融合生活现象，叩问数学本质——对《圆的认识》的教学思考与实践

□许现新

《圆的认识》是人教版教材六年级上册的教学内容，属于一节数学概念课，作为“圆”这个单元的起始课，它起着至关重要的作用。那么《圆的认识》该怎样教学，才能使学生易于理解和掌握呢？笔者认为，圆的认识教学应从融合生活现象中叩问圆的数学本质。

一、课前思考

在学习圆之前，学生已经学习了长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等平面图形，圆这一平面图形与学生以往所学习的这些平面图形有很大的区别，圆是曲线图形。《圆的认识》是学生学习圆周长、面积、圆环、扇形等知识的基础。因而，作为“圆”单元的第一课时，在学习《圆的认识》前无特别能借鉴的前知和经验，但在学习后，它却是很多知识学习的基础。

（一）圆的数学本质是什么？

什么是圆呢？在学生的认知里，圆是平面内的那条封闭曲线（如图1），还是那个围成的圆面？（如图2）

图1

图2

我们知道，早在战国时期，《墨子》中就已经为圆写下了一个定义：“圆，一中同长也。”意思就是说“圆这种图形，有一个中心，从这个中心到圆上各点都一样长”，这说明圆的本质就是与一个定点的距离等于定长的点的集合，显然圆就是平面内的那条封闭曲线。

（二）圆的生活现象何其多？

古希腊数学家毕达哥拉斯曾说“一切平面图形中最美的是圆”。圆是几何图形中很普通又很美的图形，在我们的日常生活中普遍有圆的存在，如硬币、瓶盖、钟面、圆桌、光盘、井盖、轮胎、草原上的蒙古包、操场上的圆，有些游戏活动必须是围成圆形的圈，等等。难道圆的存在只是因为美吗？显然圆的存在既体现了圆的美，又有其广泛的实用价值，而圆的美与实用价值都来源于它的数学本质。

（三）学生对圆认识知多少？

学生在从小到大的成长过程中，经常会看到圆、用到圆、想到圆。在数学学习中从低年级起就已经接触圆了。虽然圆的出现一般用在不同图形的直观分类，或是看图列式作为直观符号形式，或是学生在解决问题的过程中作为图式分析的直观模型（如维恩图）帮助理解问题，但是在正式学习圆的知识之前，学生对圆的认识，只是在生活中、学习中比较粗浅的表面化的认知，对圆的本质概念并未触及。

于是我们做了一个课前调查。调查内容如下：

同学们，你们知道“圆”吗？

“圆”是平面内的那条封闭曲线？（图①）

“圆”是那个围成的圆面？（图②）

“圆”既是平面内的那条封闭曲线，又是那个围成的圆面？

你认为“圆”到底是什么？请你在你所认为的图下面的（ ）内打“√”。

经过汇总整理，我们发现被调查的一百余名学生中，有52%的学生认为圆既是平面内的那条封闭曲线，又是那个围成的圆面；有36%的学生认为圆是那个围成的圆面；只有12%的学生认为圆是平面内的那条封闭曲线。可见，学生在未学习《圆的认识》一课前，对圆的本质的认识是模糊的，绝大多数学生对圆的认识的前概念与圆的本质存在很大的偏差。

二、融合“生活现象”的教学设计

通过厘清圆的数学本质，分析圆的生活现象，调查了学生对圆的认识的前概念。在教学设计时，力求将圆的“生活现象”与圆的“数学本质”加以融合，从学生的认知发展水平和已有的经验出发，理解圆的数学本质。

（一）以生活情境导入，激发探究数学本质的欲望

在教师准确把握数学概念本质内涵的基础上，创设贴近学生生活的情境，激活学生已有认知经验，激发学生探究数学本质的欲望。

【片段1】从“寻宝物”游戏导入新课

出示“寻宝物”游戏情境：小明参加了一个寻宝游戏，宝物距离小明左脚3米，宝物可能在哪里？

（二）从生活现象中探究，架起建构数学本质的桥梁

把学生置于知识发现的真实“场景”当中，从生活现象中探究，架起建构数学本质的桥梁，更易于学生根据生活经验探究知识。

【片段2】从“宝物位置”感知“圆”的本质

师：请同学们拿出练习纸，我们用纸上面的小黑点表示小明左脚的位置，用图上距离1厘米表示实际距离1米，请你在纸上表示出你的想法。

【片段3】从“转绳子”体验“圆”的本质

师：老师这里有一根绳子，绳上有一个挂件，请你想象一下，当老师让这个挂件快速旋转起来，这个挂件留下的运动轨迹是什么样子的？

【片段4】从“操场上画圆”感悟“圆”的本质

师：圆在我们生活中很常见，篮球场上、操场上的大圆见过吗？体育老师要在操场上画一个大圆，怎样才能把它画出来？想象一下。

【片段5】从“圆规为什么能画圆”内化“圆”的本质

教师出示圆规，介绍圆规画图的方法。

师：为什么圆规能画出圆呢？请同学们利用圆规，在纸上空白地方画一个半径为2厘米的圆。

师：再画一个直径是6厘米的圆。

（三）在生活问题中应用，创设深化数学本质的机会

数学从生活中来，又回到生活中去，架起数学与生活的桥梁，感受数学就在身边，生活离不开数学。通过生活现象中数学知识的应用，给学生提供深化数学知识本质的机会。

【片段6】从“车轮为什么是圆的”深化“圆”的本质

师：在我们生活中有很多物品都是利用了圆的特性来设计的，你想到了吗？

师：为什么车轮是圆形的呢？

师：当路是平的时，为什么圆形滚动起来比较平稳呢？

师：请你想象一下，用圆、正方形、正三角形做轮，让这样的轮子转起来。圆的圆心和正方形、正三角形的中心点是如何变化的？

【片段7】从“宝物位置”升华“圆”的本质

师：老师还有最后一个问题，小明在你们说的圆上找了一圈，发现宝物并没有在这个圆上，是怎么回事呢？

三、叩问“数学本质”的教学策略

在教学设计中融合了圆的“生活现象”，那么如何利用这些“生活现象”去叩问圆的“数学本质”呢？我们尝试提出以下教学策略。

（一）想象与交流相穿插，体验数学本质

在学生探究生活现象中的数学本质时，给予学生想象与交流的机会，让学生在想象与交流中展现其个性思考，从而初步体验圆的数学本质。

通过“宝物距离小明左脚3米”这一游戏条件，让学生根据生活经验和知识去思考、去画一画。展示学生作品（如图3）。

图3

教师启发引导：“这些点都距离小明左脚3米，那么像这样的宝物的位置，你还能找到吗？想象一下，如果不断地找下去，宝物所在的位置到底在哪里？”

给予学生充分想象的时间后，教师又提问：“你觉得是什么？”多名学生交流后都认为是“圆”。这时，教师借助课件向学生展示，学生发现与自己的想象是一样的，能找到无数个点，组成了圆（如图4）。

图4

在学生发现是由无数个点组成了圆之后，教师不能让学生的认识停留在这一肤浅的层面上。教师继续追问：“那么，你们说的这个圆是什么呢？”有的学生说：“它是由无数个点组成的一条线。”有的学生说：“是一条曲线。”学生的回答仅停留在圆比较直观的形上，并未回答到本质上。这时教师进一步深入提问：“这条曲线有什么特点？”学生通过小组内的讨论以及班级内的交流，最终发现：线上的每一个点到中心点的距离都是一样的，所以才形成了这样一条封闭曲线。

（二）想象与观察相融合，感知数学本质

在对生活现象的探究中，将想象与观察相结合，动中有静，静中有动，虚实相融，动静结合，形象感知圆的数学本质。

在“转绳子”中感知“圆”的本质环节中，教师提出问题：“老师这里有根绳子，绳上有一个挂件，请你想象一下，当老师让这个挂件快速旋转起来，这个挂件留下的运动轨迹是什么样的？”

给予学生想象的时间后，教师加以演示旋转，学生想象和观察后得出“挂件运动的轨迹是个圆”（如图5）。

图5

教师追问：“为什么挂件旋转留下的轨迹是个圆呢？”

学生在讨论中得出：“挂件到手指的距离是一样的，转动就会形成圆。”

（三）想象与思辨相结合，感悟数学本质

在想象中思考，在思考中思辨，使学生逐步清晰理解圆的数学本质。

在“操场上画圆”这个教学环节中，教师提出问题：“体育老师要在操场上画一个大圆，怎样才能把它画出来？”

学生有的说：“做个大圆模型。”有的说：“做个大圆规。”有的说：“人站在中间，旋转着用一支长长的笔来画。”有的说：“找一根绳子，一端固定在操场上，在另一端系一支粉笔，人拉紧绳子绕着固定点画一圈。”

在学生充分想象后，让他们各抒己见，并让学生进行思辨，最后明确，这么大的圆，要想画好，主要还是要借助“圆上的点到中心的距离是一样的”这个概念，然后根据实际情况选择合适的方法。

又如，在“圆规为什么能画圆”这个环节中，教师出示圆规，提问：“为什么圆规能画出圆呢？想象一下圆规是怎样画圆的？”学生根据想象与思辨得出：圆规两脚间距离不变，相当于圆上的点到圆心距离不变。

（四）操作与对比相渗透，内化数学本质

数学知识的建构，需要学生的多种感官参与，动手操作能让学生手脑并用，多种感官协同参与，促进知识内化，理解数学本质。

如在“圆规为什么能画圆”这个环节中，让学生用圆规画一画圆。

教师提出要求：“请同学们利用圆规，在纸上空白地方画一个半径为2厘米的圆。”

学生画好后，展示作品，在展示的过程中让学生明白只有“圆心到圆上的点的距离都相等”，才能画出完整、美观的圆（如图6）。

图6

教师又提出要求：“画一个直径是6 厘米的圆。”学生在动手实践中发现，画直径6 厘米的圆，实质上就是圆规两脚间距离取3厘米，也就是圆心和圆上点之间的距离是3厘米（如图7）。

动手操作是学生数学学习中常用的一种方法，在比较中画圆，使学生认识圆的基本结构，并清晰地理解圆的各部分之间的关系，比如同圆或等圆中半径是直径的一半，有无数条半径、无数条直径、半径决定圆的大小等等。学生在层层的探究活动中，实现了对概念本质由表及里、由浅入深逐步内化的过程。同时画圆的操作活动也是对数学本质理解后的外显过程。

（五）解释与拓展夯应用，深化数学本质

应用数学知识解释、拓展生活现象。这一应用过程，既是对数学概念本质深层次的理解，形成对知识的活学活用，又加强了数学与生活的联系。

如在“车轮为什么是圆的”这一教学环节中，教师提问：“为什么车轮是圆形的呢？”学生认为圆形平稳。

教师追问：“为什么圆形滚动起来比较平稳呢？”学生四人小组讨论后交流。

教师启发思考：“请你想象一下，圆的圆心和正方形、三角形的中心点是如何变化的？”（如图8）

学生想象后通过观察课件，演示圆形、正方形、正三角形车轮中心点与着地点之间距离的运动变化，得出：轮胎为圆形时，它的圆心到地面的距离都是一样的，就是半径，所以行驶起来比较平稳。

对源自于生活中“车轮为什么用圆形”现实问题的探讨，呈现车轮实物图，联系生活实际，引发学生的思考，让学生结合课堂探究成果，在想象与思辨中逐步体会与领悟，朴实揭密“车轮做成圆形”的原理，探寻其本质，在理解与解释中进一步深化对圆概念本质的理解。

又如在“宝物位置”的拓展应用环节中，教师抛出问题：“小明在你们说的圆上找了一圈，发现宝物并没有在这个圆上，这是怎么回事呢？”

这个问题一下子又激起了学生的思索，通过前面学习的积累，学生在想象与思辨中脑洞大开：宝物可能在地下，也可能在地上。

学生在层层的问题引领和想象、思辨下，发现宝物可能在一个球面上，教师顺势用课件展现（如图9），强化学生的想象与思辨认知。

图9

如此，通过对“宝物位置”的其他可能性判断，想象与思辨相结合，升华对“圆”的概念本质的认知，拓展学生思维。

在《圆的认识》教学中，我们淡化了对“圆”概念字面的记忆，抓住“圆”概念的数学本质，激活学生的生活经验，在融合“生活现象”中叩问圆的“数学本质”，将想象、交流、观察、思辨、操作、应用等贯穿于“圆”概念的学习过程中，凸显“圆”的数学本质，帮助学生深度建构“圆”概念，发展数学核心素养。