装配式钢-混组合梁桥振动频率的简化计算

[摘  要]：为确定装配式钢-混组合简支梁桥的振动频率的简化计算方法，文章根据D′Alembert原理，以惯性力法推导了此类桥梁的竖向弯曲振动振动频率计算公式和考虑剪切变形和转动惯量的横向振动频率计算公式，并选取6座不同跨径、不同主梁数和不同主梁高度的装配式钢-混组合简支梁桥，分别采用推导公式、推荐公式、规范公式和ANSYS有限元分析软件对其自振频率进行了计算分析，分析结果表明：推导公式用于钢-混组合简支梁桥的振动频率的计算，所得结果与有限元法计算结果吻合良好;式（10）～式（12）计算误差较大，不宜用于钢-混组合简支梁桥的竖向弯曲振动频率的计算;JTG D60-2015《公路桥涵设计通用规范》推荐的简支梁桥的自振频率计算公式可用于计算钢-混组合简支梁桥的自振频率，且计算结果与有限元法所得结果吻合良好。所得结论可为同类型桥梁的自振频率估算提供理论依据。

[关键词]：桥梁工程; 自振频率; 有限元法; 钢-混组合梁; 装配式; 能量法

U 448.21+6A

装配式钢-混组合梁桥以其施工周期短、装配化程度高及全寿命周期经济性好等优点，在现有桥梁中所占比例越来越大[1-2]。

对于装配式钢-混组合梁桥的静力学性能方面的研究，国内外学者主要集中于荷载横向分布系数计算[4-6]、抗弯承载力计算[7]及考虑混凝土和钢材2种材料间相对滑移的挠度和剪力钉受力性能计算[8-9]。在动力学研究方面，国内外学者主要集中于振动特性的控制[10]、车-桥耦合动力冲击[11]及车辆作用下疲劳特性的研究[12]。研究采用的方法大多为有限元法。

现有研究成果对于装配式钢-混组合梁桥的自振特性的研究较少。现行规范中，对于钢-混组合梁桥的自振频率的计算也未明确给出计算公式，JTG D60-2015《公路桥涵设计通用规范》建议使用有限元法计算桥梁的自振频率，且对于常规的预应力混凝土梁桥的自振频率计算给出了估算公式。但时有限元模型的建立费时费力且对于计算结果的正确性较难把握，估算公式是否适用于装配式钢-混组合梁桥的自振频率计算，尚未可知。因此，本文通过对装配式简支钢-混組合梁桥的竖向自由振动频率及横向振动频率计算公式进行了推导，并通过多参数变化的装配式钢-混组合梁桥算例，对比了本文推导公式和有限元法、集中折算质量法、能量法和规范估算公式的自振频率计算结果进行了对比分析。所得结果可为同类桥梁的自振频率的计算提供理论参考。

1 简支钢-混组合梁的竖向自由振动

如图1所示跨径为L的钢-混组合简支梁桥，其沿跨径方向的单位长度质量和抗弯刚度分别为m（x）和EsIcb（x），其上作用有随x和时间t变化的横向荷载q（x，t），荷载作用下梁截面在t时刻的挠度为z（x，t）。取梁段某长度为dx的微元段作为研究对象，分析简支钢-混组合梁的竖向弯曲振动特性。

依据初等变形理论，微元体受力如式（1）所示的关系。

M=EsIcb2zx，tx2

Q=Mx

qx，t=Qx（1）

根据D′Alembert原理，以惯性力法建立钢-混组合简支梁系统的运动方程如式（2）所示。

EsIcb4zx，tx4=m2zx，tt2（2）

根据分离变量法，引入位移函数Z（x）和时间函数T（t）并引入变量u2=m/EsIcb表示式（2），则有：

Z′xZx=-u2T··tTt（3）

欲使得式（3）成立，显然，当左右两边关于不同变量参数的部分均为常数时，等式成立。因此为方便式（3）的求解，引入常数j4并令：

工程结构王乾波： 装配式钢-混组合梁桥振动频率的简化计算

Z′xZx=-u2T··（t）T（t）=j4（4）

Z（x）=esx（5）

将式（4）和式（5）代入式（3）关于位移的函数有：

esxs4-j4=0（6）

式（6）解的一般形式为：

Z（x）=Asin（jx）+Bcos（jx）+Csinh（jx）+Dcosh（jx）（7）

代入梁端边界条件，易得系数A=B=C=0，则式（7）为Zx=Asinjx，显然，为使式（7）有意义，A≠0，而根据简支梁的边界条件，当x=L时，sin（Lx）=0，因此则有：

j=rπL（8）

式中：r为钢-混组合梁的自由振动阶数，当r=1时，所求振动频率即为结构的基频。

求钢-混组合简支梁的竖向自由振动频率计算公式为：

fr=ji22πu=r2π2L2EsIcbm（9）

对于简支梁竖向自由振动频率的计算，文献[14]推荐了2种及近似计算方法，其分别为基于集中折算质量法的式（10）和基于能量法分别取挠度曲线和二次抛物线为第一阶振型的式（11）和式（12），而JTG D60-2015《公路桥涵设计通用规范》提出，可使用式（13）来估算简支梁桥的自振频率。

f=9.8652πL2EIm（10）

f=9.872πL2EIm（11）

f=10.952πL2EIm（12）

f=π2L2EIm（13）

2 简支钢-混组合梁的横向振动

前文对于简支钢-混组合梁的竖向振动的推导过程中，并未考虑梁截面在振动过程中的剪切变形和转动惯量的影响，即是基于欧拉梁理论进行的推导。而对于高跨比较大的简支钢-混组合梁桥的自振频率的计算，其剪切变形和转动惯量的影响较大，一般不容忽略。因此，本节推导考虑剪切变形和转动惯量的简支钢-混组合梁的横向振动计算公式。简支钢-混组合梁的纵向受力与图1一致，考虑剪切变形的微元体受力示意如图2所示。

设截面转角为φ，剪切角为β，则考虑转动惯量和剪切变形的时，梁的轴线转角如式（14）所示。

zx=β+φ（14）

依据小变形理论和力的平衡，并不计高阶微量有：

Qx+qx，t-m2t2zx，t=0（15）

Mx-Q+ρsIcbx2φx，tt2=0（16）

式中：ρs为钢材的密度。

根据初等梁的弯曲理论有：

Q=j′AeGeβ（17）

M=-EsIcbφ（x，t）x（18）

式中：j′为截面的有效剪切系数，Ae为组合梁换算截面面积，Ge为组合梁换算截面剪切弹性模量。

将式（14）、式（17）和式（18）分别代入式（15）和式（16）得：

m2z（x，t）t2-q（x，t）-xj′AeGezx-φ=0（19）

ρsIcbx2φx，tt2-j′AeGezx-φ-xEsIcb2φx，tt2（20）

式（20）对x求导有：

xρsIcb2φx，tt2-xj′AeGezx-φ

-2x2EsIcb2φx，tt2=0（21）

将式（19）代入式（21）并整理得考虑了转动惯量和剪切变形的梁的横向弯曲动力方程如式（22）所示。

ρsIcb4zx，tx2t2+ρsIcbj′AeGe-EsIcbj′AeGe2t2qx，t-m2zx，tt2

-qx，t-m2zx，tt2-EsIcb4zx，tx4=0（22）

假定振型函数和位移随时间简谐变化的模式为：

φx=CnsinnπxL（23）

zx，t=φxsinωt（24）

将式（23）、式（24）代入式（22），并令p4=f2m2πEsIcb，ρsIcb=mi2，整理得：

p4i2p4i2-Esj′Ge-1+Esj′GerπL2-p4+rπL4=0（25）

式中：i为惯性半径，其值为Icb/Ae。

对式（25）求解，即可得到簡支钢-混组合梁的横向振动频率计算公式：

f=rπL2EsIcbmrπL2i2+EsIcbj′AeGe+1（26）

3 算例

3.1 桥梁概况

为综合验证不同跨径和截面特性的钢-混组合梁桥的自振频率，选取不同跨径、主梁高和主梁数的钢-混组合简支梁桥作为研究对象[6]，对其在不同方法计算下的自振频率计算值进行分析。钢-混组合梁桥混凝土桥面板为C50混凝土，厚度为20.5 cm，弹性模量、泊松比和密度分别取26 GPa、0.25和2 400 kg/m3。钢主梁顶、底板宽均为40 cm，顶、底板及腹板厚度分别为15 mm、25 mm和10 mm，钢主梁为Q345c钢板，弹性模量、泊松比和密度分别取200 GPa、0.3和7 850 kg/m3。桥梁参数如表1所示，桥梁纵、横截面示意如图3所示。

3.2 有限元模型的建立

采用有限元分析软件ANSYS建立实体单元有限元模型，实体单元选用solid45单元。所建模型中，混凝土与钢主梁共节点，不考虑两种材料间的相对滑移。主梁下翼缘板底板节点处设置支承约束用以模拟支座作用。该建模方法已在文献[4，6]中验证了其正确性。所建立2号桥梁的有限元模型如图4所示。

3.3 截面特性计算

组合截面梁截面计算时，应进行组合梁翼缘有效宽度计算[15]，文中组合梁截面的翼缘板有效宽度计算参考JTG D64-2015 《公路钢结构桥梁设计规范》中的附录F进行计算，通过计算知，文中的6座钢-混组合截面桥梁的组合梁翼缘有效宽度为全截面利用。另外，11.1.3节第2条指出，对于刚-混组合截面进行截面特性计算时，宜采用换算截面法进行计算，即在保证截面换算前后组合截面形心高度不变的前提下，将混凝土桥面板换算成与钢主梁相同材料的钢材。截面换算示意如图5所示。其中，hc为换算前截面的混凝土桥面板厚度，beff为翼缘板的有效宽度，bs为换算后钢梁的翼缘板宽度，hs为换算后钢翼缘板的厚度，zc和zs分别为钢主梁底面到混凝土桥面板形心和钢主梁形心的距离。

组合梁截面惯性矩计算公式如式（27）所示。

Icb=∑ni=1Icα+Is+AcAsαAs+Ac（zc-zs）2（27）

式中：Icb为组合梁截面惯性矩;n为主梁数;Ic为主梁混凝土桥面板的惯性矩;α为钢材和混凝土弹性模量比;Is为但钢主梁截面的惯性矩;Ac为混凝土桥面板截面面积;As为钢主梁截面面积。

通过式（27）计算所得各桥梁的截面特性如表1所示。

4 振动频率计算结果分析

采用ANSYS求解到1号桥的前四阶振型如图6所示。

采用不同方法计算得到的各桥梁的振动频率如表2所示。

从表2中可看出，对于一阶竖向弯曲振动的频率，采用式（9）和式（13）计算出的一阶竖向弯曲振动频率一致，其与ANSYS计算出的基频的最大误差为7.99%;式（10）～式（12）计算得到的竖向弯曲频率与ANSYS计算的基频的最大误差分别任26.83%、26.77%和27.83%;式（9）计算得到的二阶竖向弯曲频率与ANSYS结算结果间最大误差为6.01%;式（26）计算得到的一阶、二阶横向弯曲振动频率与ANSYS结算结果之间最大相差4.77%和8.90%。可见，本文推导的组合梁桥的频率计算公式具有较好的精确性，但文献[14]推荐的竖向弯曲振动频率计算方法与有限元法计算结果之间误差较大，JTG D60-2015《公路桥涵设计通用规范》推荐的竖向一阶弯曲振动频率计算公式有较高的精确度。

5 结论

（1）所推导组合梁桥的竖向和横向振動频率计算公式与ANSYS计算结果吻合良好，具有较好的计算精度，可作为同类型桥梁振动频率的计算依据。

（2）式（10）～式（12）较有限元法计算误差较大，不宜用于组合简支梁桥的自振频率计算。

（3）式（13）用于计算组合简支梁桥的竖向弯曲振动基频具有较高的计算精度。

参考文献

[1] 刘永健， 高诣民， 周绪红， 等. 中小跨径钢-混凝土组合梁桥技术经济性分析[J]. 中国公路学报， 2017， 30（3）： 1-13.

[2] 田山坡. 钢混组合梁剪力连接件的计算方法研究[J]. 铁道工程学报， 2014， 31（8）： 56-61.

[3] 张翼， 李永乐， 汪斌， 等. 大跨度板桁加劲梁悬索桥自振频率参数敏感性分析[J]. 中外公路， 2019， 39（3）： 125-128.

[4] 闫林君， 张经伟， 罗奎. 装配式多主梁钢-混组合梁桥的荷载横向分布研究[J]. 公路交通科技， 2020， 37（3）： 59-69.

[5] 李瑞琪， 袁万城， 高康， 等. 装配式简支钢-混组合小箱梁桥荷载向分布系数的研究[J]. 结构工程师， 2015， 31（4）： 54-59.

[6] Kim Y J， Tanovic R， Wight R G. A parametric study and rating of steel I-girder bridges subjected to military load classification trucks[J]. Engineering Structures， 2013， 56（2013）： 709-720.

[7] 李立峰， 王孝亮， 冯威， 等. 考虑钢梁应变强化的钢-混组合梁抗弯承载力计算[J]. 铁道科学与工程学报， 2019， 16（11）： 2822-2831.

[8] 冀伟， 孙斌， 邓露， 等. 多因素影响下钢-混连续组合梁的挠度计算分析[J]. 湖南大学学报（自然科学版）， 2019， 46（5）： 30-38.

[9] 项贻强， 郭树海. 复杂应力条件下快速施工钢-混组合梁群钉推出试件参数分析[J]. 中国公路学报， 2017， 30（3）： 246-254.

[10] 荆国强， 吴肖波， 王波， 等. 双工字钢一混组合连续梁桥振动特性与控制研究[J]. 桥梁建设， 2019， 49（S1）： 39-44.

[11] 乔朋， 钟承星， 王宗义， 等.我国车-桥耦合振动的研究现状及发展趋势[J]. 重庆交通大学学报（自然科学版）， 2019， 38（12）： 26-37.

[12] 李岩， 杨婷婷， 商贺嵩， 等. 考虑多因素影响的装配式梁桥横向联系疲劳损伤评估[J]. 湖南大学学报（自然科学版）， 2019， 46（9）： 79-88.

[13] 公路桥涵设计通用规范： JTG D60-2015[S]. 北京：人民交通出版社， 2015.

[14] 胡人礼. 桥梁力学[M]. 北京： 中国铁道出版社， 1999： 841-864.

[15] 公路钢结构桥梁设计规范： JTG D64-2015[S]. 北京：人民交通出版社， 2015.