“模型”少一点 “积累”多一层

陈建洲 李玉荣 (江苏省南京金陵中学河西分校 210019)

文[1]由一道几何试题引发深度思考，给出了9个问题的解题分析，其中对问题1—3的求解引发了笔者的进一步思考：为何要那样求解？有没有更自然、适切的解法？深度思考的意义何在？在此与作者商榷.

问题1

如图1，在矩形

ABCD

中，

CD

=3，

AD

=4，在

AD

边上取点

E

，

H

，在

AC

上取点

F

，作正方形

EFGH

，连结

AG

，点

E

′是点

E

关于

AG

的对称点，

AE

′交

BC

于点

P

，则

PC

的长为

.

图1

文[1]给出了此题的一个解答过程后指出：“解法利用点

E

与点

E

′相对称的性质，得出

AK

平分∠

DAJ

，利用角平分线得出线段的比例关系，列出方程求解，但解题思路不容易想到，且角平分线的这个性质不在初中要求范围之内，所列方程烦且难解.”接着作者在解答反思部分借助构图探索出一个结论“若则并指出可以方便地求出一些与“二倍角”有关的问题.笔者不禁要问：这是从学生的角度思考问题吗？此题怎么想到与二倍角有关联呢？这个结论有实用的价值吗？对教师而言，显然没有任何价值，因为他们熟悉公式对学生而言，或许记忆这个结论一时并不困难，但毕竟其适用的机会有限，所以真正遇到几何问题，学生哪里会想到用这个结论？况且还不能直接用来求解问题(除填空题、选择题).因此，笔者思考：此题有更自然、适切的求解方法吗？分析 要求

PC

的长，只需求

BP

，既然

BP

的大小最终能确定，可推断∠

APB

大小确定，而∠

APB

=∠

DAP

=2∠

DAG

，说明∠

DAG

大小确定，事实上，易知

解法1

如图1，因为

EF

∥

CD

，所以△

AEF

∽△

ADC

，可得

图1

设

EF

=3

k

，则

HG

=

EH

=3

k

，

AE

=4

k

，所以

AH

=7

k

，可得连结

EE

′交

AG

于点

M

，作

EN

⊥

AP

于点

N

，则设

EM

=3

x

，则根据面积公式

EN

×

AE

′=

E

′

E

×

AM

，可得进而易证△

AEN

∽△

PAB

，可得即所以进而

解法2

同解法1得如图2，延长

AG

,

BC

交于点

M.

因为

AD

∥

BM

，所以即因为

AB

=3，所以

BM

=7.

图2

又∠

PAM

=∠

DAG

=∠

M

，所以

PA

=

PM

，设

PA

=

x

，则

BP

=7-

x.

在Rt△

ABP

中，根据勾股定理得3+(7-

x

)=

x

，解得所以进而

解法3

如图3，同解法1得

图3

作

PM

⊥

AD

于点

M

，

PM

交

AG

于点

Q

，则

PM

=

AB

=3，

BP

设

QM

=3

k

，则

AM

=7

k

，

PQ

=3-3

k.

作

QN

⊥

AP

于点

Q

，则

AN

=

AM

=7

k

，

QN

=

QM

=3

k.

易证△

PNQ

∽△

PMA

，可得所以所以解得所以进而

解法4

如图4，延长

GF

交

AB

于点

M

，交

AP

于点

N

，则∠

NAG

=∠

HAG

=∠

AGN

，所以

NA

=

NG.

图4

易证△

AMF

∽△

ABC

，可得设

AM

=3

k

，则

EF

=

FG

=3

k

，

MF

=4

k

，

MG

=7

k

，设

NG

=

x

，则

MN

=7

k

-

x.

在Rt△

AMN

中，根据勾股定理得(3

k

)+(7

k

-

x

)=

x

，解得即易证△

AMN

∽△

ABP

，可得即所以进而

评注 解法1—4添加的都是朴实的辅助线，构造出“角平分线+平行线=等腰三角形”等与角平分线有关联的基本图形，使用了面积法、勾股定理、相似三角形等基本计算工具，贴近学生思维发展区，解法自然、适切.

问题2

如图5，正方形

ABCD

中，

AB

=6，

E

是

BC

边中点，将△

ABE

沿

AE

对折，使得点

B

与点

F

重合，

AF

与对角线

BD

交于点

G

，求线段

GF

的长．

图5

分析 此题文[1]是利用之前探究的结论求解的，笔者以为作为解答题显然不妥.有更自然的求解方法吗？要求线段

GF

的长，只需求线段

AG

的长，需借助△

AGB

或△

AGD

求解，但条件暂时不足．注意到∠

AFE

=90°，于是有两个基本思路：一是构造“一线三等角型”相似三角形；二是构造“双垂直共角型”相似三角形，最后借助“X型”相似三角形求解.

解法1

如图5，过点

F

作

MN

⊥

AD

于点

M

，交

BC

于点

N

，则

MN

=

AB

=6，

AM

=

BN.

易证△

AMF

∽△

FNE

，可得设

EN

=

k

，则

MF

=2

k

，

FN

=6-2

k

，

AM

=

BN

=3+

k

，所以3+

k

=2(6-2

k

)，解得所以进而易证△

ABG

∽△

FHG

，可得所以

解法2

如图6，延长

AF

,

BC

交于点

H.

图6

易证△

EHF

∽△

AHB

，可得设

FH

=

k

，则

BH

=2

k

，

EH

=2

k

-3，

AH

=6+

k

，所以6+

k

=2(2

k

-3)，解得

k

=4，所以

AH

=10，

BH

=8.易证△

ADG

∽△

HBG

，可得所以进而

解法3

如图7，延长

AF

交

DC

于点

H

，连结

CF.

图7

因为

EF

=

BE

=

EC

，所以∠

EFC

=∠

ECF

，可得∠

HFC

=∠

HCF

，所以

CH

=

FH.

设

FH

=

x

，则

AH

=6+

x

，

DH

=6-

x

，在Rt△

ADH

中，根据勾股定理得6+(6-

x

)=(6+

x

)，解得所以易证△

ABG

∽△

HDG

，可得所以进而

解法4

如图8，延长

AE

,

DC

交于点

H

，延长

AF

交

DC

于点

M.

图8

易证△

ABE

≌△

HCE

，可得

CH

=

AB

=6，

DH

=12，∠

BAE

=∠

EHC

=∠

HAM

，所以

AM

=

HM.

设

DM

=

x

，则

AM

=12-

x

，在Rt△

ADM

中，根据勾股定理得6+

x

=(12-

x

)，解得易证△

ABG

∽△

DMG

，可得所以进而

评注 笔者分别给出了问题1、问题2的4种解法，或许还有更多的解法可以探索，这不远比套“公式”求解更能启迪思维？

问题3

如图9，在平面直角坐标系

xOy

中，直线

y

=2

x

+

b

经过点

A

(-1，0)，与

y

轴正半轴交于点

B

，与反比例函数交于点

C

，且

BC

=

AB

，点

D

是反比例函数上一点，连结

AD

，若则点

D

的横坐标为

.

图9

分析 文[1]刻意配制了问题2、3用以说明之前探究的结论的应用价值，但问题3的选取显然不够贴切，求解方法给人以“杀鸡用牛刀”的感觉，由为何不用更自然的解法呢？

解法1

因为直线

y

=2

x

+

b

经过点

A

(-1，0)，所以如图9，设直线

AD

交

y

轴于点

F

，过点

F

作

FE

⊥

AB

于点

E

，则设

EF

=

k

，则

AE

=2

k.

易证△

BEF

∽△

BOA

，可得故有

BE

=2

k

，从而解得所以进而可求出经过

A

，

F

的直线为易知

C

(1，4)，所以所以解得(舍去负根)，即

D

的横坐标为

评注 这个解法看似繁琐，但解法自然且具有一般性(如此时不存在二倍角，文[1]利用之前探究的结论算得无法 解决问题).当然，如果能结合已知条件从图形中发现下面的解法更为简洁.

解法2

如图10，因为直线

y

=2

x

+

b

经过点

A

(-1，0)，所以

b

=2，

OA

=1，

OB

=2，进而所以

AF

=

BF

，设

AF

=

m

，则

OF

=2-

m.

在Rt△

AFO

中，根据勾股定理得1+(2-

m

)=

m

，解得进而以下同解法1.

评注 这个解法无需添加辅助线，更无需套什么“公式”或“模型”，独具匠心.

不知从何时起，应对考试的“模型”充斥数学课堂教学，如“猪蹄”模型、“手拉手”模型、“12345”模型……让人眼花缭乱，教学年岁较长的教师甚至闻所未闻、莫名其妙.《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出：“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系.”基于此理念，曾经耳熟能详的射影定理、相交弦定理、垂径定理等重要定理在教材上都已删去，那我们还有什么理由去编制所谓的模型(充其量也只能算基本图形)让学生去记忆、套用？解题是数学教师的最常见活动，学生学习数学更离不开解题，建立数学模型，对模型进行分析、求解，最终达到解决问题的目的无可厚非，甚至极为重要，但模型不能泛化，数学解题不能依赖并不常用的所谓“模型”或“结论”，更不宜在初中解题教学中大肆渲染一些远离教材的“模型”甚至是超标的内容，美其名曰“拓展延伸”，实际上是加重了学生的学业负担.泛化的模型等同于“拿来主义”：拿现成的“模型”去解难度大、思维含量高的数学题，表面上看解题过程简化了，但失去的是更有价值的数学思维，实在得不偿失.解题方法的教学理应遵循教材知识，执行课程标准，探寻贴近学生的发展区的自然解法，机械的“模型”或“结论”慎教、慎用，着力点应是强化过程性教学，让学生更多地思考、探究，体验获取知识的乐趣，促进数学思维能力的提升，增效减负才能真正落到实处.

完稿之余，恰好看到广东省2021年中考数学试卷第23题：

如图11，边长为1的正方形

ABCD

中，点

E

为

AD

的中点．连结

BE

，将△

ABE

沿

BE

折叠得到△

FBE

，

BF

交

AC

于点

G

，求

CG

的长．

图11

此题与问题2极为相似，考生该用什么样的思路来求解呢？读者自有分辨．