结合数学发展历史、知识逻辑以及生活实际，全面深刻梳理新知识，为有效教学设计奠定良好基础.

1.1.1 把握新知识的本质

新知识是什么？有何结构特征？涉及哪些相关概念与关系？教师必须清楚这些问题，否则有效教学将沦为一句空话.以分数基本性质为例，教材的描述是“分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变”.从本质上看，分数基本性质主要涉及分数相等，包括通分（乘法）与约分（除法）两种转化途径.从知识结构上看，分数基本性质具有二重属性，是过程（分子和分母同乘或除以非0 数）与结果（分数大小不变）的辩证统一.从概念及其关系上看，分数基本性质蕴含分数、分数单位以及份数概念，它们是刻画“变”与“不变”辩证关系的基石.这些分析，无疑有助于教师理解分数基本性质.

1.1.2 了解新知识产生的背景

水有源，树有根，任何新知识的出现，绝非数学家一拍脑袋所创造，而是有着深刻的现实或数学背景.教师应自觉寻找新知识产生的背景，并把其嵌入教学实践.譬如，教师可从知识起点与经验起点两方面考虑分数基本性质产生的背景.从知识起点看，分数、分数单位、份数及其相互关系是分数基本性质的逻辑起点，无论是新课导入，还是性质的概括与理解，均要以此为出发点.从经验起点看，学生在均分蛋糕、月饼以及折纸等活动中，已经积累了相关经验，教师应以此为起点，创设学习情境，促进学习.当然，单方面考虑知识与经验意义不大，二者结合才能使教学效果最大化.

1.1.3 厘清新知识学习的必要性

新知识从旧知识而来，又向下一个新知识而去，了解新知识的未来发展，对教师把握新知识学习的必要性大有裨益.教师在备课时应突破单节知识局限，从单元宏观角度把握新知识的地位与作用.譬如，教师通过梳理可知：分数基本性质是通分、约分与分数大小比较的基石，也是分数运算的基础；如果不学习分数基本性质，通分与约分将无从谈起，异分母分数加减、分数大小比较以及乘除运算等都将举步维艰.这些认识对提高教学设计有效性很有帮助.

1.1.4 挖掘新知识背后的思想方法

叶圣陶先生曾说：“教是为了不教.”“教”是前提与手段，“不教”是目的，为了“不教”，教师需要在“教”上下功夫：既要教知识，还应教思想方法，让学生既“学会”，又“会学”.但是，与数学知识显性不同，数学思想方法往往隐藏在数学知识或问题背后，需要教师深入挖掘.譬如，教师通过挖掘，不难发现表1所示的分数基本性质主要数学思想方法.

表1 分数基本性质主要数学思想方法

1.2 批判性分析与创造性使用教材

教材认识属于PK 范畴［5］，既包括教师对教材编写特点、优点与不足等方面的看法，还包含教师对教材不足所进行的优化或者重构.对教材的认识程度如何，直接影响着教学设计的有效性，教师应擦亮双眼，批判性分析教材，并在此基础上创造性使用教材，使之以更为合理的方式呈现给学生，提高教学效果.

1.2.1 批判性分析教材

批判性分析教材要求教师不盲目照搬教材，而是通过客观分析，认识教材编写特点、优点以及不足，综合考虑知识、教材、学生以及教法等教学因素.下面是对某版教材“分数基本性质”的批判性分析：

（1）编排特点

通过分析，发现教材按照“直观认识→算式认识→归纳概括→说理验证”编排，详情如下：

直观认识：拿出三张同样大小的正方形纸，按照图1 均分，涂上颜色，并用分数表示涂色部分的大小.

图1 分数基本性质直观认识

图2 分数基本性质算式认识

归纳概括：通过“你还能举出几个这样的例子吗？根据上面的例子，你可以得出什么规律？”问题，引导学生举三反一，归纳概括分数基本性质.

说理验证：通过“根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律，你能说明分数基本性质吗？”问题，启发学生验证分数基本性质.

（2）教材优点

教材遵循直观到抽象、特殊到一般、先猜后证的学习规律，有序呈现分数基本性质的发生、发展与形成过程，逐步揭示分子分母“变”与分数大小“不变”的辩证关系.

问题驱动：教材摒弃传统平铺直叙的知识编排方式，在知识发生、发展与形成的思维关键处设计循序渐进问题，启发学生动手操作、分析思考、抽象概括、说理验证，促进学习，深化理解.

（3）教材不足

分数大小比较、异分母加减是分数基本性质产生的逻辑背景，但教材“折纸-涂色”情境与此关联不大，无法揭示为何而学.

学生均分经验与对称有关（一般只能把一个物体均分为偶数份），与此对应的分数基本性质表现为“偶数情形”：分子与分母同乘或除以正偶数，分数大小不变.对于“奇数情形”，教材只字不提，这种由偶数直接跳跃到整数的处理方式，很难说符合抽象概括认知规律.

1.2.2 创造性使用教材

创造性使用教材意指教师在批判性分析教材的基础上，对教材存在的问题进行优化或重构，使之体现知识发展规律与学习规律.教师不仅需要拥有一双慧眼，而且要具备一定的教材优化与重构能力.

针对“折纸-涂色”情境无法揭示为何而学问题，教师可以先创设分数加减或大小比较问题，揭示分数基本性质学习的必要性；然后再通过“折纸-涂色”情境，启发学生类比学习，发现规律.

针对切蛋糕、折纸等情境无法突破分数基本性质“偶数情形”的局限，教师不妨提供已经均分为奇数份的图形，让学生类比学习，发现“奇数情形”的分数基本性质.

1.3 准确把握学生学习实际

CK是MPCK的重要组成部分，主要包括教师对学生数学知识掌握、数学学习活动经验、数学学习心理等方面的认识.教师应准确把握学生学习实际，寻找并突破学生学习疑难易错点，以提高数学教学设计的针对性与合理性.

1.3.1 准确了解学生学习实际

学生学习实际包括知识储备与活动经验积累.对于知识储备的了解，教师在继承作业与考试传统的基础上，可以尝试交流、提问以及调查等灵活多样的评价方式.譬如，教师可以创设“话说分数”教学环节，考查学生分数概念的掌握情况.对于活动经验，教师要善于发现数学与生活的联系，以此创设学习情境.但是，教师也应明白，学生活动经验与数学知识是有差距的，必要时应搭建“教学支架”.前述针对学生缺乏“把1个物体均分为奇数份”的经验而提供的“奇数情形”学习引例，不失为成功的“教学支架”.

1.3.2 寻找并突破学生学习疑难易错点

数学知识及其关系抽象，出现疑难易错点在所难免.如果教师疏忽或处理不当，疑难易错点容易变成“拦路虎”，不仅影响学生学习，还给学生心理蒙上阴影.相反，如果教师预判准确，找到成因，制定对策，则可因祸得福.譬如，针对分子分母“变”与分数大小“不变”抽象的辩证关系，教师可创设“直观认识+算式认识+揭示道理”等教学环节，逐步分解学习难点.

1.4 选择并优化数学教学方法

数学教学方法的认识是PK 的核心，既包括教师对数学教学方法的见解，还包含教师面对特定数学教学内容时如何选择或者优化教学方法的看法.在进行教学设计过程中，教师应综合考虑知识、教材以及学生等教学因素，选择并优化教学方法.

1.4.1 选择数学教学方法

数学教学方法丰富多样，除讲授法、讨论法、演示法、合作学习法、提问启发法等一般教学方法外，还包括问题驱动、数学直观、多元表征、猜想与验证、类比、变式训练、最近发展区、APOS 理论（包括“操作-过程-对象-图式”四个过程）等具有数学学科特点的教学方法.深入分析，挖掘关键数学教学方法，对教师架设教学框架、驱动学生思考、促进学生深度学习等具有积极意义.表2 是分数基本性质关键的数学教学方法.

表2 分数基本性质关键数学教学方法

1.4.2 优化数学教学方法

同一个教学方法，不同教师教学效果往往各异.以问题驱动为例，大家的初衷都是通过问题驱动学生思考、促进学习，但有些教师达不到预期效果，这与问题设计质量不无关系.一方面，问题有真伪之分，那些能促使概念或原理被发现的原始问题称为真问题，否则是伪问题［6］.教师应综合考虑学生知识背景与活动经验，设计出真问题.切蛋糕问题能促使学生发现分数基本性质，可看成真问题.另一方面，教师应按照知识的发生、发展与形成过程，通过问题链把教学方法进行有机串联.譬如，在分数基本性质教学中，可以设计14 个问题（详见后面教学设计），把关键教学方法串联起来，以充分发挥教学方法的有效性.

2 MPCK视角下的“分数基本性质”教学设计

基于MPCK视角下数学教学设计的分析，设计如下分数基本性质教学过程.

2.1 话说分数，铺垫新课

［设计意图］通过具体分数，考查学生对分数、分数单位、份数概念及其相互间关系的理解，同时为新课做好铺垫.

2.2 创设情境，引发思考

问题2：小明生日当天，爸爸买了一个冰淇淋蛋糕.小明吃了其中，爸爸和妈妈分别吃了.请问小明和爸爸一共吃了多少块？小明和妈妈呢？（请用分数回答）

［设计意图］依据学生活动经验创设情境，在同分母与异分母分数加减的最近发展区设计问题，既能拉近分数基本性质与学生的距离，为学生学习创造良好条件，又可揭示分数基本性质学习的必要性.

2.3 解决问题，发现规律

给每位学生分发一张圆形纸片（充当蛋糕），要求学生折纸均分，并以不同颜色表示小明、爸爸与妈妈所吃蛋糕，最后展示成果.

图3 小明与妈妈所吃蛋糕之和

图4 小明与爸爸所吃蛋糕之和

2.4 举一反三，类比学习

问题6：你还能举出几个这样的例子吗？从中又得出什么规律？

2.4.1 学生动手操作

拿出三张同样大小的正方形纸，按照图1把它们均分，涂上颜色，并用分数表示涂色部分的大小.

问题7：这些分数有何关系？你能否类比前面的方法，从图形与算术两个角度说明分数之间的关系？

［设计意图］启发学生动手操作、类比学习，在知识“再创造”的过程中体验成功的喜悦.

2.4.2 教师画板演示

问题8：切蛋糕与折纸均有“对称”的意思，所以“分子分母同乘或除以的数均为正偶数”.如果把“偶数”换成“奇数”，还会得出类似规律吗？

如图5 所示，教师利用几何画板动态演示线段3 等分、9 等分、27 等分，并分别从中取2、6、18小段.

图5 分数基本性质“奇数情形”

问题9：类比前面的方法，你能结合图形说说对应分数之间的关系吗？

［设计意图］借助几何画板，动态演示“把一个物体均分为奇数份”，直观分析“奇数情形”的分数基本性质，为全面认识分数基本性质提供条件.

2.5 归纳概括，说明验证

问题10：根据上面的例子，你可以得出什么规律？

学生抽象概括得到分数基本性质.

问题11：这个规律一定成立吗？你能否根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律进行说明？

验证：b ≠0,c ≠0,a b = a ÷b =( ac )÷( bc )= ac bc，等式反推亦成立.小学生缺乏严谨的推理能力，这里允许使用非0整数代替字母.

［设计意图］培养学生“大胆猜想，小心验证”思维品质与能力.

2.6 学以致用，巩固新知

通过简单的变式练习加深学生对分数基本性质的理解和运用.

2.7 课堂小结，养成反思

问题12：这节课我们学习了什么新知识？具体怎么说？

问题13：我们是怎么学习分数基本性质的？

问题14：分数基本性质有什么用？

［设计意图］引导学生从知识内容、学习方法、应用价值等维度进行反思总结，促进学生建构良好知识结构，培养学生数学思想方法意识与反思习惯，使其由学会走向会学，成为真正的学习主人.

3 结语

MPCK 是数学教师专业发展知识的核心，也是教师开展有效教学的重要保障.提高教师对数学知识、教材、学生以及教法等教学因素的认识，将有助于教师提升教学设计有效性，促进教师专业发展.但是，这是一个长期的、理论指导下的教师成长过程，教师需要多方面努力.一方面，要加强理论学习.教师应有意识地了解数学史，阅读数学教育理论，提升理论素养与眼界.一个简单的例子是，对数学史有所了解的教师，比较清楚知识产生的背景、形成与发展过程，深刻领会其中思想方法，因此对数学知识以及与之关联的教材、学情、教法等教学因素的认识更到位.另一方面，要重视实践体验.观摩课、示范课、比赛课之所以能够促进教师成长，很大原因在于，在这些实践活动中，教师一般需要经历上下求索理论、广泛征求意见、反复研究打磨的过程，实践体验深刻.如果教师把其延伸为日常教研习惯，将能促进教学认识，加速专业成长.最后，要注重教学反思.教学反思属于元认知范畴，意指教师为实现有效教学，对已经发生或正在发生的教育、教学活动以及这些活动背后的理论、假设，进行反身性的思考，这是一个主动发现教学问题，解决教学问题的认识过程［7］.在日常教学中，教师既要挖掘成功经验，并借助理论使之升华，以知其然且知其所以然；又要善于发现不足，寻求理论或他人支持，在发现问题、分析问题与解决问题中学会成长.