线圈在通电直导线旁平移过程中磁通量的变化量求解

王伟民

(安徽省太和县宫集镇中心学校 236652)

例1 如图1所示，无限长绝缘直导线L通入的电流为I，与边长为a的正△ABC线圈共面，且BC∥L，线圈沿其所在的平面按垂直于直导线的方向向上运动.求从线圈顶点A刚接触直导线L到BC边离开直导线L的过程中，穿过正△ABC线圈磁通量的变化量.

图1

上面这道题目是早前有老师在某个物理QQ群内询问的一个问题，我们尝试分析一下可否求解.

△ABC线圈穿越通电直导线L某一时刻的情形如图2所示，设此时顶点A到直导线L的距离为x，因为在线圈按题目要求向上平移穿越通电直导线的过程中，其平移运动方向的变化不影响穿过线圈磁通量的变化量，所以，为便于分析，我们可以按线圈沿AB边所在直线的方向平移进行求解.

图2

图2中，线圈斜向上运动一个竖直微元距离dx达到△A′B′C′位置，由于通电直导线L上下两侧的磁场方向相反，所以，若取垂直纸面向外的方向为磁通量的正方向，跟原来处于△ABC位置时穿过线圈的磁通量相比，线圈到达△A′B′C′位置后，穿过线圈磁通量的增量dΦ将等于穿过面S3的磁通量dΦ3减去分别穿过面S1和S2的磁通量dΦ1和dΦ2之和：

dΦ=dΦ3-(dΦ1+dΦ2)

dΦ1=S1B1

由于面S2和S3的纵向长度较大，不像S1那样纵向长度是一段微元，而这两个面上到通电直导线L距离不等的点磁场强度不等，所以无法用上述求解dΦ1的方法那样去求解dΦ2和dΦ3.我们不妨将dx视为常量，采用定积分的方法来求解dΦ2和dΦ3.

如图3所示，在面S3上到通电直导线L距离为y的位置取一段竖直宽度为dy的微元，则有：

图3

这里ln0是一个没有意义的数，求解将无法再继续进行下去.那么，问题出在何处？

图4

解析无论是倾斜向上平移还是竖着向上平移，在△ABC线圈竖直向上运动同样距离的过程中，穿过三角形线圈磁通量的变化量相同，所以，我们可让线圈沿AB边所在直线斜向上平移进行求解.设平移过程中线圈在某一时刻的位置如图5所示，此时三角形线圈的顶点A到通电直导线L的距离为x，接下来让线圈向上平移一段微元距离dx(dx是线圈倾斜平移过程中在竖直方向运动的微元距离)，跟△ABC线圈原来所在位置相比，平移微元距离dx到达△A′B′C′位置之后，穿过线圈磁通量的变化量dΦ等于穿过面S2的磁通量dΦ2与穿过面S1的磁通量dΦ1之差：

图5

dΦ=dΦ2-dΦ1

为表示dΦ2，将x和dx视为常量，在面S2上到线圈顶点A竖直距离为y处取一竖向微元dy，则有：

∴dΦ=dΦ2-dΦ1

运用上述方法，我们可以对其它具有固定几何形状的平面状线圈，在一条无限长通电直导线产生磁场中沿确定方向平移运动确定距离过程中(平移过程中线圈的任何部位不触碰通电直导线)，穿过线圈磁通量的变化量.