地埋管地源热泵水泥基回填材料导热系数预测模型

2022-06-28董世豪胡自远周超辉周亮宇林德荣

流体机械 2022年5期

董世豪，胡自远，周超辉，周亮宇，林德荣，倪龙

（1.哈尔滨工业大学建筑学院寒地城乡人居环境科学与技术工业和信息化部重点实验室，哈尔滨 150090；2.山东省地质矿产勘查开发局第七地质大队，山东临沂 276006；3.中能建地热有限公司，北京 100022）

0 引言

水泥基材料广泛应用于建筑、固井材料、回填材料、岩层封堵、注浆工程等，与人民生活、社会发展息息相关。水泥基材料通常由水泥、骨料（一般为砂或石）及其他改善性能的材料组合而成，其导热系数在很多研究和工程中都是重要参数：在建筑行业，混凝土围护结构的导热系数直接影响建筑能耗；对于地源热泵，地埋管周围的钻孔间隙需用回填材料填实，其导热系数直接影响换热效果。

地埋管地源热泵回填材料有水泥基和膨润土基两种，在基岩地区宜选用水泥基材料，同时水泥基材料也具有更高的导热性能［1］。高导热性能的回填材料对系统节能和减少投资至关重要，ALLAN等［2］研究发现，采用高导热系数的材料可以使地埋管设计长度减少22%～37%；陈卫翠等［3］对通过工程实例计算得出高性能回填材料能够减少地埋管长度29%～36%；BURKHARD等［4］也通过热响应试验发现，采用强化换热材料的钻井热阻可降低27%。因此，针对此类材料的导热性能进行理论研究与建模，可以为高性能材料的开发提供理论指导，对行业发展意义重大。

现有针对水泥基回填材料的研究多局限于试验研究，国内外学者研究发现，水灰比降低［1］，砂灰比增大［5-6］，添加石墨［5，7］都会使导热系数增加；邹玲等［8］还测定了材料的孔隙率，发现材料孔隙率随水灰比增加而变大。对于导热系数理论研究，有学者针对缓冲材料［9］、岩土［10-12］、建材［13］、食物［14-15］、陶瓷等材料建立了导热模型，但是，适合于水泥基材料的导热模型较少，专门用于水泥基回填材料的导热模型更少，且现有模型直接用于回填材料导热系数预测的误差较大。因此，为了给水泥基材料研究提供一种可应用的导热系数计算模型或方法，本文根据材料的物理结构和组成，结合傅里叶导热定律，建立了水泥基材料导热系数预测模型，基于水泥基回填材料进行了参数识别，并与试验值进行了对比验证。

1 导热系数预测模型的建立

一般水泥基材料由骨料、水泥和水按比例混合而成，成型的材料中存在孔隙，孔隙内含有水分或空气。因此水泥基材料也是一种固-液-气三相混合物，该模型首先针对由骨料和水泥胶结物组成的固相部分建模，然后针对固相（水泥+骨料）、液相（水）、气相（空气）三者的混合物建模。

1.1 固相（水泥+骨料）模型

1.1.1 模型结构

首先针对由骨料和水泥组成的固相建模，该模型可以反映骨料含量对导热系数的影响。进行如下假设：（1）将骨料颗粒将简化为等大的球体；（2）利用球体的重叠反映骨料之间的面接触；（3）材料内部为纯导热。

图1示出固相模型的中央截面。骨料为相互重叠的球体，骨料平均半径为r，角度控制其重叠程度；骨料周围包裹水泥基质，形成半径为（ξ≥1）的圆柱体，通过骨料含量计算出参数。热流方向为从上到下，如图2所示。

图1 固相导热模型Fig.1 Solid-phase thermal conductivity model

图2 计算单元示意Fig.2 Schematic diagram of calculation unit

1.1.2 模型推导

由图1所示的模型物理结构可计算得到骨料体积分数表达式：

式中 η ——骨料在固相中的体积分数；

α ——衡量骨料面接触程度的参数；

ξ ——与骨料含量有关的参数，ξ≥1。

而骨料体积分数和骨料/水泥质量比的关系为：

式中φ——骨料与水泥质量比，0≤φ≤1；

ρag——骨料的密度，kg/m3；

ρc——无孔水泥密度，kg/m3。

如图2，取一个骨料颗粒及其周围水泥为计算单元，并建立柱坐标系。设该单元上、下面的温差为ΔT，按几何特征将该单元的热流分为3部分，即图中的Q1，Q2和Q3。第1部分Q1为纯水泥的圆周，其中x∈（r，ξr），根据傅里叶导热定律计算该部分的热流量为：

式中 Q1——第1部分的热流量，W；

λc——水泥基质导热系数，W/（m·K）；

r ——骨料颗粒的半径，m。

第2部分Q2包括水泥和骨料，其中x∈（rsinα，r），如图2所示，取dx微元厚度的圆周，则在x处该微元的热阻是：

式中λag——骨料的导热系数，W/（m·K）；

R（x） ——x处该微元的热阻，K/W。

则该部分的热流量为：

式中 Q2——第2部分的热流量，W。

式（5）可以进一步计算得到：

第3部分Q3为纯骨料组成的圆柱，其中x∈（0，rsinα），该部分的热流量为：

该模型总的热流量为：

将式（3）（6）和（7）代入式（8）中，可以得到与r，ΔT无关的式（9），也即固相模型的有效导热系数λs为：

1.2 固－液－气三相模型

1.2.1 模型结构

针对固-液-气三相进行建模，该模型可以反映孔隙率和饱和度对导热系数的影响。一般情况下孔隙率越高导热系数越低。严辰成等［16］通过X射线扫描水泥砂浆的孔隙结构得出，水泥浆体中的孔可以分为气孔和毛细孔，气孔尺寸较大，形状接近球形，毛细孔尺寸较小且形态不规则，难以建立实际结构的模型。现有的导热系数理论计算研究［17-20］也多将孔隙简化为规则形状，从现有研究以及本文研究结果来看，采用这种简化方法得到计算结果的精度能满足工程需要，一定程度上说明了这种方法的可行性。

假设条件如下：（1）材料中的孔隙为椭球体；（2）水分均匀附着在椭球体孔隙周围，且厚度一致；（3）材料内部只存在热传导。

模型如图3和4所示，热流方向为立面图中的从上到下，中间为椭球体孔隙，水分均匀附着在椭球体内壁面。椭球体孔隙（包括液相和气相）长轴为2a，短轴为2βa，通过β控制椭球体短轴从而改变孔隙形状或大小；不包括水分的椭球体（气相）长轴为2κa，短轴为2κβa，通过κ来反映饱和度（0≤κ≤1）；孔隙周围是固相材料，模型整体为立方体，底面是边长为2γa的正方形，高为2μa，其中μ≥1，γ≥β。

图3 固-液-气三相模型平面Fig.3 Plan of solid-liquid-gas three-phase model

该模型有3种参数取值方式：

（1）找到γ，μ和a最优值，由孔隙率计算出β；

（2）找到β，μ和a最优值，由孔隙率计算出γ；

（3）找到γ，β和a最优值，由孔隙率计算出μ。

1.2.2 模型推导

根据几何关系得到孔隙率和各参数的关系：

式中 ε —— 孔隙率，定义为块状材料中孔隙体积与总体积的百分比。

β ——几何参数，椭球形孔隙的短轴为βa；

γ —— 几何参数，模型底面边长2γa，且γ≥β；

μ —— 几何参数，模型长方体的高为2μa，且μ≥1；

饱和度和参数κ的关系：

式中 ω —— 饱和度，定义为材料中水的体积与孔隙体积的百分比；

κ ——与饱和度有关的参数，0≤κ≤1。

将该模型作为计算单元，建立如图4所示的柱坐标系，设上下面的温差为ΔT，按几何特征将热流分为3部分，Q1'部分为纯固相部分的圆周，其中x∈［βa，γa］；Q2'部分包括液相和固相，x∈［κβa，γa］；Q3'部分为包括液相、气相和固相的圆柱，x∈［0，κβa］。按照与固相模型相似的方法得到式（12），即该模型的有效导热系数为：

图4 固-液-气三相模型立面Fig.4 Elevation of solid-liquid-gas three-phase model

式中λe—— 模型有效导热系数，即回填材料导热系数预测值，W/（m·K）；

λw——液相导热系数，W/（m·K）；

λs—— 固相导热系数，由式（9）得到，W/（m·K）。

λa——气相导热系数，W/（m·K）；

式（12）继续推导可得到与a无关的式（13）：

2 模型参数识别

该模型中的参数γ，μ和β与材料的几何性质有关，直接测量非常困难，对具体材料，可通过参数识别确定。对于水泥基回填材料，骨料为石英砂，孔隙内为空气（气相）和水分（液相）。本文选取两组独立的实验数据，一组用于参数识别，一组用于模型验证。

2.1 参数识别试验数据与参数取值选择标准

KIM等［21］测量了水灰比为0.7、非饱和状态、不同砂灰比（骨料/水泥质量比）下水泥基回填材料的孔隙率和导热系数，试验值见表1［21］，数据均为在室温下测得，而模型中单相材料导热系数也取25 ℃对应的值，因此模型参数取值条件与实验条件基本匹配，可用于参数识别。

表1 参数识别试验数据Tab.1 Experimental data for parameter identification

不同参数取值影响预测值的大小，进而与预测精度有关。首先，使用模型计算表1数据对应的孔隙率、饱和度和砂灰比下的预测值；然后，将预测值与实验值对比得到其相对误差，取这5个预测值的平均误差作为判断标准。参数取值不同可以得到的平均误差也不同，改变参数取值找到平均误差较小或满足精度要求的取值，则模型参数γ，μ和β即可确定。

2.2 单相材料参数取值

回填材料各种单相成分的物性参数见表2。其中，无孔水泥为不包含孔隙的固结水泥。水和空气的导热系数随温度变化，回填材料的工作温度也随工况变化，根据文献［22］给出的地埋管钻孔在取热和排热工况下地层温度分布可知，大部分回填材料的实际运行温度在10～40 ℃范围内。将水在10 ℃和40 ℃时的导热系数代入模型（砂灰比=2，孔隙率=0.22，饱和状态），得到导热系数预测值分别为2.50和2.59 W/（m·K），相差3.47%；同样，将空气在10 ℃和40 ℃时的导热系数代入模型（砂灰比=2，孔隙率=0.22，饱和度=0.3），得到空气的导热系数变化对预测值的影响为0.42%，因此虽然水和空气的导热系数都会受温度的影响，但是其对最终结果影响很小，因此取平均温度25 ℃下的固定值即可。

表2 单相材料物性参数Tab.2 Physical parameters of single phase material

2.3 最佳孔隙率控制方式确定

第1.2.2节提到，模型有3种取值方法，因此需要确定适合于回填材料的最优方法。将不同参数取值方式下的预测值与表1试验值对比，用平均误差作为评价标准。

图5示出了方式（1）不同γ，μ下的平均误差，γ一定时，μ越大，误差越小，当μ增加至1.4时，误差约17%，但是可预测的最大孔隙率仅37.40%，可预测孔隙率范围过小。图6示出了方式（2）不同μ，β下的平均误差，平均误差几乎不随β变化；而β一定时，平均误差随μ增大而减小，当达到1.4时，其平均预测误差减小至15.65%，但其可预测的孔隙率范围仍然过小。因此，方式（1）、（2）误差均较大。

图5 不同γ，μ 取值下的平均误差Fig.5 Average error under different values of γ and μ

图6 不同μ，β 取值下的平均误差Fig.6 Average error under different μ and β

图7 示出了方式（2）在不同β，γ值下的平均误差，当β略小于γ时，平均误差低于10%，当β=0.95，γ=1.00时，平均误差低至4.36%，可预测的最大孔隙率为0.472 5。综上，参数取值方式（2）更适合于水泥基回填材料。

图7 不同γ，β 值下的平均误差Fig.7 Average error under different values of γ and β

2.4 参数γ，β的识别

以表1试验数据为基准，进行试算。图8示出了γ，β不同取值对预测误差的影响，误差随参数β（γ≥β）的增加，先降低后增加，且在γ取值不同时变化趋势一致，但是取得最小值的位置不同，γ越小，曲线整体向左移；当γ=1.00，β=0.96时，平均误差为3.67%，在各取值组合中最小。

图8 不同β，γ值下，预测误差随孔隙率的变化Fig.8 The variation of prediction error with porosity under different β and γ

2.5 参数识别结果

适用于水泥基回填材料的最佳参数取值方式为：找到γ和β最优值（β=0.96，γ=1.00），通过试验得到的孔隙率计算出μ值。模型识别误差如图9所示，预测值与试验值非常接近，且变化趋势一致，误差在1.49%～6.80%之间，说明参数识别结果较为精准。

图9 参数识别误差Fig.9 Parameter identification error

3 模型验证及比较

3.1 模型验证试验数据

邹玲等［8］测试了水泥基回填材料在砂灰比为2、饱和状态时，水灰比和孔隙率对导热系数的影响；KIM等［21］还测量了在水灰比为0.7、饱和状态时，不同砂灰比下回填材料的孔隙率和导热系数。

邹玲等［8］还指出，砂灰比大于2.2会使材料的流动度过低，影响实际应用；文献［6］提出，水灰比太小会导致流动度太差，过大会导致导热性能变差，水灰比0.45～0.70为宜；对于地源热泵，回填材料与岩土导热系数之比在1～1.2左右较优［28］，过高则会导致地埋管之间的热短路，因此回填材料导热系数一般不超过3 W/（m·K）；同时，由于地下水存在，回填材料的工作状态多为饱和状态。因此表3数据可以涵盖回填材料研究和工程应用的常见配比范围。

表3 模型验证试验数据Tab.3 Experimental data for model verification

3.2 模型验证

将最优参数取值代入模型，计算饱和状态不同孔隙率下的导热系数，并与邹玲等［8］的试验数据对比，对比结果如图10所示。预测值与试验值变化趋势一致；预测值整体略高于试验值，在孔隙率为0.163时误差低至1.49%，最大误差也仅为5.94%，总体上预测较精准。

图10 饱和状态不同孔隙率下的预测结果Fig.10 Prediction results at different porosity in saturated state

对于饱和状态，图11示出了预测值与表3中KIM等［21］试验值的对比结果，预测值与试验值变化趋势一致，均随砂灰比增加而增加，但是预测值普遍低于试验值，预测误差在3.98%～15.26%之间。但只有砂灰比在2.5及以上时误差超过12%，而此时过高的砂灰比已经使流动性降低而影响实际应用了。因此，总体上预测较精准，满足实际工程与研究需要。

图11 饱和状态不同砂灰比下的预测结果Fig.11 Prediction results under different sand-cement ratios in saturated state

3.3 误差分析

误差来源于实验误差和模型误差。对于实验误差，不同文献采用的材料品质、制作工艺不同可能造成同样配比材料的导热系数差异，另外，孔隙率、导热系数等参数测量过程本身也存在误差。对于模型误差，实际的骨料（石英砂）颗粒并不会像模型中那样形状规则，而且孔隙之间存在联通；同时，本模型未考虑对流换热，但实际的孔隙内的空气或水会存在热对流；含水量较高时也会存在热湿迁移现象，所以饱和状态的试验值通常会偏大，也就导致了图11中饱和状态预测值普遍偏小。