等效法解复合场中带电粒子运动问题

华兴恒

由于电场力做功与重力做功有一个共同的特点：只与初末位置有关，与运动的路经无关. 即电场与重力场的性质非常相似. 因此当一个质量为m、带电量为q的物体同时处于重力场和场强为E的匀强电场中时，可以将两者的叠加场等效为一个重力场. 若合力的方向与重力mg的方向间的夹角为α，则g′可表示为g′=. 利用等效重力场，不仅可以把复杂的叠加场变成简单的单一场，而且可以把陌生的问题转化为熟悉的重力场中的问题，这样既可避开复杂的运算，使解题过程极大地简化，又可提升我们的思维品质，提高解题技能与技巧. 下面请看几例.

【例1】如图1所示，斜面和水平面都是绝缘的粗糙的平面，有一带电量为+q、质量为m的物体，从斜面上A点由静止释放，它在水平面上运动s1后静止. 若在此范围内加一竖直向下的匀强电场，而将该物体从A点由静止释放，它在水平面上运动s2后静止，则（ ）

A. s2 > s1   B. s2 = s1   C. s2 < s1   D. 无法确定

解析：当不加电场时，物体在运动的过程中受到重力、支持力和摩擦力的作用. 设A距水平面的高度為h，斜面倾角为α，则由动能定理得：

mgh-μmgcosαsAB-μmgs1=0，即

h=μcosαsAB+μs1                 ①

若加竖直向下的匀强电场时，物体还受电场力共四个力的作用，但可把重力与电场力等效为重力场，加速度为g′=，方向竖直向下.

由动能定理同样可以得出：mg′h-μmg′cos αsAB-μmg′s2= 0，即

h=μcosαsAB+μs2             ②

比较①、②两式，不难得出s2=s1，故本题应选B.

【例2】（2016全国卷I）如图2所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称. 忽略空气的阻力，由此可知（ ）

A. Q点的电势比P点高

B. 油滴在Q点的动能比它在P点的大

C. 油滴在Q点的电势能比它在P点的大

D. 油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小

解析：根据带负电的油滴在竖直面内的轨迹在竖直平面内相对于过P点的竖直线对称可知，油滴在水平方向上所受合力为零，竖直方向上油滴受重力和电场力的作用，结合曲线轨迹的特点可知，电场力一定向上，且电场力大于重力，油滴受力及电场线方向如图中所示，故匀强电场的方向竖直向上. 又沿电场线方向电势逐渐降低，可知Q点的电势比P点高，则选项A正确;油滴从P点运动到Q点，根据动能定理，合外力做正功，动能增大，所以油滴在Q点的动能比它在P点的动能大，则选项B正确;油滴从P点运动到Q点，电场力做正功，电势能减小，油滴在Q点的电势能比它在P点的小，则选项C错误;由于带电油滴所受的电场力和重力均为恒力，所以油滴在Q点的加速度和它在P点的加速度大小相等，则选项D错误. 故应选A、B.

【例3】如图3所示的虚线为匀强电场的等势面，一带电微粒以速度v0从A点飞入电场，沿图中所示的直线轨迹由下而上飞向B点并返回A点. 若AB与竖直方向的夹角为α，求此过程中带电微粒所用的时间.

解析：由图2可知，带电微粒做直线运动，因此等效重力场的重力加速度与AB在一条直线上. 由于重力的方向是竖直向下的，故带电微粒做类竖直上抛运动，等效重力加速度为g′=.

根据竖直上抛运动整个过程时间t=，可得所求时间为t=.

【例4】一条长为L的细线上端固定在O点，下端系一质量为m的带电小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右. 已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为α，如图4所示. 试求当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到达竖直位置时，小球的速度恰好为零.

解析：由题意可知，等效场与竖直方向的夹角为α，所以等效重力加速度为g′=. 可以把悬线小球看作是等效场中的单摆，其平衡位置就是与竖直方向成α角的位置. 由单摆的对称性，摆幅相等. 故当悬线与竖直方向的夹角为2α时，才能使小球静止释放时到竖直位置静止.

【例5】如图5所示，一绝缘细圆环的半径为r，其环平面固定在水平面上. 场强为E的匀强电场与环平面平行，环上穿有一电量为+q、质量为m的小球，可沿圆环做无摩擦的圆周运动. 若小球经过A点时的速度vA的方向恰与电场垂直，且与环间无相互作用，则速度vA=____. 当小球运动到与A点对称的B点时，小球对圆环在水平方向的作用力NB= ___.

解析：小球在竖直方向上受到的合外力为零，在水平方向仅受到电场力F=qE的作用，因此可以等效为g′=的重力场. 将E的方向转至竖直向下，就成了我们熟悉的竖直圆周轨道上的变速圆周运动. 因为小球在A点的临界速度为vA ==，利用类似于机械能守恒定律，小球在B点的运动速度可表示为v2B=v2A+2g′×2r.

根据牛顿第二定律可得NB=mg′+=6mg′=6qE.

【例6】 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m带正电的珠子，空间存在着水平向右的匀强电场，如图6所示. 珠子所受的静电力是其重力的倍，将珠子从最低位置A点静止释放. 珠子在何处的动能最大？珠子获得的最大动能是多少？

解析： 珠子受到的静电力与重力的合力，即等效重力为：F ==mg. tanθ==，则θ=37°，即等效重力场的方向与竖直方向成37°，如图6中所示.

珠子在等效重力场中做圆周运动的“最低点”是B点，故珠子在B点时，速度最快，动能最大，根据动能定理可得Ek=Fr（1-cosθ）=mgr.

【例7】在水平向右的匀强电场中，有一质量为m带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向的夹角为α. 现给小球一个瞬时冲量，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动. 问：

（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？最小值为多少？

（2）小球在B点受到的冲量是多大？

解析：小球在做圆周运动的过程中，所受的重力与电场力均为恒力，这两个力的合力大小为F=. 小球在叠加场中的重力加速度为：g效==，其方向斜向右下方，且与竖直方向成α角. 小球在竖直平面内做匀速圆周运动的过程中，由于只有等效重力做功，细线的拉力不做功，所以动能与等效重力势能可以互相转化，且总和保持不变. 与重力势能类比可知，等效重力势能Ep=mg效h，其中h为小球距等效重力零势能面的高度.

（1）设小球静止时的位置B点为零势能点，据动能与等效重力势能的总和不变可知，小球位于B点对应的同一直径上的A点时等效重力势能最小，速度也最小.

设小球在A点时速度为vA，此时细线拉力为0，等效重力提供向心力，即mg效=，所以小球的最小速度为：vA=.

（2）设小球在B点的初速度为vB，据能量守恒有：mv2B=mv2A+mg效×2l，解得vB=.

根据动量定理，小球所受冲量的大小为I=mvB= m.

责任编辑 李平安