基于多目标规划的生产企业原材料订购与运输研究

刘增芳 张倩男

【摘 要】企业的生产离不开原材料，因此原材料订购与运输成为每一个生产企业时刻关注的问题。针对2021年全国大学生数学建模竞赛C题的问题三和问题四，研究生产企业原材料的订购与运输问题，在问题一及问题二的基础上，以总成本最低和损耗量最少为目标，分别建立多目标规划模型，找到两种情况达到相对最佳的结果，得到最优的订购方案，使企业获得了更多的利润。根据现有原材料的供应商和转运商的实际情况，以最小损耗量为目标函数，以转运平衡和最大产能为约束条件，建立线性规划模型，确定该企业每周的产能提高量，并给出未来24周的订购和转运方案，在一定程度上为生产企业原材料订购与运输问题的决策提供了可靠的理论支撑和实践指导。

【关键词】多目标规划;订购和转运方案;线性规划模型;MATLAB

【中图分类号】R927.1 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2022）04-0134-04

1 问题背景及重述

原材料是每一个生产企业开展生产活动的根本，如果失去了材料来源，便意味着这个企业可能将要面临破产的风险。原材料除了要满足企业生产活动的正常运行，其质量与性能也会直接影响成品质量，同时若原材料的供给量达不到使用量，也会影响产品销售量。因此，原材料的订购成本、质量、供货量都是影响企业生产效益的重要条件。随着社会经济的飞速发展，原材料的相关问题逐渐凸显，引起许多生产企业的重视。从经济效益角度看，原材料的采购成本、运输成本等直接影响企业的生产效益。因此，可以从供货商的供货量、原材料的订购、运输成本等方面，结合实际情况对相关数据进行深入分析，研究企业原材料订购与运输问题。

2021年全国大学生数学建模竞赛C题[1]旨在引导学生通过背包模型研究企业原材料订购与运输的优化问题。C题：某建筑和装饰板材的生产企业所用原材料为A，B，C 3种类型，该企业需要根据产能要求确定需要订购的原材料供应商和相应每周的原材料订购数量，确定转运商并委托其将供应商每周的原材料供货量转运到企业仓库。附件1给出了该企业近5年402家原材料供应商的订货量和供货量数据。附件2给出了8家转运商的运输损耗率数据。①问题三：该企业为了压缩生产成本，现计划尽量多地采购A类和尽量少地采购C类原材料，减少转运及仓储的成本，同时希望转运商的转运损耗率尽量少。请制订新的订购方案及转运方案，并分析方案的实施效果。②问题四：该企业通过技术改造已具备提高产能的潜力。根据现有原材料供应商和转运商的实际情况，确定该企业每周的产能可以提高多少，并给出未来24周的订购和转运方案。

针对生产企业原材料的订购与运输问题，根据原材料的供应链管理，利用层次分析法[2]分析权重，建立多目标规划模型[3]，并制订3种原材料的订购与运输方案。最后对方案进行了效果分析，再一次完善了方案，在一定程度上可以为生产企业原材料订购与运输问题的决策提供可靠的理论和实践指导。

2 基本假设及符号说明

基本假设如下：①假设生产企业在第一周初始时原材料的储存量为零。②转运损耗率小与转运公司实力成负相关。③企业要保持大于等于满足两周生产需求的原材料库存量[4]。④假设原材料只有转运损耗，没有库存损耗[5]。符号说明见表1。

3 模型的建立与求解

企业供应链战略[6]有效实施的基础就是选择适合企业的原材料供应商资源，所以在供应链模式下，必须采用科学合理的方法选择供应商。根据企业经营的实际需要，运用科学的方法对供应商进行评价，最终确定企业采购的原材料或服务的来源及合作方式。最优的原材料保障计划和保障方案可以为决策层提供科学、合理的辅助决策信息。层次分析法是一种计算简便且适合于多目标、多准则的系统评价方法，有许多其他方法不可比拟的优点。为有效解决生产企业原材料的订购与运输问题，可以将这种分析方法的关键步骤与供应商选择决策问题相联系，用于生产企业的原材料供应商选择决策上，以建立供应商评价的递阶层次結构[7]，从而构建合适的层次结构模型。层次结构由上而下设定为目标层、准则层和方案层。在递阶层次结构模型构建的过程中，通过对各项指标的理论分析，最终将选取合适的供货商设为目标层，将总供货量、总采购量、总供货量与总采购量的差值设定为准则层，以402家供货商作为方案层。以该理论为依据选出最佳的供应商，并通过MATLAB软件[8]对实例进行求解，验证该方案的有效性和可行性。

针对生产企业原材料的订购与运输中需要解决的两个问题：一是为了压缩生产成本，该企业计划尽量多地采购A类和尽量少地采购C类原材料，减少转运及仓储的成本，同时希望转运商的转运损耗率尽量少。二是该企业通过技术改造已经具备了提高产能的潜力，根据现有原材料的供应商和转运商的实际情况，需要确定该企业每周的产能可以提高多少。基于此，需要制订新的订购方案及转运方案，并分析方案的实施效果。

3.1 问题三的建模与求解

3.1.1 建立多目标规划模型求解

对于问题三，有两个问题需要解决，第一，企业为了获得更多的利润，要压缩生产成本，要求尽量多地购买一些成本低的A类原材料，少买B类和C类原材料，3种原材料的转运及仓储成本是一样的，此处不做考虑。已知A类和B类原材料的采购单价分别比C类原材料高20%和10%，虽然A类的采购单价高了一些，但是生产同单位的产品中A类消耗最少。第二，供应商原材料转运要保障原材料的损耗量为最少，通过建立多目标规划模型求得最佳的转运方案。

（1）建立多目标规划模型压缩成本。为使转运成本和仓储成本尽量小，那么应在保障生产运行的前提下使总订购量和存储量尽量少，由此建立数学规划方程[9]，故得到目标函数如下：

参考问题二与问题三相同的生产能力约束：

要达到损耗率最低，要满足与问题二相同的条件下，由库存状态转移方程[10]，得到：

要满足生产需要，由问题二相同的约束得到生产保障约束：

（2）建立目标规划模型降低损耗率。在转运过程中，供应商供应材料A，B，C会有一定的损耗。在总订购量和存储量小条件成立的前提下，要合理调配转运方案，使总损耗达到最小。问题三要求尽可能减少转运损耗率，由此建立了目标规划模型，在此基础上计算转运损耗量，则目标函数如下：

要达到损耗率最低，并满足与问题二下相同的条件，由库存状态转移方程，得到：

基于上述条件和目标函数建立规划模型，然后进行求解。

3.1.2 问题三结果分析

若要压缩生产成本，减少转运和生产的成本，则可多购进A类原材料，少购进B类原材料，结果如图1所示。与问题二的总体进货量进行对比分析，发现前10周问题二的进货量高于问题三，在10～24周内问题三的进货量普遍高于问题二，由此可得，问题三总体进货量多于问题二。转运方案如图2所示，满足转运损耗量最少，则可优先选择T2、T3，其次是T1、T4，这4个转运商在运输过程中的损耗率较小;而T5、T6、T7、T8因为其转运损耗率高，所以不考虑。

3.2 问题四的建模与求解

3.2.1 问题四的模型建立

对于问题四，该企业通过技术改造已具备了提高产能的潜力。需要解决的问题就是在确定有原材料的供应商和转运商的实际情况下，该企业每周的产能可以提高多少，该问题的根本在于供应商的供货量要达到最大，转运过程中的损耗率要尽量减小，使得原材料供应量达到最大。可以建立以转运平衡和最大产能为约束条件的线性规划模型进行求解，以得到未来24周最优的订购和转运方案。

在材料转运过程中，材料的损耗是一个不可忽视的因素，为了避免出现损耗率过大，现对附件2中的8家转运商240周的损耗率分别求平均值，将其按照升序排列，查看数据发现：在运输和储存的单位费用相同的情况下，损耗率越大，选择这家供应商的可能性就越小。

其中，Xj表示第j周的最大产量，Zj表示第j周增加的产量。以转运平衡和最大产能为约束条件，建立规划模型。

3.2.2 结果分析

通过模型求解得到的最大产量与正常产量做对比，企业的产能逐步提高。

利用MATLAB解出上述线性规划模型，可得到每周订购数量的方案（如图3所示）。可知在损耗率最小的情况下最终产能就越大，若减小损耗率可多进A类原材料，少进C类原材料，降低其运输过程中的损耗。转运方案如图4所示，可知T1、T2、T3转运商在转运过程中的损耗率最小，可以主要在T1、T2、T3转运商进行转货，T4转运商次之。T5、T6、T7、T8轉运商在转运过程中损耗率高，可以不选择从该转运商转运原材料。

4 结论

为了让该企业获得更多的利润，依据原材料的供应链管理准则研究了生产企业、原材料供应商、转运商3层供应链中的生产运输和订购问题。在生产企业的原材料供应商的选择决策上，利用层次分析法建立了适合的递阶层次结构模型，也为供应商提供了比较好的选择决策平台。层次结构由上而下设定为目标层、准则层和方案层。以此理论为依据，对生产企业原材料的订购与运输问题给出了有效的解决方案。首先，针对压缩成本和降低损耗率问题建立了多目标规划模型，并对材料进货量进行对比分析，利用MATLAB软件求解，给出了最佳的订购方案和转运方案。其次，根据现有原材料的供应商和转运商的实际情况，以最小损耗量为目标函数，以转运平衡和最大产能为约束条件，建立了线性规划模型，从而确定了该企业每周的产能的提高量，并给出了未来24周最优的订购和转运方案。

参 考 文 献

[1]全国大学生数学建模竞赛组委会.2021年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题[EB/OL].[2021-11-26].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/4d73a36cc88b3

5bd4883c276afe39d89.html.

[2]毛歆，王青，蔡海燕，等.层次分析法在“两品一械”监管重点实验室评价指标权重确定中的应用[J].中国药事，2019，33（12）：1371-1376.

[3]司守奎，孙兆亮.数学建模算法与应用[M].第2版.北京：国防工业出版社，2011.

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[10]赵静，但琦，严尚安，等.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2014.