基于Wiener 过程首超概率的结构耐久性评估

张熙

（长沙矿冶研究院有限责任公司，湖南长沙 410012）

0 引言

混凝土结构耐久性退化的研究是工程界和学术界关注的重要课题。 对于一些传统结构，即使结构退化和损伤机理非常清晰，但其退化和损伤过程在使用寿命期间仍会表现出很强的随机性。 因此从随机过程的角度来模拟结构的退化和损伤过程是十分必要的[1]。

基于随机过程理论，学界提出了许多模型来模拟结构关键指标的退化，如Gamma 过程模型、路径退化模型、Wiener 过程模型、累积损伤模型、纯跳跃过程模型、扩散过程模型。Wiener 过程模型由于具有良好的数学性质受到很多学者的青睐，在工程领域得到广泛应用[2-3]。 Doksum[4]首次将Wiener 过程应用于工程领域，研究了Wiener 过程退化产品的可变应力加速寿命试验模型。Liu[5]基于维纳过程对复合材料在高周弯曲疲劳载荷作用下的劣化行为进行了研究。 在研究结构退化方面，Wiener 过程同样扮演着重要角色。如Wang[6]通过考虑退化率与退化变量的比例关系，提出了一种改进的自适应维纳过程模型，用于结构剩余使用寿命在线预测。 Li[7]提出了一种基于维纳过程变异系数的一致性检验方法来预测结构的剩余使用寿命，并通过仿真数据和经典裂纹退化数据对该方法进行了验证。Wang[8]提出了一种基于时间尺度变换的二元维纳退化过程的自适应剩余寿命估算方法,并通过一个疲劳裂纹的数值算例验证了该方法的有效性。

Wiener 过程是随机过程中的经典模型，由于良好的解析性质得到广泛应用。近年来，基于维纳过程的工程结构性能退化和剩余寿命预测的研究变得越来越重要。 本文以Wiener 过程为研究对象，从Wiener 过程的对称性推导了其首次超越概率的精确解析解，为后续结构耐久性的评估打下理论基础。然后通过自相关函数法对比Wiener 过程和混凝土动弹性模量退化过程的自相关函数图像，进而以Wiener 过程对动弹性模量的退化过程进行建模。 最后，以某案例为例，评估了不同服役年限下结构的耐久性，验证本文所提方法的正确性。

1 Wiener 过程首超概率分析

1.1 Wiener 过程定义

随机过程{X（t），t≥0}的状态空间为E=（-∞，∞），如果满足下列数学模型：

（1） X（t）是一个平稳独立增量过程；

（2） 任意增量X（t）-X（s）服从均值为μ（t-s），方差为σ2|t-s|（σ〉0）的正态分布，如：

则称随机过程{X（t），t≥0}为Wie ner 过程。 广义Wiener 过程均值为μt，方差为σ2t，参数μ 为漂移系数，σ 为扩散系数。当μ=0，σ=1 时，为标准Wiener 过程。

在动态环境中，由于各种因素的影响，结构性能会随着时间的推移而遭到破坏。大量试验表明[9-10]，混凝土结构性能退化过程是由许多随机小损失叠加的过程，当损失达到一定阈值后，结构失效。 故结构性能退化过程应看作一个具有不确定性的随机过程[11]，用随机过程来描述结构某关键指标的退化过程能更好反映结构的实际情况。 Wiener 过程的良好数学性质和解析特性能较好描述非单调退化过程，若混凝土材料和结构的退化过程符合Wiener，那么就能准确预测结构失效的概率。

1.2 基于Wiener 对称性的首超概率推导

Wiener 过程在任意状态满足对称性，即当X（t0）=x0时，后续状态X（t0+t）≥x0和X（t0+t）≤x0都以等概率发生，如下：

令Wiener 过程首次超越阈值b 的时间Tb呈现为：

根据全概率公式可知：

由于Wiener 过程的连续性[12]，上式右边第二项P{X（t）≥b|Tb〉t}=0。 因此：

根据Wiener 过程的对称性，当Tb≤t 或X（Tb）=b，{X（t）≥b}和{X（t）≤b}的概率是相等的，为：

将式（5）带入式（4），可得：

将式（7）带入式（6）可得：

式（8）即为Wiener 过程首次超越概率分布的解析表达式。 由首超概率分布函数可得首超概率密度函数：

式中，I［0，∞）（t）代表反正态分布函数。

故Wiener 过程在[[0，T]时段内的失效概率为：

Wiener 过程在[0，T] 时段内的可靠概率为：

2 基于首超概率的结构剩余寿命及可靠性评估

2.1 混凝土耐久性退化机制

在自然环境中，温度会产生周期性的升高或降低，导致冻融循环引起结构内部损伤。 当温度下降时，混凝土中的孔隙水结成冰，导致体积膨胀，当混凝土处于水饱和状态时由于孔径较小，凝胶孔中温度较低的水不会结冰，而毛细管孔内的水则会结冰。 由于凝胶孔和毛细管孔中两种蒸发压力的不同，混凝土将同时承受压力和渗透压。 当压力或渗透压超过混凝土既定强度时，孔隙壁破坏从而导致混凝土内部裂缝。 然后，混凝土内部裂缝继续扩展直到裂缝之间相互渗透，这一过程会导致混凝土强度下降。 现阶段，混凝土强度的降低或裂缝的发展可以通过混凝土动弹性模量的变化来反映，因此混凝土动弹性模量可以视为混凝土结构耐久性退化的合理指标[13]。 文献[14]通过快速冻融试验测量了混凝土动弹性模量和抗压强度，得到了两者之间的关系曲线。文献[15]以掺有粉煤灰的混凝土为研究对象，通过测量混凝土动弹模的损伤，发现混凝土动弹模随时间的增加而增加，当损失达到规定阈值时，混凝土性能失效。

假定混凝土动弹性模量在时段内的退化量为X（△t）=X（t1+△t）-X(t1)，X（△t）是混凝土中许多随机且独立的小损失累积量，显然，X（△t）是一个随机变量。 根据中心极限定理，若被研究的随机变量是大量独立随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起到微小的作用，则可认为这个随机变量近似服从正态分布[16]，故X（△t）近似服从正态分布。

图1 为混凝土相对动弹性模量随时间的变化曲线[17]。由图1 可知，混凝土相对动弹性模量（t 时刻动弹性模量/初始动弹性模量）在0～10 天内不断下降，但10～20天时动弹性模量有恢复的趋势。故混凝土动弹性模量的变化是一个非单调的发展路径，而Wiener过程适用于描述非单调递减过程（图2）。

图1 混凝土相对动弹模退化曲线

图2 Wiener过程样本路径

2.2 混凝土动弹性模量退化过程的识别

随机过程有限维概率分布族函数能代表一个随机过程既有的统计特性，并且随着维度的增加，随机过程统计特性也越精确。但实际中，n 维随机过程的概率分布函数难以计算。 因此，工程上多研究随机过程的数字特征。 其中，自相关函数是随机过程的一项重要数字特征，它代表随机过程在不同时刻状态的相互联系。文献[18]通过对比Wiener 过程的自相关函数，将产品性能退化过程建模为Wiener 过程。 研究表明，若性能退化数据的自相关函数图像与Wiener 过程的自相关函数图像在一定程度上相似，便可对其进行Wiener 过程建模。

已知Wiener 过程自相关函数表达式为：

根据MATLAB 绘制其自相关函数图像，如图3 所示。

根据已有的加速退化试验结果，混凝土相对动弹性模量的退化增量数据如表1 所示，测量的时间间隔为7 天。

表1 相对动弹模损失经时变化

样本在时刻tj的动弹模损失均值公式为：

则样本自相关函数的矩估计为：

根据式（13）、（14）及表1，利用MATLAB 软件绘制相对动弹模损失的自相关函数图像，如图4 所示。

对比图3 和图4，发现两自相关函数图像相似。 接下来将混凝土相对动弹性模量的损失建模为Wiener 过程，利用Wiener 过程首次超越公式对结构的剩余寿命及可靠性进行评估。

图3 Wiener自相关函数

图4 混凝土动弹性模量损失的自相关函数图像

2.3 剩余寿命及可靠性评估

令W(t)作为结构在t 时刻的退化量（与未损伤状态相比），随机过程{W(t)，t≥0}代表结构退化时变量。 由2.2 节可知，{W(t)，t≥0}可进行Wiener 过程建模。 结构在一定时间t 的退化失效概率可由退化量W(t)和失效阈值b 确定，表示为P{W(t)≤b}。 根据退化失效的定义，结构的剩余使用寿命T，即为W(t)首次到达阈值b的时间。 因此，T 可以表示为：

根据1.2 节的分析，T 服从反正态分布，其概率密度函数和概率分布函数为：

进而，结构在[0,t]时段内的耐久性可靠度为：

如果结构在t 时刻的退化量W(t)=l（l〈b），那么结构在T1时刻的剩余使用寿命可表示为：

根据Wiener 过程的独立增量性和马尔科夫性，T1可表示为：

故结构的剩余使用寿命为：

基于上述分析可知，结构的剩余使用寿命及可靠性评估实际上是计算退化量首次达到失效阈值的时间。

3 实例分析

研究表明混凝土中裂纹的扩展或截面强度随时间的退化可以通过其动弹性模量的变化来反映，因此混凝土动弹性模量的损失是评估混凝土内部损失的有效指标。 2.2 节已经证明了混凝土动弹性模量的损失符合Wiener 过程，且表1 给出了某混凝土结构动弹性模量损失的具体数据。 故本节以此为基础，将动弹性模量的损失过程建模为Wiener 过程，进而评估结构剩余使用寿命及可靠性。

以表1 中的JS2-3 为研究对象，运用极大似然估计法对Wiener 过程的扩散系0 数和漂移系数进行评估。试件耐久性退化Wiener 过程参数可表示为：

根据式（22），表1 中JS2-3 构件耐久性退化Wiener 过程参数为：

根据式（23）所求Wiener 过程扩散系数和漂移系数，发现μ≈0，σ≈1，近似符合标准Wiener 过程。

对于混凝土耐久性退化失效阈值的规定：如果其相对动弹性模量减少到40%，则表明结构失效。 因此，设失效阈值（准确的安全阈值应根据实际的工程案例进行确定），将Wiener 过程漂移系数、扩散系数（式23）及失效阈值带入式（18）可得不同时间t 下，混凝土结构的耐久可靠性，具体见表2、图5。

表2 不同时刻下结构耐久可靠性

由图5 可知，混凝土结构耐久性随着时间的增加而不断减少，符合实际。 如当服役年限为50年时，结构可靠性为88.5702%，这表明结构服役50年时不发生耐久性失效的概率为88.5702%，发生失效的概率为11.43%。如果将可靠度减少11%作为结构是否需要检验的标准，那么结构服役50年时，应对结构进行全面的耐久性检测以确定此结构是否需要进行维修。以上与工程 实 际 相符，验 证 了应用Wiener过程描述结构耐久性退化的可行性和正确性。

图5 可靠性变化曲线

4 结论

本文基于Wiener 过程首次超越概率进行结构耐久性评估，具体研究结论如下：

（1） 根据Wiener 过程的对称性，推导了Wiener 过程首次超越概率精确解析解，为后续结构耐久性评估打下了理论基础；

（2） 通过自相关函数法分别绘制了Wiener 过程自相关函数图像和混凝土动弹性模量损失过程的自相关函数图像，发现两者较为相似，可以用Wiener 过程对混凝土动弹性模量的损失过程进行建模；

（3） 以某案例评估结构在不同时刻下的耐久性，结果表明利用Wiener 过程对混凝土动弹性模量的损失过程进行建模符合实际。