离散时间T-S模糊奇异时滞系统的广义耗散控制

李江荣，乔田田，马建为，刘佳蕊，朱际铭，张子菡

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 716000）

众所周知，许多实际工程系统和其运行过程都可以由非线性系统描述，例如：机器人定位系统、车辆定位系统和自动驾驶仪系统等。为了更好的研究非线性系统，多年来学者们提出了许多控制方法和控制理论［1］。模糊控制理论是基于美国学者ZADEH提出的以一种不精确方式处理不确定信息的思想发展而成的理论。模糊控制系统的出现，为研究非线性系统提供了有效方法。TAKAGI-SUGENO（T-S）模糊模型是诸多方法中应用最广泛模型，它可以将非线性系统建模成为多个线性子系统的加权和［2］。因此，近年来广大学者对T-S 模糊系统的分析与综合问题研究已得到了大量成果［3-9］。另一方面，非线性系统建模过程中会造成时滞现象，它们是系统不稳定和性能变差的主要根源［10］。因此，针对带有时滞的T-S模糊系统的进行研究也是非常有意义的，研究的主要内容包括：稳定性分析法［3］、H∞/H2控制［4-5］、可达集估计［6］、滤波分析与控制［7-9］。处理时滞的方法主要有：自由加权矩阵法［10］、Jensen不等式方法［11］、互凸组合方法［6］以及Wirtinger 不等式［12］等。

奇异系统，又称广义系统或半状态空间系统，是一类比正常系统更具有广泛形式的动力系统，由描述慢变动态层子系统的微分方程（连续系统）或差分方程（离散系统）和描述快变静态层子系统的代数方程构成［13］。它更能自然地描述动态系统，并通过包含非动力学约束和脉冲元素更准确地保持物理系统的结构，该系统已被广泛应用于航空、航天、能源、网络、电力、石油化工和通信等领域中［14］。另一方面，奇异系统本质上是与泛函方程耦合的微分方程。由于奇异系统具有脉冲或非因果行为，使其研究比正常系统更复杂、更困难。然而以上因素也为研究奇异系统的稳定性带来了一定的挑战性，因为它不仅需要考虑稳定性，而且还需要证明系统的正则性和无脉冲性（连续奇异系统）或因果关系（离散奇异系统）［13］。目前，对于奇异系统和非线性奇异系统的研究已取得了一些成果，比如：滑模控制［15］、容许性分析［16］、可达集估计［17］和耗散控制性［18］等。

耗散性控制是检验系统的抗干扰性能，在控制领域中发挥着重要作用，该理论为基于能量研究控制系统的设计和分析提供了框架［19］。广义耗散性问题是一类以更广泛、更新颖的思维去研究系统的鲁棒性，而且H∞性能、严格耗散性能等都可以看作广义耗散性能的特殊形式，因此广义耗散性能是多种鲁棒性能问题的扩展，已在许多控制系统中得到了研究，例如，神经网络［20］、Markov 跳变系统［21］和T-S模糊奇异系统［22］。由于奇异系统的特殊结构为研究奇异系统的广义耗散性问题带来挑战，因此，目前针对离散时间T-S模糊奇异时滞系统的广义耗散控制问题尚未得到研究。

综上所述，本文研究离散时间T-S 模糊奇异时滞系统的广义耗散问题。基于李雅普诺夫稳定性理论，通过设计新的李雅普诺夫泛函，利用改进的互凸组合方法和最先进的矩阵不等式，得到了保守性较小的离散时间T-S模糊奇异时滞系统的广义耗散容许性充分条件，并给出定理的条件的平方和形式。最后，给出数值仿真算例验证了所提方法和定理的正确性和有效性。

1 问题描述

考虑一类非线性系统建模成如下形式的离散时间T-S模糊奇异时滞系统：

第i 条 规 则(i ∈S →{1，2，…，r})：若θ1(t) 是Wi1，…，θp(t)是Wip，则

基于平均取模糊化、乘积单模糊化规则，则T-S模糊奇异系统（1）等价为以下系统：

引理2［6］给定任意常矩阵，整数a1≤a2≤a3，状态向量x(t)，η(t) = x(t + 1) - x(t)，则下列不等式成立：

2 主要结果

下面基于SOS 算法给出系统（3）的广义耗散容许性条件。

定理1 定给整数dm≤d(t) ≤dM，矩阵Φ1，Φ2，Φ3，Φ4为实的对角线矩阵且满足假设1，若存在正定对称矩阵P，Qi(i = 1，2，3)，Zj(j = 1，2)和任意矩阵R，X，则有以下SOS条件成立：

已知rank(Eˉ) = rank(E) = r ≤n，由奇异系统性质可知一定存在2个非奇异矩阵F和G，使得

把（22）~（23）式与（21）式相加，可得

综上所述，由定义2 可得系统（3）是广义耗散的。

3 数值仿真

下面通过数值仿真例子，可以验证本文所得结论和所提方法的有效性和正确性。

例1 考虑以下T-S模糊奇异时滞系统：

其中系统的系数矩阵取值为

考虑以下2条模糊隶属度函数：

并基于初始值分别给出系统运行的状态的时间响应图和输出时间响应图，由图1 可以看出系统的状态是广义耗散容许的，由图2 可以看出系统的输出变量是可控的。

图1 系统的状态响应图

图2 系统的输出响应图

4 结论

本文针对离散时间T-S模糊奇异时滞系统的广义耗散控制问题进行了研究。基于Lyapunov 稳定性定理，得到了保守性较小的新的离散时间T-S 模糊奇异时滞系统的广义耗散容许性充分条件。在证明过程中考虑常被忽略的三重、二重差分求和项，并利用改进的互凸组合方法和新的矩阵不等式，降低了所得结论的保守性。为了克服LMI 条件的局限性，本文给出了定理条件的平方和形式。通过数值仿真例子，验证了所得结论和方法的正确性和有效性。