时滞控制下轴向运动纳米梁横向振动的稳定性研究

朱 灿，李梦瑶

(昆明理工大学 建筑工程学院，云南 昆明 650500)

纳米梁是纳机电系统(nano-electromechanical system，NEMS)的基本组成结构，纳米梁加工工艺研究、纳米梁力学电学测试研究以及纳米梁在集成电路和传感器领域中应用研究具有重要意义。MOTE[1-3]对物体轴向运动诱发产生的横向振动已有了很好的研究。YANG和TAN等[4-5]研究了轴向运动梁外部激励和稳态响应固有频率之间的关系。ÖZ等[6]以轴向加速运动梁为研究对象，利用摄动法对该系统进行求解，分别对运动速度的波动频率接近系统自然频率2倍时出现的主参数共振情况以及速度的波动频率为系统两个自然频率的和时出现的组合参数共振情况进行分析，讨论不同共振情况下系统的稳定性。李晓军和陈立群[7]以两端固支的轴向运动梁为研究对象，建立一种数值解析的方法，求解得到系统发生横向振动的自然频率和模态。杨晓东和唐有绮[8]在复模态分析的基础上，得出轴向运动梁系统在发生横向振动时的频率和模态。 SATO等[9]利用中心流形定理和平均法研究带有时滞的非线性动力系统稳定周期解及其稳定性，讨论时滞对该系统自由振动和受迫振动的影响。LIU等[10]研究一种时滞反馈控制参数的求解方法，并运用最优化控制方法对非线性振动系统进行减振控制。SHANG等[11-12]基于Helmoholtz振荡器系统，给出时滞位移反馈对其安全流域分形侵蚀的影响。LIU等[13]以一类时滞控制下的悬臂梁为研究对象，通过系统的一次和二次共振，发现速度时滞及其反馈系数可以有效地提高该系统的稳定性。关于时滞对轴向运动梁的控制的相关研究还处于初级阶段，为此，文中采用轴向运动纳米梁模型，通过动力系统分支理论和幂级数法，研究系统在时滞控制下轴向运动纳米梁的振动行为和稳定区域。

1 理论模型

如图1所示，考虑两端简支轴向运动纳米梁，其轴向速度随时间的变化为v(t)。梁的长度、质量密度、横截面积、横截面积惯性矩、杨氏模量和初始张力分别为L、ρ、A、J、E和P。

图1 两端简支轴向运动非局部梁Fig.1 A nonlocal beam with simply supported axial motion at both ends

利用动力系统分支理论和Hamilton原理，可以得到以下运动方程[14]

(1)

引入速度时滞和位移时滞，得到时滞控制下系统的运动方程为

(2)

基于多尺度法[15]，可将方程(2)无量纲化,得到

gpw(t-τ1)+gqw,t(t-τ2)

(3)

其中,

且w*、x*、t*、v*、μ、α、gp、gq、τ1和τ2分别为无量纲横向位移、轴向坐标、时间、轴向速度、非局部参数、弯曲刚度、位移反馈增益系数、速度反馈增益系数、位移时滞和速度时滞。

设系统的轴向速度在平均速度附近作简谐变化，即

(4)

利用多尺度法，引入小扰动参数ε，采用时间尺度Tn=εnt(n=0,1,2)，运动方程(3)的解可设为

w(x,t;ε)=w0(x,T0,T1)+εw1(x,T0,T1)+O(ε2)+…

(5)

w(x,t-τ;ε)=w0(x,T0-τi,T1-τi)+εw1(x,T0-τi,T1-τi)+O(ε2)+…

(6)

把方程(4)～(6)代入方程(3)，归并ε的同次幂项，可得

gpw0τ1-gqw0τ2,T0=0

(7)

(2v0sinΩt)w0,xT0-(v0ΩcosΩt)w0,x-

(2v0sinΩt)w0,xxxT0+(v0ΩcosΩt)w0,xxx+

(8)

方程(7)的解可设为

(9)

(10)

将An(T1-ετi,T2-ε2τi)进行泰勒展开，得到

An(T1-ετi,T2-ε2τi)=An(T1,T2)-ετiD1An(T1,T2)-ε2τiD2An(T1,T2)+…≅An(T1,T2)

(11)

将方程(9)～(11)代入方程(7)，可得到

(12)

接着进行模态函数的确定及运动稳定性分析。

根据幂级数法思想，可以假设

(13)

其中，bm是未知系数。将式(13)代入方程(12)，令x同次幂项的系数相等，可以得到

P0(b0,b1,…，bN)x0+P1(b0,b1,…，bN)x1+

P2(b0,b1,…，bN)x2+…+PN(b0,b1,…，bN)xN=0

(14)

gqiωke-iωkτ2)b0

gqiωke-iωkτ2)b0

…

gqiωke-iωkτ2)bN

为了令方程(14)对所有的x都成立，令x所有的系数都等于0，即

P0=0,P1=0,P2=0,…,PN=0

(15)

利用上述代数方程组，得到bm为b0、b1、b2、b3的函数。对于两端简支轴向运动纳米梁系统，其边界条件为

W(0)=W(1)=0,W″(0)=W″(1)=0

(16)

将边界条件带入方程(15)，可得

(17)

由式(17)可以得到关于b1、b3的方程组，通过对其系数行列式求解，可以得到固有频率ωk，N取值越大，得到的结果越精确。考虑系统前两阶的固有频率，取N=29时即可得到合理的结果，再根据固有频率可求出系统的模态函数。

不考虑小尺度效应，研究不同的位移时滞量、速度时滞量、位移反馈增益系数和速度反馈增益系数对系统稳定性的影响。

由图2可知，当位移时滞量逐渐增加时，系统的特征频率随之增加，系统的临界速度没有发生改变，系统在失稳前的固有频率会随着位移时滞量的增加而增加，系统的耦合模态颤振消失。

图2 位移时滞量对系统固有频率的影响Fig.2 The effect of displacement delay on the natural frequency of the system(α=0.8,μ=0,gp=10,gq=0,τ2=0)

图3给出了位移时滞量的变化对轴向运动纳米梁系统振型的影响。

图3 位移时滞量对系统振型的影响Fig.3 Influence of displacement delay on system mode

由图4可知，随着位移反馈增益系数的增加，频率的实部逐渐增加，系统的临界速度逐渐减小，系统的耦合系统前两阶频率耦合颤振失稳现象消失。

图4 位移反馈增益系数对系统固有频率的影响Fig.4 Influence of displacement feedback gain coefficient on natural frequency of the system(α=0.8,μ=0,τ1=0.05，gq=0,τ2=0)

图5给出了位移反馈增益系数对系统振型的影响。

图5 位移反馈增益系数对系统振型的影响Fig.5 Influence of displacement feedback gain coefficient on system mode

由图6可看出，在系统中加入了速度时滞后，系统的频率实部随着速度时滞的增加而减小。速度时滞的增加对系统分叉点的临界速度影响甚微，系统的耦合颤振失稳现象消失。

图6 速度时滞量对系统频率的影响Fig.6 Influence of speed delay on system frequency(α=0.8,μ=0,gp=0,gq=3,τ1=0)

由图7给出了速度时滞量对轴向运动纳米梁系统前两阶振型的影响。

图7 速度时滞量对系统模态振型的影响Fig.7 Influence of velocity delay on system mode

由图8可知，随着速度反馈增益系数的增加，系统的临界速度减小，且速度反馈系数的值越大，系统的耦合颤振失稳现象消失越明显。如图8(b)可知，系统频率的虚部一直存在负值，即系统一直处于稳定状态。

图8 速度反馈增益系数对系统频率的影响Fig.8 Influence of velocity feedback gain coefficient on system frequency(α=0.8,μ=0,gp=0,τ1=0,τ2=0.05)

图9给出了速度反馈增益系数对系统振型的影响。

图9 速度反馈增益系数对系统模态振型的影响Fig.9 Influence of velocity feedback gain coefficient on system mode

图10给出了位移反馈增益系数和速度反馈增益系数对轴向运动纳米梁系统频率的影响。当系统只存在速度反馈增益系数或同时存在位移反馈增益系数和速度反馈增益系数时，系统一直处于稳定状态，系统的耦合颤振失稳现象消失。因此，位移反馈增益系数和速度反馈增益系数都可以消除系统的耦合颤振失稳现象，位移反馈增益系数可以增强系统的稳定性。

图10 位移反馈增益系数和速度反馈增益系数对系统频率的影响Fig.10 Influence of displacement feedback gain coefficient and velocity feedback gain coefficient on system frequency(α=0.8,μ=0,τ1=0,τ2=0)

图11给出了不同位移反馈增益系数和速度反馈增益系数对系统振型的影响。

图11 位移反馈增益系数和速度反馈增益系数对系统振型的影响Fig.11 Influence of displacement feedback gain coefficient and velocity feedback gain coefficient on system mode

2 次谐波共振稳定性研究

考虑当轴向运动速度的脉动频率Ω接近系统某阶固有频率的两倍时发生的共振现象，即

Ω=2ωk+εσ

(18)

其中，σ表示调谐参数，ωk表示第k阶模态的频率。

方程(8)的解可以写成

w0=φk(x)Ak(T1)eiωkT0+cc

(19)

其中，Ak是第k阶振幅，cc表示前面所有项的复共轭。

将上述方程代入式(8),得

(20)

为了避免久期项，令

gqiωkφke-iωkτ2)Ak,φk〉=0

(21)

利用内积的性质，方程(21)可以整理为

(22)

其中,

(23)

(24)

将Ak(T1)变换为如下形式

(25)

把方程(25)代回到方程(22),可得

(26)

可以看出方程(26)有零解，设其非零解为

Bk=p1(T1)+iq1(T1)

(27)

其中,p1和q1均为关于T1的实函数。将方程(27)代回到方程(26)，将结果的实部和虚部进行分离，可得

(28)

(29)

特征方程为

(30)

根据Routh-Hurwitz稳定判据，如果根均有负实部，则表示其解是稳定的，由此推得方程(22)的稳定区域为

(31)

图12 位移时滞量和位移反馈增益系数对系统次谐波共振区域的影响Fig.12 Influence of displacement delay and displacement feedback gain coefficient on sub-harmonic resonance region of the system

图13 速度时滞量和速度反馈增益系数对系统次谐波共振的影响Fig.13 Influence of velocity delay and velocity feedback gain coefficient on system sub-harmonic resonance

3 组合参数共振稳定性研究

考虑当轴向运动速度的脉动频率Ω为系统某两阶固有频率之和时发生的组合参数共振现象，即

Ω=ωk+ωk′+εσ

(32)

其中，ωk、ωk′分别为k阶和k′阶的频率。此时，设方程(8)的解为

w0=φk(x)Ak(T1)eiωkT0+φk′(x)Ak′(T1)eiωk′T0+cc

(33)

将方程(32)～(33)代入方程(8)，可得

(34)

为了避免久期项，令

(35)

(36)

整理可得

(37)

其中,

(38)

(39)

(40)

(41)

可以得到系统发生组合参数共振的稳定区域为

(42)

其中,

(43)

(44)

(45)

图14 位移时滞量和位移反馈增益系数对系统组合参数共振区域的影响Fig.14 Influence of displacement delay and displacement feedback gain coefficient on resonance region of system combination parameters

图15 速度时滞量和速度反馈增益系数对系统组合参数共振区域的影响Fig.15 Influence of velocity delay and velocity feedback gain coefficient on resonance region of system combination parameters

4 结论

研究了两端简支的轴向运动纳米梁系统在发生横向振动时，时滞控制对系统稳定性的影响。结果如下：

1)时滞和反馈增益系数对两端简支轴向运动纳米梁系统的稳定区域有很大影响，恰当的时滞控制能够有效增强系统的稳定性，并可以消除系统的耦合颤振失稳现象。

2)当系统发生次谐波共振时，位移时滞量、速度时滞量和位移反馈增益系数对系统发生次谐波共振的稳定区域影响较小，但稳定性随着速度反馈增益系数的增加而减弱。

3)当系统发生组合参数共振时，位移时滞量对系统稳定性的影响较小，位移反馈增益系数增大会减弱系统的稳定性，速度时滞量和速度反馈增益系数增加则会增强系统的稳定性。