如何在教学中培养学生的思维和能力（1）：观察与思考

高云峰

(清华大学航天航空学院, 北京 100084)

教育是为了培养具有良好人格品性、较强行动能力、较好思维品质和较深创造潜能的人才，其本质是培养学生思维和解决问题的能力。因此，教师在教学中应注重融入思维方法，给学生留一些探索空间，引导学生发现问题、分析问题、解决问题。

理论力学是大部分工科学生的必修课程，它既是一门基础学科又是一门技术学科；理论力学教学强调基本概念、基本理论和基本方法，但是课程中概念多、公式多，是工科比较难学的课程之一。很多学生在学习时总感到很抽象，会做题，但不知道如何应用于实际中。

其实力学课程包含了丰富的内容，很多力学现象也富有启发教育意义。因此我在讲授相关的力学知识和原理时，除了常规的案例和题目，也会尝试从日常生活、体育运动、工程实践中寻找和提炼一些案例及思考角度和分析方法。

本系列文章尝试从不同的方面介绍一些趣味问题，包括观察与思考、定性与定量、系统与模型、类比与联想、直觉与猜测，每篇文章着重一个方面（可能有少量的交叉），融入不同的思维模式及处理问题的方法，这些问题既与学生所学知识有关，又生动有趣、富有哲理，还不同于传统教育的方法和思路。这样，一方面让学生体会到如何利用知识解释某些现象，了解抽象理论如何与实际相结合；另一方面让学生了解分析问题的方法，并从这些现象或案例中受到启发，获得超越知识的思维方法和能力。

1 自行车运动中的现象

众所周知，月亮绕着地球转动。但是有首歌唱到：“月亮走，我也走”，又反映了人们看问题的主观性及事实：当你走动时，的确会感到月亮跟着你走。

人们在实际生活中经常会以自己的身体、身边的物体作为参考系，从而容易得到主观的结论。因此在描述物体运动时，先要定一个基准，这一概念在生活中可能不是那么显然易见，导致一些似是而非的现象或观点。以学生熟悉的自行车为例，就存在一个有趣的现象。

假设自行车正常行驶，车速为5 m/s，则车轮中心的速度也是5 m/s（图1）。车轮不打滑，其与地面接触点（A点）的速度为零，车轮最高点（B点）的速度为10 m/s（图2）。

图1 自行车运动

根据生活经验，物体速度越快，看上去越模糊。因此推论是：图2中A点附近的辐条看上去应该比较清楚，而B点附近的辐条应该比较模糊。

图2 车轮速度

当学生半信半疑时，PPT显示出人骑自行车的实际照片：靠近地面的辐条很清晰，上方的辐条很模糊（图3）。绝大部分学生感到很震惊：真是这样啊！然后我现场进行调查：

图3 底部辐条清楚

（a）曾观察过，就是这样；

（b）曾观察过，但与照片上不一样；

（c）没注意观察该现象。

绝大部分学生选项是（c），极少数学生选（a）或（b）。当学生们还在感慨平时没有注意时，PPT显示出另一张照片：车轮中心处的辐条清楚，上下的辐条都模糊（图4）。我随后提出“你难到没有看到这样的情况吗？”

图4 中间辐条清楚

学生们陷入了沉思：都是实际照片，为什么会有不同的结论呢？

让学生思考、讨论一会儿，然后给出解释：人的眼睛会自动对焦于明显的物体上，因此当你看别人骑车时，眼睛会不自觉地自动聚焦于人或自行车，这时你会发现身体的边缘比较清晰（图4）。如果有意识地控制眼睛不转动，则会发现人的边缘有些模糊，但车轮的底部辐条很清晰（图3）。

因此图3是把相机固定，抓拍从前面经过的自行车；图4是让相机跟随自行车运动，对准焦距后按下快门。

有一个类似的案例。火车前进时，不知道大家是否注意过这样的现象：（1）看到窗外物体向后退去；（2）短时间内看到窗外某物体基本不动；（3）短时间内看到窗外某物体向前运动。请有兴趣的读者自行观察思考。

2 跳高方式的变化及其原因

跳高是征服高度的运动项目，是人类不屈不挠、不断进取的象征。在不断越过新的高度时，运动员采用的跳高姿势也在不断演变。

在讲解动量定理时，在案例中可以设计一个跳高的案例。我向学生提问：是否注意过跳高有哪些方式？历史上跳高的方式为什么会发生变化呢？

（1）剪式(scissors style)：一腿向前伸出先过杆，另一腿再过。1895年，美国人斯维尼（Sweeney）用“波浪式”的新技术，后来称为“剪式”图5(a)，跳过了1.97 m的高度。这个纪录保持了17年。

（2）翻滚式(western roll)：身体绕纵轴翻滚，水平过杆。1912年美国运动员霍林（Horine）用独创的“滚式”图5(b)，跳过了2.01 m的高度。成为世界上第一个突破2米大关的人。

（3）背越式(Fosbury flop)：身体弯曲，背部过杆。1968年美国运动员福斯贝里（Fosbury）在第19届奥运会上，以独特的弧线助跑，背向横竿的过竿方法（图5(c)），以2.24米摘取了男子跳高桂冠。

图5 不同的跳高方式

目前世界级的跳高选手在比赛中都采用背越式过杆。这里面有什么原因吗？

在动量定理这一章节中，质心运动定理公式表示为[1]

其中m表示质量，aC表示质心加速度，R(e)表示物体受到的外力。质心运动定理表明: 物体的质量与质心加速度的乘积等于作用于物体上的外力。身体在空中运动时（图6），速度不快，因此暂不考虑空气的影响，其动力学方程为

图6 运动员在空中运动

初始条件为

方程（2）的解为

消去式（4）中的时间，有

式（5）表明曲线是抛物线，因此可以得出结论：运动员在空中运动时，根据质心运动定理，身体的质心作抛物线运动；在空中不管运动员手脚如何运动，各关节力与肌肉力均为内力，不影响身体质心的运动。

注意：虽然不同姿势对质心运动没有影响，但质心相对身体的位置是否受影响？参考身体的生理结构特点，有理由认为身体以不同方式过杆时，质心的相对位置为：

（1）采用剪式方式过杆时，身体质心大约在杆上方30 cm处（图7a）；

（2）采用翻滚式方式过杆时，身体质心大约在杆上方10 cm处（图7b）；

（3）采用背越式方式过杆时，身体质心估计在背部下方20 cm（图7c），注意这时质心从横杆下方通过。

图7 不同跳高方式的质心位置

以上的数据是估计的，但是不妨碍后面的结论（这是定性分析的一个特点，数据不准确甚至没有数据，不影响结论，详见后续关于定性分析的文章）。

一个运动员经过长期训练，其助跑速度、起跳角度比较稳定，采用不同的方式起跳，其质心均作抛物线运动，不妨假设起跳后抛物线的最高点为1.8 m（这一高度体现了运动员的身体素质）。根据前面的分析，采用不同方式过杆时，跨越式最大过杆高度为1.8 – 0.3 = 1.5 m；翻滚式最大过杆高度为1.8 – 0.1 = 1.7 m；背越式最大过杆高度为1.8 + 0.2 = 2.0 m。

这就是为什么现在世界级跳高选手都采用背越式的原因。

3 跳水运动员空中运动违反动量矩定理吗

伏明霞是跳水冠军，她退役后在清华学习过一段时间，清华当时组织过一个科技团队研究跳水运动，我也参与其中，对跳水运动有了一些了解。

在体育运动中，运动员绕身体横轴的转动称为“空翻”，绕身体纵轴的转动称为“转体”。跳水比赛中经常见到运动员在空中做复杂的翻滚动作：运动员先是做空翻动作(角速度沿y轴方向，图8(a)）；然后在空中变为空翻加转体（角速度沿y轴和z轴都有分量，图8(b)）。

图8 从空翻变为空翻+转体

早期运动员在起跳时通过脚部不对称用力产生空翻加转体（称为“早旋”），后来改为运动员在空中发起动作变为空翻加转体（称为“晚旋”）。现在跳水规则将“早旋”视为犯规动作。

俗话说“外行看热闹，内行看门道”。学过动量矩定理的学生，对“早旋”很容易理解，但可能会对“晚旋”感到疑惑：运动员的空中运动是否满足动量矩守恒？身体在空中运动时只受重力作用（空气阻力较小忽略不计），根据动量矩定理，身体对质心的动量矩应该守恒。运动员开始时只有空翻，后来在空中变为空翻加转体，看起来又违反了动量矩定理。

如果没有仔细观察运动员在空中做的动作，的确容易产生这样的疑问。

仔细观察会发现：运动员在空中转体前，会做一个不起眼的“领臂”动作：原来举起的手臂，突然弯曲并错开相向运动，如图9(a)。这一动作时间很短暂，一般观众不太容易注意这一细节，更多关注运动员整体运动。

图9 领臂动作示意图

双手相向运动产生一个沿x方向的动量矩，根据动量矩守恒，身体会自动产生一个反向的倾斜转动，如图9(b)。由于身体的转动惯量远大于手臂的转动惯量，所以身体只有较小的转角。这一结论可以从实际跳水照片中得到印证：照片中运动员的双手已经弯曲到位，身体也倾斜了（图10）。参考照片背景中的观众（白色衣服），可以知道运动员的倾斜角度不大。

图10 实际跳水照片

设初始时运动员身体是竖直的，空翻时动量矩方向水平，如图8(a)，当手臂做领臂动作导致身体倾斜后，身体的横轴相应倾斜了。根据身体对质心的动量矩守恒，这时身体会自动产生了绕纵轴的转动，从而使得身体对质心总动量矩守恒（图11）。

图11 动量矩守恒的结果

如果没有注意到弯臂细节，想象中认为跳水运动从图8(a)的状态直接到图8(b)的状态，就会导致认为动量矩不守恒的问题。而实际情况是从图8(a)到图11，在动量矩守恒的情况下完成复杂的转动。

理解跳水运动的解释后，也可以类似解释猫在空中的转体，我曾经以“为什么说猫有九条命”为题给《十万个为什么》丛书撰稿，解释了猫在空中翻身过程中不是绕身体的自转，而是弯腰后产生进动的结果[2]，这样既满足动量矩守恒，身体又不会扭起来。

4 总结

在科学研究中，观察是其中的重要环节，首先观察事物的表面现象，然后由表及里，找出事物内部的原因。贝弗里奇（Beveridge）在《科学研究的艺术》中，强调观察时要注意细节，不可把观察到的现象与对现象的理解混为一谈，不要让推理的结论超越事实[3]。本文从观察与思考的角度介绍了一些启发性的案例，强调现象背后的道理，让学生从案例中受到启发，在获得知识的同时，又超越知识，领悟更多的道理。

从以上案例中可以得出几点结论或启示。

（1）力学中的参考系相当于看问题的立场，同一件事情从不同的立场来看就会有不同的结论。这也说明在运动学中描述运动首先要明确参考系，否则会出现“公说公有理、婆说婆有理”的现象。表面上矛盾的两张照片，在考虑参考系的运动后就统一了。这启发我们：日常生活中矛盾的事物或现象，如果站在更高的角度可能会统一起来，所以上级领导容易调解下级的纠纷矛盾。

（2）运用质心运动定理，很容易理解跳高方式变迁的原因。若把抛物线的最高点理解为运动员的能力，而杆的高度理解为运动员表现出来的成绩，可以发现不同的过杆方式导致不同的成绩。很容易引伸出做事情方法很重要，在能力一定的情况下，方法好就可以“事半而功倍”，这已经超越了具体的力学知识，对学生一生大有裨益。

（3）跳水运动中的空翻加转体动作，如果没有仔细观察，没有注意到手臂的动作，会产生很多疑惑。实际上在跳水运动中只需要“举手之劳”就能实现复杂的动作，而不懂科学道理拼命训练效果并不好，还容易在运动中发生损伤。

从上面的案例中再进一步思考，虽然有“眼见为实”的说法，但是眼睛所看到的现象仍有可能是事物的表面现象，如果我们要更全面地了解一些事物，除了要仔细观察，同时还需要善于思考。在很多情况下，如果不仔细观察，或者只是观察而缺乏思考，则很容易得出一些似是而非的结论。

《论语·为政》中说：学而不思则罔，思而不学则殆[4]。一味读书而不思考，只能被书本牵着鼻子走，会被书本所累，从而受到书本表象的迷惑而不得其解；一味埋头苦思而不进行一定的知识的积累，也只能是流于空想，问题仍然不会得到解决，还会产生更多的疑惑而更加危险。只有把学习和思考结合起来，才能学到有用的真知；只有把观察和思考结合起来，才能发现事物背后深刻的道理。