汽车配件生产排程问题的0-1规划数学模型

□晏榆洋 帅 培 赵 勇

一、问题的提出

汽车零配件制造商需经过吸料、注塑、喷涂、入库、装配五个流程生产汽车的零件，其中喷涂过程在装有滑橇的传送带轨道上完成，每个零件需对应放置在滑橇上的可拆卸支架上顺序喷涂，喷涂工序为“底漆——面漆——清漆”，零件的颜色由面漆决定。需生产13,445个零件，其中零件(产品)有上格栅(A、B)、中间扰流板A、前保(A、B、C、D、E、F、G)、后保(A、B、C、D、E、F、G)、外壳A、轮口装饰件(A、B)、门槛(A、B、C、D、E)、门槛装饰条A、雷达支架(A、B、C、D、E)31种；颜色有曜岩黑、宇宙黑、极地白、钻石白、光耀蓝、宝石蓝、牛仔蓝、宝石红、铱银、米兰银10种。本次喷涂可分为八圈(喷涂过程的一个生产周期为“一圈”)，其中一圈可安装303个滑橇，最多可喷涂1,818个零件。制造商根据换色要求和排布约束，考虑换色和换支架次数最少进行喷涂作业。

1.根据题中所给出的信息、要求及附件，考虑换色次数最少，建立数学模型，给出符合要求且具有较低成本的喷涂排序计划，并统计出平均每圈的换色次数及未满足生产需求的零件个数。

2.在问题1既有优化目标的基础上，考虑更换对应支架最少，优化问题1的数学模型，给出新的生产排序计划，并统计出平均每圈的换色次数、未满足生产需求的产品个数、及平均每圈更换支架的个数。

二、研究方法

为制定出未来8圈的生产排程计划，可以设置三维0-1变量xi,j,k表示第i个滑橇排第j种产品的第k种颜色。约束条件有如下处理方式：对于颜色的排布限制，只需对xi,j,k的j求和，消除产品种类的影响，考虑颜色的异同，加入底色过渡；对于产品支架的排布限制，只需对xi,j,k的k求和，消除产品颜色的影响，考虑支架的间隔排布，加入底漆滑橇过渡。产品实际颜色共有10种，因换色时需在两个滑橇之间插入一个过渡底色，则将过渡色记为一种新的颜色，故颜色共为11种；产品实际种类为31种，记第11种颜色(即过渡底色)喷涂的产品为一个新的产品，则产品总数共为32种；综合考虑各种约束条件，以最少的换色次数为目标建立0-1规划模型[1]。

圈与圈之间更换支架的次数的计量，即前后两圈对应编号滑橇上排布产品不同则更换一次支架，相同则无需更换支架。在问题1的模型的基础上，以前一个问题的求解结果为颜色更换次数的约束，最少的支架更换次数为目标，建立0-1规划模型[2]。

三、模型的准备

设xi,j,k为0-1变量，即xi,j,k=1或0(xi,j,k表示第i个滑橇排产第j种产品第k种颜色)。为了方便模型建立，不妨将10种颜色编号，且增加第11种颜色(即过渡时的颜色)为底色，如表1所示。

表1 颜色编号

同理，将31种产品也进行编号，并增加第32种产品编号作为面漆更换颜色时过度滑橇上任意产品，方便模型建立，如表2所示。

表2 产品名称编号

四、更换颜色次数较少模型建立

为了降低生产成本，则需要减少换色的次数以及更换支架的次数。因此以减少两者的次数为目标，充分考虑产品顺序及颜色顺序两种条件限制，可以建立0-1规划模型。

(一)更换颜色次数较少的数学模型。为降低生产成本需减少换色次数，而每次换色的时候都会放置一个底色产品作为过渡，所以换色次数问题即转化为了放置底色产品数量问题，底色产品越少即更换颜色次数就越少，因此建立以下目标函数：

(二)约束条件。

1.喷涂产品类型和颜色限制。每一个滑橇上面有且仅有唯一一种产品和颜色，即：

2.满足生产需求量限制。尽量满足附件中给出的对应产品及颜色的需求量并且允许超出需求量，即：

其中qj,k表示第j种产品喷涂第k种颜色的需求量(j=1,2,3,…,32;k=1,2,3,…,11)。

3.产品支架数量限制。每圈的零件排布使用的支架数量有上限，即：

其中sj表示第j种产品支架数量。

4.面漆换色限制。因为在换色过程中需要插入一个底色产品，所以底色产品前后均为不同颜色产品。不妨构造一个3行11列的矩阵用于计算传送带轨道上连续3个滑橇上的产品中排列第2的产品是否为底色产品，即：

k=11

5.颜色排列限制。由于面漆换色的规定顺序必须满足任意红色和任意蓝色后面不能接任何白色，极地白后面不能安排任意黑色，钻石白前面必须是极地白，即：

6.产品排列限制。由于C题附件中给出一下两点限制条件：①(门槛B),(门槛C),(门槛A,门槛D,后保A,门槛装饰条A),3个括号对应三个项目，不同项目的任意两个产品的滑橇不能安排在一起(如门槛C和门槛D)；②门槛B, 门槛C不能与所有类型的雷达支架安排在一起喷涂，即：

五、更换支架数较少的数学模型建立

由于产品零件与支架为一一对应关系，若相同编号滑橇摆放的零件种类在不同圈次计划中发生变化，需要人工更换对应支架，因次，在问题1的基础上，增加颜色更换次数的约束，以支架更换次数最少为目标建立0-1规划模型。

(一)更换支架数较少的数学模型建立。为降低生产成本需减少圈与圈之间支架的更换，因此以相邻两圈对应滑橇上的支架跟换次数最少为目标函数：

(二)约束条件。在问题1的模型的基础上，以问题1的换色次数为约束条件，其他约束不变：

其n中为问题1中总的换色次数。

六、结语

运用Lingo编写程序，并结合实际情况，可以得到未来八圈的详细喷涂排序计划，得到平均每圈更换颜色3.25次，所有零件全部满足生产需求。平均每圈更换支架次数95次。该模型增加第11种颜色(不喷涂面漆的底色)编号，同时增加第32种产品(不喷涂面漆的底色产品)编号，方便模型的建立与求解；将颜色更换次数转化为过渡底色出现次数，使目标函数简单易懂，便于求解；三维0-1变量xi,j,k的设计，很好解决了换色过渡的问题，方便了换色次数的统计；该模型利用0-1规划，以较低成本的生产排程为目标，对该汽车零配件制造商的生产排程线问题给出了较优的答案。